2022年遼寧省丹東市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

4.當x→0時，3x2+2x3是3x2的()。A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小但不是等價無窮小D.等價無窮小

5.

6.

7.

8.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

9.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

10.

11.A.A.yxy-1

B.yxy

C.xylnx

D.xylny

12.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

13.A.A.－sinx

B.cosx

C.

D.

14.如圖所示，在半徑為R的鐵環上套一小環M，桿AB穿過小環M并勻速繞A點轉動，已知轉角φ=ωt(其中ω為一常數，φ的單位為rad，t的單位為s)，開始時AB桿處于水平位置，則當小環M運動到圖示位置時(以MO為坐標原點，小環Md運動方程為正方向建立自然坐標軸)，下面說法不正確的一項是()。

A.小環M的運動方程為s=2Rωt

B.小環M的速度為

C.小環M的切向加速度為0

D.小環M的法向加速度為2Rω2

15.設y=sin2x，則y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx16.（）．A.A.單調增加且為凹B.單調增加且為凸C.單調減少且為凹D.單調減少且為凸

17.

18.

19.設函數y=f(x)二階可導，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

20.

二、填空題(20題)21.設f(x)=sinx/2，則f'(0)=_________。

22.23.

24.

25.26.

27.

28.

29.30.

31.

32.

33.設區域D由曲線y=x2，y=x圍成，則二重積分

34.35.若=-2，則a=________。36.設y＝3＋cosx，則y＝．

37.

38.二元函數z=x2+3xy+y2+2x，則=________。39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.44.求微分方程的通解．45.

46.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則47.48.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．49.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．50.51.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．52.求曲線在點(1，3)處的切線方程．53.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

54.

55.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．57.

58.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．59.證明：60.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答題(10題)61.判定y=x-sinx在[0，2π]上的單調性。

62.63.設區域D由x2+y2≤1，x≥0，y≥0所圍成．求64.

65.設z=ysup>2</sup>esup>3x</sup>，求dz。

66.67.求y=xex的極值及曲線的凹凸區間與拐點．68.設z=xy3+2yx2求

69.判定曲線y=3x3-4x2-x＋1的凹向．

70.五、高等數學(0題)71.已知同上題若產品以每件500元出售，問：要使利潤最大，應生產多少件?

六、解答題(0題)72.設z=z(x，y)由ez-z+xy=3所確定，求dz。

參考答案

1.A解析：

2.B解析：

3.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此為常系數一階線性齊次方程，其特征根為r=2，所以其通解為y=Ce2x，又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

4.D本題考查的知識點為無窮小階的比較。

由于，可知點x→0時3x2+2x3與3x2為等價無窮小，故應選D。

5.B

6.B

7.B解析：

8.D

9.C

10.B

11.A

12.C

13.C本題考查的知識點為基本導數公式．

可知應選C．

14.D

15.C由鏈式法則可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x，故選C。

16.B本題考查的知識點為利用一階導數符號判定函數的單調性和利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

17.D

18.D解析：

19.B

20.A

21.1/2

22.

23.

24.7/525.1．

本題考查的知識點為導數的計算．

26.

27.-1

28.5

29.本題考查的知識點為兩個：參數方程形式的函數求導和可變上限積分求導．

30.

31.3

32.33.本題考查的知識點為計算二重積分．積分區域D可以表示為：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

34.

35.因為=a，所以a=-2。36.－sinX．

本題考查的知識點為導數運算．

37.38.因為z=x2+3xy+y2+2x，39.3yx3y-1

40.arctanx+C

41.

42.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

43.

44.

45.

則

46.由等價無窮小量的定義可知

47.

48.

49.

50.

51.

列表：

說明

52.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.由二重積分物理意義知

54.

55.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

56.57.由一階線性微分方程通解公式有

58.函數的定義域為

注意

59.

60.

61.因為在[02π]內y'=1-cosx≥0可知在[02π]上y=x-sinx單調增加。因為在[0，2π]內，y'=1-cosx≥0，可知在[0,2π]上y=x-sinx單調增加。

62.63.將區域D表示為

則

本題考查的知識點為計算二重積分．

問題的難點在于寫出區域D的表達式．

本題出現的較常見的問題是不能正確地將區域D表示出來，為了避免錯誤，考生應該畫出區域D的圖形，利用圖形確定區域D的表達式．

64.

65.

66.67.y=xex

的定義域為(-∞，+∞)，y'=(1+x)ex，y"=(2+x)ex．令y'=0，得駐點x1=-1．令y"=0，得x2=-2．

極小值點為x=-1，極小值為

曲線的凹區間為(-