會計學1g在最優化問題中的比較靜態分析第1節引言在最優化問題中，最優解為參數的函數，在經濟模型中，參數常常是外生變量而最優解為內生變量，在最優化問題相關聯的比較靜態分析中我們感興趣的是：一，當某一個參數或者外生變量變化時，最優解或者均衡值如何發生變動？二，當某一個參數變動時，目標函數的最優值如何變動？本章在無約束最優化和有約束最優化框架下對其進行探討第1頁/共51頁第2節無約束最優化

為最優（最大或者最小）值函數定理：包絡定理I

變動對產生影響的兩種途徑：（i）直接影響，由于是的一個元素而包含在中，（ii）間接影響，通過包絡定理：第2頁/共51頁證明：而由最優化一階條件可知那么第3頁/共51頁例廠商利潤函數最優點

最大值函數第4頁/共51頁

對其關于求導

而利用包絡定理

第5頁/共51頁第3節有約束最優化有約束最優化問題拉格朗日函數最優解最優值函數第6頁/共51頁

包絡定理II

其中和為拉格朗日函數的臨界點證明將最優點代入拉格朗日函數由于最優解滿足約束條件從而以及求導可得第7頁/共51頁

由一階條件可知另外從而得證第8頁/共51頁作為影子價格的拉格朗日乘子故告訴我們的是參數增加一單位對目標函數最優值所產生的影響，經濟學上將其稱作該參數的影子價格。第9頁/共51頁第4節斯拉斯基方程消費者面臨的效用最大化問題

拉格朗日函數一階條件馬歇爾需求函數第10頁/共51頁

拉格朗日乘子對一階條件關于求導第11頁/共51頁

用矩陣表示為也即為加邊海賽矩陣第12頁/共51頁

由克拉默法則可得若對一階條件等式兩邊取微分，則

整理可得第13頁/共51頁

1、變化而和保持不變

利用克拉默法則求

第14頁/共51頁

從而這就是斯拉斯基方程，第一部分為“替代效應”而第二部分為“收入效應”2、收入效應價格不變而收入變動第15頁/共51頁

利用克拉默法則那么3、替代效應收入隨價格變化而變化使得消費者的效用水平保持不變或者第16頁/共51頁

有一階條件可知，均衡時那么或者前面已知則外生變量的變化必須使得第17頁/共51頁

只有商品1價格變化時，有由克拉默法則則就有第18頁/共51頁對于上述第一個結果的解釋(x*/Px)表明Px的變化如何影響x的最優購買數量T1=-(x*/B)x*,看起來它似乎是Y變化對最優購買量x*的影響的度量,且x*本身充當加權因子,但顯然這就使導數與價格變化相關,于是,必須將它解釋成價格變化的收入效應!當Px上升時,消費者實際收入的下降將會對x*產生類似于Y實際下降而產生的影響,所以用-(x*/B)表示可以理解,商品x在預算中的地位越突出,收入效應將越大,因此在T1中出現加權因子x*另一方面的解釋:微分dY=-x*dPx使得

表明T1是dPx通過B對x*影響的度量,即收入效應的量度.第19頁/共51頁如果以數量上等于dB的現金支付來補償消費者的實際收入減少,那么,由于收入效應的抵消作用,T2將度量完全由于價格變化引致的一種商品對另一種商品的替代而出現的x*變化,即T2度量替代效應!回到最初由一階條件得到的方程組,當僅研究dPx的影響時(dPy=dB=0),其第一個方程可以寫成-Pxdx*-Pydy*=x*dPx.對消費者進行補償,就要令該式為0,所以前述矩陣方程中的常數向量中x*=0第20頁/共51頁價格與收入成比例的變化考察當所有三個參數Px,Py和B按同一比例變化時x*,y*受到什么影響預算約束變為:效用函數與參數無關,消費者均衡狀態不受價格與收入等比變化的影響,即消費者沒有任何貨幣幻覺!用方程表示上述情況:第21頁/共51頁練習假設U=(x+2)(y+1)寫出拉格朗日函數求x*,y*,*(以參數Px,Py,B表示)檢驗極大值的二階充分條件令Px=4,Py=6及B=130,求各最優值上述最優解(x*,y*)能產生比較靜態信息嗎,求出所有比較靜態導數,確定其符號,并解釋其經濟意義.第22頁/共51頁替代效應和收入效應的正負符號替代效應

由二階條件可知，而由一階條件可知第23頁/共51頁

在非飽和假定下從而收入效應，，但可正可負，分三種情況分析第24頁/共51頁替代效應第25頁/共51頁情形1：正常物品此時，，從而情形2：低檔物品此時，，從而情形3：吉芬物品此時，，從而第26頁/共51頁正常物品第27頁/共51頁低檔物品第28頁/共51頁吉芬物品第29頁/共51頁第5節包絡定理在經濟學中的應用馬歇爾需求函數間接效用函數定理：羅伊等式如果為馬歇爾需求函數，那么證明效用最大化問題的拉格朗日函數為第30頁/共51頁

由包絡定理可知兩式相除即可得欲證結論支出最小化問題所得最優點為希克斯需求函數，代入目標函數所得最小值函數為支出函數第31頁/共51頁

例拉格朗日函數為一階條件最優點（希克斯需求函數）第32頁/共51頁

代入目標函數可得支出函數謝潑德引理令為商品的希克斯需求函數，則證明支出最小化問題的拉格朗日函數為第33頁/共51頁

由包絡定理可得

例支出函數為，求希克斯需求函數由謝潑德引理可知與上例吻合第34頁/共51頁一致性例間接效用函數為第35頁/共51頁一致性第36頁/共51頁

求支出函數由一致性可知

解之得其為欲求的支出函數。

第37頁/共51頁斯拉斯基方程再討論由一致性可知令，則對其求導可得而根據謝潑德引理第38頁/共51頁

則

或者成本最小化問題

所得最優點為廠商的條件需求函數，代入目標函數所得最小值函數則為廠商的成本函數第39頁/共51頁謝潑德引理

令為廠商投入品的條件需求函數而為廠商的成本函數，有證明成本最小化問題的拉格朗日函數為由包絡定理可知第40頁/共51頁例

成本最小化問題拉格朗日函數一階條件第41頁/共51頁

最優點成本函數第42頁/共51頁

成本函數關于要素價格求導并加以整理可得利潤最大化問題最優點這被稱作廠商的供給函數，代入目標函數可得利潤函數第43頁/共51頁定理：霍特林引理令為競爭性廠商的供給函數，為廠商對投入品的需求函數而為廠商的總利潤函數。有

證明利潤最大化問題第44頁/共51頁

拉格朗日函數好由包絡定理可得例競爭性廠商成本函數為令，則總利潤函數為第45頁/共51頁

一階條件供給函數總利潤函數第46頁/共51頁總利潤函數關于產量和要素價格求導，整理可得第47頁/共51頁一個例證考慮一個效用函數為U=xy的消費者,預算約束為B,給定商品價格為Px,Py,選擇問題:MaxU=xys.t.Pxx+Pyy=B.拉格朗日函數為:Z=xy+(B-Pxx-Pyy)一階條件為:Zx=y-Px=0,Zx=x-Py=0,Z=B-Pxx-Pyy=0求解一階條件:xm=B/2Px,ym=B/2Py,m=B/2PxPy把上述解代入效用函數,從問題中推導出間接效用函數:V(Px,Py,B)=U*=(B/2Px)(B/2Py)=B2/4PxPy調整后得到B=(4PxPyU*)1/2=2Px1/2Py1/2U*1/2消費者的對偶問題支出最小化問題中最小支出函數E應該等于基本問題中給定的預算B,于是立即得到:E(Px,Py,U*)=B=2Px1/2Py1/2U*1/2第48頁/共51頁關于羅伊恒等式的證明:第49頁/共51頁考慮給定前例中的效用水平而得到的對偶問題:成本最小化問題.U*表示目標效用水平,那么問題為:MinPx