三角函數的圖象和性質.一、三角函數圖象的作法1.幾何法y=sinx

作圖步驟:(2)平移三角函數線;(3)用光滑的曲線連結各點.(1)等分單位圓作出特殊角的三角函數線;xyoPMAxyoy=sinx-11o1A2232

.2.五點法作函數

y=Asin(x+)

的圖象的步驟:(1)令相位

x+=0,,,,2,解出相應的

x

的值;23

2

(3)用光滑的曲線連結(2)中五點.(2)求(1)中

x

對應的

y

的值,并描出相應五點;3.變換法:函數

y=Asin(x+)+k

與

y=sinx

圖象間的關系:

①函數

y=sinx

的圖象縱坐標不變,橫坐標向左

(>0)

或向右(<0)

平移

||

個單位得

y=sin(x+)

的圖象;

②函數

y=sin(x+)

圖象的縱坐標不變,橫坐標變為原來的

,得到函數

y=sin(x+)

的圖象;1

③函數

y=sin(x+)

圖象的橫坐標不變,縱坐標變為原來的

A倍,得到函數

y=Asin(x+)

的圖象;

④函數

y=Asin(x+)

圖象的橫坐標不變,縱坐標向上

(k>0)

或向下

(k<0)

平移

|k|

個單位得

y=Asin(x+)+k

的圖象.

要特別注意,若由

y=sin(x)

得到

y=sin(x+)

的圖象,則向左或向右平移應平移

|

|

個單位..二、三角函數圖象的性質

注正切函數的對稱中心有兩類:一類是圖象與

x

軸的交點,另一類是漸近線與

x

軸的交點,但無對稱軸,這是與正弦、余弦函數的不同之處.1.正弦函數

y=sinx(xR)

是奇函數,

對稱中心是

(k,0)(kZ),對稱軸是直線

x=k+

(kZ);余弦函數

y=cosx(xR)

是偶函數,對稱中心是

(k+

,0)(kZ),對稱軸是直線

x=k(kZ)(正,余弦函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于

x

軸的直線,對稱中心為圖象與

x

軸的交點).2

2

2.正切函數

y=tanx(xR,x+k,kZ)

是奇函數,對稱中心是(

,0)(kZ).

2k2

.三、正、余弦函數的性質1.定義域:都是

R.2.值域:都是

[-1,1].

對

y=sinx,當

x=2k+

(kZ)

時,y

取最大值

1;當

x=2k+

(kZ)

時,y

取最小值

-1;對

y=cosx,當

x=2k(kZ)

時,y

取最大值

1,當

x=2k+(kZ)

時,y

取最小值

-1.2

233.周期性:①y=sinx、y=cosx

的最小正周期都是

2;②

f(x)=Asin(x+)

和

f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是

T=.||24.奇偶性與對稱性:

正弦函數y=sinx(xR)是奇函數,

對稱中心是

(k,0)(kZ),對稱軸是直線

x=k+

(kZ);余弦函數

y=cosx(xR)是偶函數,對稱中心是

(k+

,0)(kZ),對稱軸是直線

x=k(kZ)(正(余)弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于

x

軸的直線,對稱中心為圖象與

x

軸的交點).2

2

.5.單調性:

y=sinx

在

[2k-

,2k+](kZ)上單調遞增,

在[2k+

,2k+

](kZ)上單調遞減;y=cosx

在

[2k,2k+](kZ)上單調遞減,在

[2k+,2k+2](kZ)上單調遞增.2

2

2

232.值域是

R,在上面定義域上無最大值也無最小值.

1.定義域:{x

|

x

+k,kZ}.2

3.周期性:是周期函數且周期是

,它與直線

y=a

的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期

.

注一般說來,某一周期函數解析式加絕對值或平方,其周期性是:弦減半、切不變.四、正切函數的性質.oxy五、典型例題

例1

利用單位圓中的三角函數線證明當

0<<時,不等式

sin<<tan

成立.2

提示由

S△OAP<S扇形OAP<S△OAT得:×OA×MP<××OA2<×OA×AT121212故有

sin<<tan.

×1×sin<×12×<×1×tan

121212即xyoPTMA例2

解不等式

|sinx|>cosx.{x|+2k<x<+2k,kZ}474

.3.求函數

y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

的最小正周期和最小值,并寫出該函數在

[0,]

上的單調增區間.解:

∵y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+

3

sin2x

=

3

sin2x-cos2x

6

=2sin(2x-)故該函數的最小正周期是

,最小值是

-2.3

在

[0,]

上的單調增區間是

[0,]

和

[,].65由

2k-≤2x-

≤2k+

(kZ)

得:2

2

6

k-≤x≤k+(kZ).3

6

令

k=0,

1

即得函數y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x

.4.已知函數

y=

cos2x+

sinxcosx+1,xR.

(1)求當

y

取得最大值時自變量

x

的集合;(2)該函數的圖象可由

y=sinx(xR)

的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?1232解:(1)y=

cos2x+

sinxcosx+1=

cos2x+

sin2x+12321434546

=

sin(2x+)+.5412當且僅當

2x+=2k+(kZ),即

x=k+(kZ)

時,6

2

6

函數

y

取得最大值.故當

y

取得最大值時,自變量

x

的集合是:{x

|

x=k+

,kZ}.6

.(2)將函數

y=sinx

依次進行如下變換:

①將

y=sinx

的圖象向左平移,得

y=sin(x+

)

的圖象;6

6

②將所得圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到

y=sin(2x+

)

的圖象;126

③將所得圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍(橫坐標不變),得到

y=

sin(2x+

)

的圖象;126

1254④將所得圖象向上平移個單位長度,得到

y=

sin(2x+

)

+的圖象;126

54綜上得到

y=

cos2x+

sinxcosx+1

的圖象.3212.5.已知函數

f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤)

是

R

上的偶函數,其圖象關于點

M(

,0)

對稱,且在區間

[0,]

上是單調函數,求

和

的值.432

解:

∵f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤)

是

R

上的偶函數,∴sin(-x+)=sin(x+),即

-cossinx=cossinx

對任意實數

x

都成立.∵>0,∴cos=0.又∵0≤≤,∴=.2

∵f(x)

的圖象關于點

M

對稱,∴f(x)=cosx.∴點

M

為

f(x)

圖象的一個對稱中心.∴=k+(kZ).43

2

∴=(kZ).4k+23∴f(x)=cosx

在區間

[0,

]

上是減函數.

∵>0,.2

23綜上所述,=,=2

或.

2

必有≤,即0<≤2.∴要使

f(x)=cosx

在區間

[0,]

上是單調函數,2

4k+23∴0<

≤2(kZ).解得

k=0

或

1.23∴=2

或..6.如果函數

y=sin2x+acos2x

的圖象關于直線

x=-

對稱,求

a

的值.8

解:

y=sin2x+acos2x=

a2+1

sin(2x+),其中,tan=a.

法1

∵函數

y=sin2x+acos2x

的圖象關于直線

x=-

對稱,8

∴當

x=-

時,y

取最大值或最小值.8

∴2(-

)+=k+,kZ.2

8

∴=k+

,kZ.43∴a=tan=tan(k+)=-1.

43

法2

∵函數

y=sin2x+acos2x

的圖象關于直線

x=-

對稱,8

∴當

x=-

時,y

取最大值或最小值.8

|sin2(-)+acos2(-)|2=a2+18

8

解得

a=-1.

.法3

∵函數

y=sin2x+acos2x

的圖象關于直線

x=-

對稱,8

∴當自變量取

0,-

時的函數值相同.4

即

0+a=-1+0.∴sin0+acos0=sin2(-)+acos2(-).4

4

∴a=-1.

法4

∵函數

y=sin2x+acos2x

的圖象關于直線

x=-

對稱,8

而函數

y=sin2x+acos2x

的周期為

,∴當

x=-+=時,函數值為

0.8

4

8

∴sin+acos=0.4

4

∴a=-1.

.課后練習

1.已知函數

f(x)=log

(sinx-cosx),(1)求它的定義域和值域;(2)判斷它的單調區間;(3)判斷它的奇偶性;(4)判斷它的周期性,如果是周期函數,求出它的一個周期.解:(1)由

sinx-cosx>0,即2sin(x-)>0

得:4

2k+<x<2k+

,kZ4

45{x

|

2k+<x<2k+

,kZ}.4

45∴f(x)

的定義域為∵sinx-cosx=

2sin(x-)≤

2

,

4

∴f(x)=log

(sinx-cosx)≥log

2=-.1212∴f(x)

的值域為[-,+∞).12(2)∵y=sinx-cosx

在

f(x)

的定義域上的單調遞增區間是(2k+

,2k+

](kZ);4

43[2k+

,2k+

)(kZ),4543單調遞減區間是..2.已知函數

f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,xR)在一個周期內的圖象如圖所示:232-25272oxy2

求直線

y=3

與函數

f(x)

圖象的所有交點的坐標.27解:

根據圖象得

A=2,T=-(-)=4,2

∴=

.12∴y=2sin(

x+).1212由(-

)+=0

得

=

.2

4

∴y=2sin(

x+

).124

由

3=2sin(

x+

)

得124

32sin(

x+)=

.124

∴

x+=2k+

或

2k+

(kZ).124

323

∴x=4k+或4k+

(kZ).656

6

65

故所有交點坐標為

(4k+,

3

)或(4k+

,

3

)

(kZ)..解:(1)依題意f(x)=2cos2x+3

sin2x=1+2sin(2x+

).

6

由

1+2sin(2x+

)=1-3

得:6

sin(2x+

)=-.6

32∵x[-,],∴2x+

[-,