1空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線8.6

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用全微分的幾何意義小結(jié)一、空間曲線的切線與法平面——切線為割線的極限位置設(shè)空間曲線的方程設(shè)(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).

1.空間曲線的方程為參數(shù)方程隨著t的變動(dòng)，描繪出空間一條曲線上式分母同除以割線

的方程為——M處的切線方程切向量法平面切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量.過(guò)M點(diǎn)且與切線垂直的平面.解切線方程例法平面方程即設(shè)曲線方程為法平面方程為2.空間曲線的方程為兩個(gè)柱面的交線則曲線可看成參數(shù)方程：在M(x0,y0,z0)處,切線方程為x為參數(shù)例

在拋物柱面

與

的交線上,

求對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)處的切向量.x為參數(shù),于是解所以交線上與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向量為:交線的參數(shù)方程為取設(shè)空間曲線方程為3.空間曲線的方程為兩個(gè)曲面的交線確定了隱函數(shù)

兩邊分別對(duì)x求導(dǎo):則曲線依然可看成參數(shù)方程：x為參數(shù)同(2)一樣可寫(xiě)出切線方程和法平面方程解例

切線方程和法平面方程.2個(gè)方程3個(gè)變量，曲線可看作參數(shù)方程

所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)確定了2個(gè)1元函數(shù)：

切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程12設(shè)曲線練習(xí)證因原點(diǎn)(0,0,0)在法平面上,即于是證明此曲線必在以原點(diǎn)為中的法平面都過(guò)原點(diǎn),在任一點(diǎn)心的某球面上.曲線過(guò)該點(diǎn)的法平面方程為故有任取曲線上一點(diǎn)二、曲面的切平面與法線定義過(guò)M點(diǎn)與切平面垂直的直線曲面上一點(diǎn)M，若曲面上所有過(guò)M點(diǎn)的曲線在M點(diǎn)的切線都在同一個(gè)平面上，則稱(chēng)此平面為在M點(diǎn)的切平面稱(chēng)為在M點(diǎn)的法線今在曲面Σ上任取一條1.設(shè)曲面Σ的方程為的情形

函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為0點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于參數(shù)

不全為零.過(guò)點(diǎn)M的曲線Γ,設(shè)其參數(shù)方程為

由于曲線Γ在曲面Σ上,

在恒等式兩端對(duì)t求全導(dǎo)數(shù),

并令

則得記向量

曲線Γ在點(diǎn)M處切線的方向向量記為

則*式可改寫(xiě)成即向量垂直.*則

設(shè)平面∏過(guò)M點(diǎn)，以

為法向量

所以平面∏是曲面在M點(diǎn)的切平面在M(x0,

y0,

z0)處的法向量:切平面方程為法線方程為所以曲面Σ上在點(diǎn)M的曲面方程解令

例∥曲面方程切平面方程法線方程解設(shè)

為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得

例因?yàn)?/p>

是曲面上的切點(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足曲面方程切平面方程或2.曲面方程形為

的情形曲面在M處的切平面方程為法線方程令曲面方程解切平面方程為法線方程為

例法向量解設(shè)切點(diǎn)也是已知平面的法向量切點(diǎn)滿足曲面和平面方程練習(xí)253.曲面方程為參數(shù)方程的情形(u,v為雙參變量)求(u0,

v0)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0(x0,

y0,

z0)處的法向量固定v=

v0,讓u變,它在M0處的切向量為曲面Σ的參數(shù)方程為得到曲面Σ上一條所謂的u

曲線雙切線法26(u,v為雙參變量)求(u0,

v0)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0(x0,

y0,

z0)處的法向量它在M0處的切向量為曲面Σ的參數(shù)方程為同樣,固定u=

u0,讓v變,得到另一條所謂的v曲線,曲面Σ的法向量同時(shí)與垂直,故有公式

雙切線法27

例求馬鞍面對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切平面方程.解u=1

,

得曲線,即v

=1,

它們?cè)邳c(diǎn)(u

,

v)=(1,

1)處的切向量分別為馬鞍面在曲面上分別令切平面的法向量為切平面方程為雙切線法28令∥

解

切線方程和法平面方程.垂直于曲線在點(diǎn)

例

當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí),求切向量曾采用了隱函數(shù)求導(dǎo)法.處切線向量再用向量代數(shù)法做此題.應(yīng)同時(shí)29∥令∥

切線方程和法平面方程.

例30

切線方程和法平面方程.

解雙切平面法由于兩曲面的交線的切線等于兩曲面的切平面的交線,所以求出兩曲面在點(diǎn)P0處的切平面方程,再將兩切平面方程聯(lián)立即為所求.曲面在M處的切平面方程三、全微分的幾何意義表示切平面上的點(diǎn)的z坐標(biāo)的增量.設(shè)曲面方程為法向量表示法向量的方向角,表示法向量的方向向上,或說(shuō)法向量與z軸的正向夾角是銳角,則法向量的方向余弦為法向量的方向余弦設(shè)曲面方程為33思考求旋轉(zhuǎn)拋物面因?yàn)?第三個(gè)分量為負(fù)),解而為向下的法向量故向上的法向量應(yīng)為:在任意點(diǎn)在任意點(diǎn)P(x,y,z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).法向量34研究生考題,填空