機械振動第三章單自由度系統線性振動授課人:張立 博士、教 位 同濟大學汽車學智能型新能源汽車協同創新中心新能源汽車及動力系統國家工程實驗室國家燃料電池汽車及動力系統工程技術研究中心 月講授內概等效單自由度系統振動模型的建單自由度系統的固有振動單自由度系統的自由振動單自由度系統的強迫振動：簡諧單自由度系統的強迫振動：一般本章小結與作2014-10- 本章講述思對象抽

2014-10- 振動系統簡化與自由度數目確1/4車單自由度振動 半車多自由度振動模 1/4車二自由度振動模2014-10- 單自由度振動系

單自由度振動

2014-10- 單自由度振動系 1

2 2 2014-10- 單自由度振動系 2014-10- 單自由度振動系統的基本元 慣性定律：FM彈性元件：系 M 定律：M符合粘性阻尼定律：FcxM外界激勵：t

t

et2014-10- 講授內概等效單自由度系統振動模型的建單自由度系統的固有振動單自由度系統的自由振動單自由度系統的強迫振動：簡諧單自由度系統的強迫振動：一般本章小結與作2014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——定義

等效質

mcxkxF mcxkxF(t)k

等效質量：mcxkxF(tc

2014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——定義2014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——定義

m

MPlml

l2 l1 l1

2 1k1 1

Px

me

lll2Pm2 lll2llMPl1k2l1k13l3l1l l k2x

llkPkkllx3

12014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——能量T1m

U1kx2

D1c

m、k、

和

2014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——能量

l 1 T m1

2

kekek2k1ll1

1m222

l2mem2mem2m1ll1l21 1

l21U kx2 k3x 1

kk3

12 1l12014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——直接力學分析

kex

xeme

以靜平衡位置為坐標原點，并假設質量

me

ce

mmgkxcx meg

cekexe(t2014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——直接力學分析 xm

l1l

lk 1l 2l ll2cec1l24FeF42014-10- 振動系統動力學模型的建立方法——直接力學分析例題3x 23MFl l3x 23444cl2xlkl1xl44 1 1

l2

l l2 kl1

k23

mx cl

k1

l2ll

xFl1 1

4 4 2014-10- 本節小結、課后作業與選作作分析流程：物理模型→數學模型→解析求解/數值求解→按照3種坐標系建立微分方

x x2k探究三個方程之間的關聯關k1

k22014-10- 講授內概等效單自由度系統振動模型的建單自由度系統的固有振動單自由度系統的自由振動單自由度系統的強迫振動：簡諧單自由度系統的強迫振動：一般本章小結與作2014-10- 單自由度振動系統的力學方

2014-10- 單自由度振動系統的固有振t

kx

2xn2014-10- n單自由度振動系統固有頻率的求

nkmnkm

kkm

mg/mgkmg mg/mgkmgg g

T fn

2014-10- 單自由度振動系統固有頻率的求：桿kABalkABal ka2ml

2xkmkm n

2014-10- 單自由度振動系統固有頻率的求法——能量法 W的質量m＝0.0856kg，Asin(nt

則

1I 1IA22 2014-10- 單自由度振動系統固有頻率的求法——能量法 當擺桿擺到最大角位移θmax 的彈性勢能為：U 2

1ka2 ka22 U

mgl(1

)mgl 〔注：sin21cos1cos

22()22

1IA2 2

ka2

12

2ka2mglI02014-10- 講授內概等效單自由度系統振動模型的建單自由度系統的固有振動單自由度系統的自由振動單自由度系統的強迫振動：簡諧單自由度系統的強迫振動：一般本章小結與作2014-10- 無阻尼單自由度系統自由振

2xn微分方程通解：xtAsinntn

sint2

2x kmn km

？

t

t2014-10- 無阻尼單自由度系統自由振 x0x0Asinn0Asin

0

t

x2x2 0nxA tan1 x nx20x20 nkm xtAsinnt

t n0 2014-10- 無阻尼單自由度系統自由振

2xn x s2estns2est

2est

estn s22n

s1,2xtA

Aes2t

A

Aeint

i x0AA

ixx0AiAi

A

n2014-10- 無阻尼單自由度系統自由振xtAe

A

AeintA

ejcosj

costisint

costisint

sinnt

sin

t

2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振cxkx

c

22x x s2ests2est

2

2s2est

est 2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振

22

xtA

Aes2t

12A12

s2x0A1A2

sss

A1s1A2s2

212A212

0xtAes1tA

s1 s

ss1

e es12014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動2 02

12d 12d1 2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動xt

s2

s1x0

es2t

s s 1 1x2x2 20d0

x20x20 012 nx0

112014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動xt

s2

s1x0

es2ts10 0

s1i

0 0d

x0

eidttn

sindtx0cosdt

sindt2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動初始位移的10％。試求緩沖器的相對阻尼系數。

xt0xtxe

sin

tcost0n0

t

n

cosdt

sindt

n sindtcosdt

2 x

sint0t 2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動

xe

sin

tcost

x

n x1x 1

d 11e

1 11

ln10

21

ln102

2

22014-10- 有阻尼單自由度系統自由2

s 0

s1x0x

s1 s122

1n

2 22n 22n

2

21nt 2222n

0 2222 0 0

1x

n

1tx 1t2n 2n 2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動——臨界阻 s1,2 tn

limxt n 1ntx0 1nt2n 2n entxxt 2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振動2014-10- 有阻尼單自由度系統自由振

xxt欠阻尼Underdamped

2014-10- 講授內概等效單自由度系統振動模型的建單自由度系統的固有振動單自由度系統的自由振動單自由度系統的強迫振動：簡諧單自由度系統的強迫振動：一般本章小結與作2014-10- 強迫振動基本概2014-10- 強迫振動基本概

F1X1F2X

FFXX無阻有阻簡諧無阻有阻簡諧任意2014-10- 線性疊加原x, x

kx

kxF

xtetn

sin

t

cos

tn n

2014-10- t強迫振動的線性疊加原txfFmxm

xpxp(t)xftt2014-10- tt簡諧力激勵下的強迫振動響P

22x 0sin

A2sint

sint

t n P0sintP0sintP0sintcoscost A 22n22n22nnm

A20 m m2An0

2014-10- 簡諧力激勵下的強迫振動響定義：22n222n22nm

22 22nnn2n n

2ntan1n2 12n2014-10- 簡諧力激勵下的強迫振動響xtP0 k 1 xt sink1kkHAx1 HAx1 1tan112014-10- 簡諧力激勵下的強迫振動響Q2221k 1

Q

Q

2014-10- 簡諧力激勵下的強迫振動響H

tan11HkH1 2H m22014-10- 簡諧力激勵下的強迫振動響111k12014-10- 傳遞函數確定方法——單位諧函數HP120n1HP120n1x x0 PP0

xA

xiAx

xAx

2Axx2Axx

2iA

A

P 02i22 0 H H1 0 n 0 n2014-10- 傳遞函數確定方法——拉氏變22x PP xX xsXs

s2Xs2Xs2sXs2XsPs HsXs P

2s2

i222n

s2014-10- 簡諧力激勵下的強迫振動響例題8：試求粘性阻尼系統在激振力P（t）=P0cost作用下的過渡階段的響應。 2 cxkxPcostPsin 2 穩態振動響應：xtAsintA

kk

2

12

xtAsint

2

2014-10- 簡諧力激勵下的強迫振動響初始振動響應：xtAentsintdx20x20010d1A 1

dxtAsint

2014-10- 隔振分析與設

tXet mF

cXeem

Host ctFejt

2014-10- 主動隔振系統設eFeem

cxkxfe-2mjckXFFtkjcXe cTFTFFt k ek2mtFejt

2014-10- 主動隔振系統設

k k2m

c

TF

1 2e0

TF

1n

2TF2TF

2014-10- 主動隔振系統設210-10-

TF11211

頻率n2014-10- 隔振系統設mtXejmt

cxtkxtkxetem2jckXkte Host

eXee

X

kXT Xe

km22014-10- 旋轉機械不平衡質量引起的振動分析 t t

Xme2 memtxcxmex

mesin

km

k kXme2

mtme

k mX

122

10- 12

10-10-

2014-10- 講授內概等效單自由度系統振動模型的建單自由度系統的固有振動單自由度系統的自由振動單自由度系統的強迫振動：簡諧單自由度系統的強迫振動：一般本章小結與作2014-10- 周期力激勵下的強迫振

FetFetT22

a cosnt sinnt

F0