2022年湖南省長沙市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

2.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

3.

4.設函數f(x)滿足f'(sin2x=cos2x，且f(0)=0，則f(x)=（）A.

B.

C.

D.

5.如圖所示兩楔形塊A、B自重不計，二者接觸面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直線的兩個力的作用，則()。

A.A平衡，B不平衡B.A不平衡，B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡

6.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

7.

8.

9.鋼筋混凝土軸心受拉構件正截面承載力計算時，用以考慮縱向彎曲彎曲影響的系數是()。

A.偏心距增大系數B.可靠度調整系數C.結構重要性系數D.穩定系數

10.微分方程y"-y=ex的一個特解應具有的形式為(下列各式中α、b為常數)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

11.

12.

13.

14.設函數f(x)在[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則必定存在一點ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

15.

16.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

17.

18.

19.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，則f(x)=________。

32.

33.

34.

35.

36.過坐標原點且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程為_________.

37.設f(x)=esinx，則=________。

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

43.44.

45.46.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．47.

48.求曲線在點(1，3)處的切線方程．49.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．50.證明：

51.

52.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則53.求微分方程的通解．54.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．58.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

59.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.計算，其中D為曲線y=x，y=1，x=0圍成的平面區域．

65.

66.

67.求曲線y=x2、直線y=2-x與x軸所圍成的平面圖形的面積A及該圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積Vy。

68.69.計算

70.

五、高等數學(0題)71.設生產某產品利潤L(x)=5000+x一0．0001x2百元[單位：件]，問生產多少件時利潤最大，最大利潤是多少?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D

2.D本題考查的知識點為定積分的性質；牛頓－萊布尼茨公式．

可知應選D．

3.D解析：

4.D

5.C

6.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

7.C

8.C解析：

9.D

10.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應設定y*=αxex，因此選B。

11.D

12.C

13.B

14.D

15.B

16.A由于定積分

存在，它表示一個確定的數值，其導數為零，因此選A．

17.A

18.A

19.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

20.C

21.1/2

22.

23.

24.e2

25.2/52/5解析：

26.

27.

解析：

28.

29.00解析：

30.

31.6e3x

32.0

33.0

34.35.

36.3x-7y+5z=0本題考查了平面方程的知識點。已知所求平面與3x-7y+5z-12=0平行,則其法向量為(3,-7,5),故所求方程為3(x-0)+(-7)(y-0)+5(z-0)=0,即3x-7y+5z=0.37.由f(x)=esinx，則f"(x)=cosxesinx。再根據導數定義有=cosπesinπ=-1。

38.4x3y

39.

解析：

40.

41.

42.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

43.

44.

則

45.

46.

47.由一階線性微分方程通解公式有

48.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

49.

50.

51.52.由等價無窮小量的定義可知

53.

54.

55.

56.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

57.函數的定義域為

注意

58.

59.由二重積分物理意義知

60.

列表：

說明

61.

62.

63.

64.本題考查的知識點為選擇積分次序；計算二重積分．

由于不能利用初等函數表示出來，因此應該將二重積分化為先對x積分后對y積分的二此積分．

65.

66.

67.

68.

69.本題考查的知識點為不定積分的運算．

需指出，由于不是標準公式的形式，可以利用湊微分法求解．

70.

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(x)=1—0．0002x=0：x=5000；L""(x)=一0．0002<0∴x=