會(huì)計(jì)學(xué)1成都理工大學(xué)高數(shù)下重修D(zhuǎn)對(duì)坐標(biāo)曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xOy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.第1頁(yè)/共19頁(yè)1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在第2頁(yè)/共19頁(yè)3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)第3頁(yè)/共19頁(yè)2.定義.設(shè)

L

為xOy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對(duì)L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作第4頁(yè)/共19頁(yè)若為空間曲線弧,記稱為對(duì)x的曲線積分;稱為對(duì)y的曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫(xiě)作類似地,第5頁(yè)/共19頁(yè)3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說(shuō)明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!第6頁(yè)/共19頁(yè)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有第7頁(yè)/共19頁(yè)特別是,如果L

的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧:類似有定理第8頁(yè)/共19頁(yè)例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.第9頁(yè)/共19頁(yè)例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則第10頁(yè)/共19頁(yè)例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第11頁(yè)/共19頁(yè)例4.設(shè)在力場(chǎng)作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿移動(dòng)到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中為第12頁(yè)/共19頁(yè)例5.求其中從

z

軸正向看為順時(shí)針?lè)较?解:取的參數(shù)方程第13頁(yè)/共19頁(yè)三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長(zhǎng)為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系第14頁(yè)/共19頁(yè)類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是第15頁(yè)/共19頁(yè)例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周第16頁(yè)/共19頁(yè)2.

已知為折線ABCOA(如圖),計(jì)算提示:第17頁(yè)/共19頁(yè)1.解:線移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn)