2023年四川省眉山市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.過點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程為()．

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

2.

3.

4.

5.設平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0則平面π1與π2的位置關系是A.A.相交且垂直B.相交但不垂直C.平行但不重合D.重合

6.

7.

8.設函數f(x)=2lnx+ex,則f'(2)等于

A.eB.1C.1+e2

D.ln29.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

10.設函數y=f(x)二階可導，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

11.設f(x)為區間[a，b]上的連續函數，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的封閉圖形的面積為（）．A.A.

B.

C.

D.不能確定

12.

13.A.dx+dy

B.

C.

D.2(dx+dy)

14.設y＝sin2x，則y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x

15.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為

A.2B.-2C.3D.-3

16.

17.

A.-e

B.-e-1

C.e-1

D.e

18.A.A.2

B.

C.1

D.－2

19.f(x)是可積的偶函數，則是()。A.偶函數B.奇函數C.非奇非偶D.可奇可偶

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.設y=2x2+ax+3在點x=1取得極小值，則a=_____。

25.

26.

27.設f(x＋1)=4x2＋3x＋1，g(x)=f(e-x)，則g(x)=__________．

28.

=_________．

29.

30.

31.設函數z=x2ey，則全微分dz=______.

32.設y=3x，則y"=_________。33.

34.

35.

36.

37.設，則y'=______。38.39.

40.微分方程y'+4y=0的通解為_________。

三、計算題(20題)41.42.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．43.證明：44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

45.

46.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

47.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

48.

49.50.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則51.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．52.

53.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．54.求微分方程的通解．

55.

56.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

57.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.求曲線在點(1，3)處的切線方程．60.四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.(本題滿分10分)求由曲線y＝3－x2與y＝2x，y軸所圍成的平面圖形的面積及該封閉圖形繞x軸旋轉－周所成旋轉體的體積．

66.求微分方程的通解．67.

68.

69.70.計算五、高等數學(0題)71.

_________當a=__________時f(x)在(一∞，+∞)內連續。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A設所求平面方程為．由于點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，將它們的坐標分別代入所設平面方程，可得方程組

故選A．

2.C

3.D

4.B解析：

5.A平面π1的法線向量n1=(2，1，4)，平面π2的法線向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0。可知兩平面垂直，因此選A。

6.B

7.D

8.C本題考查了函數在一點的導數的知識點.

因f(x)=2lnx+ex,于是f'(x)=2/x+ex,故f'(2)=1+e2.

9.B本題考查了一階線性齊次方程的知識點。

因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此為常系數一階線性齊次方程,其特征根為r=2,所以其通解為y=Ce2x,又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.

注:方程y'=2y求解時也可用變量分離.

10.B

11.B本題考查的知識點為定積分的幾何意義．

由定積分的幾何意義可知應選B．

常見的錯誤是選C．如果畫個草圖，則可以避免這類錯誤．

12.A

13.C

14.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

15.C解析：

16.B

17.C所給問題為反常積分問題，由定義可知

因此選C．

18.C本題考查的知識點為函數連續性的概念．

19.Bf(x)是可積的偶函數；設令t=-u,是奇函數。

20.A解析：

21.

22.22解析：

23.dx

24.

25.y=2x+1

26.

27.

28.。

29.

30.(1+x)2

31.dz=2xeydx+x2eydy32.3e3x

33.本題考查了函數的一階導數的知識點。

34.π/4

35.x/1=y/2=z/-136.

37.本題考查的知識點為導數的運算。38.本題考查的知識點為無窮小的性質。

39.

40.y=Ce-4x

41.

42.函數的定義域為

注意

43.

44.

45.

46.

列表：

說明

47.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％48.由一階線性微分方程通解公式有

49.

50.由等價無窮小量的定義可知

51.

52.

則

53.由二重積分物理意義知

54.

55.

56.

57.

58.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

59.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

60.

61.

62.解

63.64.本題考查的知識點為計算二重積分；選擇積分次序或利用極坐標計算．

積分區域D如圖2—1所示．

解法1利用極坐標系．

D可以表示為

解法2利用直角坐標系．

如果利用直角坐標計算，區域D的邊界曲線關于x，y地位等同，因此選擇哪種積分次序應考慮被積函數的特點．注意

可以看出，兩種積分次序下的二次積分都可以進行計算，但是若先對x積分，后對y積分，將簡便些．

本題中考生出現的較普遍的錯誤為，利用極坐標將二重積分化為二次積分：

右端被積函數中丟掉了r，這是考生應該注意的問題．通常若區域可以表示為

65.本題考查的知識點有兩個：利用定積分求平面圖形的面積；用定積分求繞坐標軸旋轉所得旋轉體的體積．

所給曲線圍成的平面圖形如圖1－2所示．

解法1利用定積分求平面圖形的面積。

解法2利用二重積分求平面圖形面積．

求旋轉體體積與解法1同．

注本題也可以利用二重積分求平面圖形的面積．66.所給方程為一階線性微分方程

其通解為

本題考杏的知識點為求解一階線性微分方程．

67.

68.69.本題考查的知識點為兩個：定積分表示－個確定的數值；計算定積分．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉化為A的表達式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得

得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．

本題是考生感到困難的題目，普遍感到無從下手，這是因為不會利用“定積分表示－個數值”的性質．

這種解題思路可以推廣到極限、二重積分等問題中．

70