第四章

數列4.2.1等差數列的概念第二課時一二三學習目標能用等差數列的定義推導等差數列的性質.能用等差數列的性質解決一些相關問題.能用等差數列的知識解決一些簡單的應用問題.學習目標復習回顧1.等差數列的定義：2.通項公式：4.等差數列的函數特征：an-an-1=d

（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)an

=a1+(n-1)d

由三個數a,A,b組成等差數列,則稱A叫做a與b的等差中項.3.等差中項：這三個數滿足關系式：

函數圖象上所有的點在同一條直線上：d＞0,等差數列單調遞增；d＜0,等差數列單調遞減；d＝0,等差數列為常數列.新知探究一：等差數列的實際問題例3解:解決等差數列實際問題的基本步驟(1)將已知條件翻譯成數學(數列)問題；(2)構造等差數列模型(明確首項和公差)；(3)利用通項公式解決等差數列問題；(4)將所求出的結果回歸為實際問題.例題小結

練習：某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價10元，即最初的4km（不含4km）計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數列{an}來計算車費.令a1

=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費

a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付車費23.2元。新知探究二：等差數列的性質例4已知等差數列{an}的首項a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數,使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}.

(1)求數列{bn}的通項公式.

(2)b29是不是數列{an}的項?若是,它是{an}的第幾項?若不是,請說明理由.解:如果插入k(k?N*)個數，那么{bn}的公差是多少？解2:解1:典例分析例4已知等差數列{an}的首項a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數,使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}.

(1)求數列{bn}的通項公式.

(2)b29是不是數列{an}的項?若是,它是{an}的第幾項?若不是,請說明理由.對于第（2）小題，你還有其他解法嗎？探究1：觀察等差數列:2,4,6,8,10,12,14,16,……說出8是哪兩項的等差中項？并找到它們滿足的規律？

思考：觀察項的角標滿足什么關系？由此你能得到什么固定的結論嗎？新知探究二：等差數列的性質證明：新知探究二：等差數列的性質例5若{an}是公差為d的等差數列，正整數

p,q,s,t滿足p＋q=s+t，則ap＋aq＝as＋at推廣：反例：常數列等差數列的性質新知探究二：等差數列的性質若{an}是公差為d的等差數列，正整數

p,q,s,t滿足p＋q=s+t，則ap＋aq＝as＋atCB典例分析24C4.已知數列{an}是等差數列，若a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，則a20=

．3.已知數列{an}是等差數列，若a4+a8＝20，a7＝12，則a4=

．61跟蹤練習思考例5是等差數列的一條性質，圖4.2-2是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數列的這一性質嗎?nanO????spqtasapaqatS(s,as)P(p,ap)Q(q,aq)T(t,at)新知探究二：等差數列的性質

探究2：

已知一個無窮等差數列{an}的首項為a1,公差為d.(1)將數列中的前m項去掉,其余各項組成一個新的數列,這個新數列是等差數列嗎?如果是,它的首項和公差分別是多少?

(2)依次取出數列中的所有奇數項,組成一個新的數列,這個新數列是等差數列嗎?如果是,它的首項和公差分別是多少?

(3)依次取出數列中所有序號為7的倍數的項,組成一個新的數列,它是等差數列嗎?你能根據得到的結論作出一個猜想嗎?新知探究二：等差數列的性質探究3：已知數列{an},{bn}都是等差數列,公差分別為d1,d2,數列{cn}滿足cn=

an

+2bn

.

(1)數列{cn}是否是等差數列?若是,證明你的結論;若不是,請說明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求數列{cn}的通項公式.新知探究二：等差數列的性質1.下標性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，則am＋an＝

.特別地:若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，則有am＋an＝

.

等差數列的常用性質ap＋aq2ap2.在等差數列中每隔

的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數列.相同若下標成等差數列，則對應的項成等差數列.3.若{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數列,則①數列{c＋an}的公差為

；②數列{c·an}的公差為

；③數列{an＋an＋k}的公差為

；④數列{pan＋qbn}的公差為

.2dpd＋qd′dcd新知探究二：等差數列的性質BAB30跟蹤練習

跟蹤練習(1)證：(2)解：跟蹤練習設{an}是公差為d的等差數列，那么性質1an

=a1+(n-1)