會計學1D不定積分的換元積分法2023/1/18一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機動目錄上頁下頁返回結束第1頁/共42頁例1.

求解:

令則故原式

=注:

當時機動目錄上頁下頁返回結束第2頁/共42頁例2.

求解:令則想到公式機動目錄上頁下頁返回結束第3頁/共42頁例3.

求想到解:(直接配元)機動目錄上頁下頁返回結束第4頁/共42頁例4.

求解:機動目錄上頁下頁返回結束類似第5頁/共42頁例5.

求解:∴原式

=機動目錄上頁下頁返回結束第6頁/共42頁常用的幾種配元形式:萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結束第7頁/共42頁例6.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束第8頁/共42頁例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束第9頁/共42頁例9.

求解法1解法2兩法結果一樣機動目錄上頁下頁返回結束第10頁/共42頁例10.

求解法1機動目錄上頁下頁返回結束第11頁/共42頁解法2同樣可證或(P196例16)機動目錄上頁下頁返回結束第12頁/共42頁例11.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束第13頁/共42頁例12.

求解:機動目錄上頁下頁返回結束第14頁/共42頁例13.

求解:∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束第15頁/共42頁例14.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束分析:

第16頁/共42頁例15.

求解:原式機動目錄上頁下頁返回結束第17頁/共42頁小結常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統一函數:利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法機動目錄上頁下頁返回結束利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如第18頁/共42頁思考與練習1.下列各題求積方法有何不同?機動目錄上頁下頁返回結束第19頁/共42頁2.

求提示:法1法2法3作業目錄上頁下頁返回結束第20頁/共42頁二、第二類換元法機動目錄上頁下頁返回結束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，第21頁/共42頁定理2.設是單調可導函數,且具有原函數,證:令則機動目錄上頁下頁返回結束則有換元公式第22頁/共42頁例16.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束第23頁/共42頁例17.

求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束第24頁/共42頁例18.

求解:令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結束第25頁/共42頁令于是機動目錄上頁下頁返回結束第26頁/共42頁說明:被積函數含有時,除采用采用雙曲代換消去根式,所得結果一致.(參考書上P201-P202)或或機動目錄上頁下頁返回結束三角代換外,還可利用公式第27頁/共42頁原式例19.

求解:

令則原式當

x<0時,類似可得同樣結果.機動目錄上頁下頁返回結束第28頁/共42頁小結:1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或機動目錄上頁下頁返回結束第四節講第29頁/共42頁機動目錄上頁下頁返回結束2.常用基本積分公式的補充(P203)(7)

分母中因子次數較高時,可試用倒代換

令第30頁/共42頁機動目錄上頁下頁返回結束第31頁/共42頁解:

原式(P203公式(20))機動目錄上頁下頁返回結束例20.

求例21.

求解:(P203公式(23))第32頁/共42頁例22.

求解:

原式=(P203公式(22))機動目錄上頁下頁返回結束例23.

求解:

原式(P203公式(22))第33頁/共42頁例24.

求解:

令得原式機動目錄上頁下頁返回結束第34頁/共42頁例25.

求解:

原式令例16例16目錄上頁下頁返回結束第35頁/共42頁思考與練習1.下列積分應如何換元才使積分簡便?令令令機動目錄上頁下頁返回結束第36頁/共42頁2.已知求解:

兩邊求導,得則(代回原變量)

機動目錄上頁下頁返回結束第37頁/共42頁作業P2042(4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三節目錄上頁下頁返回結束第38頁/共42頁備用題1.求下列積分:機動目錄上頁下頁