2001年普通高等數學招生全國統一考試〔全國Ⅱ〕理科數學參考公式：三角函數的積化和差公式：正棱臺、圓臺的側面積公式其中、分別表示上、下底面周長，表示斜高或母線長．球的體積公式：，其中表示球的半徑．第一卷〔選擇題共60分〕一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．假設，那么在A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限2．過點，且圓心在直線上的圓的標準方程是A．B．C．D．3．設是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，那么它的首項是A．1B．2C．4D．64．假設定義在區間內的函數滿足，那么的取值范圍是A．B．C．D．Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1A．B．C．D．6．函數的反函數是A．B．C．D．7．假設橢圓經過原點，且焦點為，，那么其離心率為A．B．C．D．8．假設，，，那么A．B．C．D．9．在正三棱柱中，假設，那么與所成的角的大小為A．60°B．90°C．105°D．75°10．設，都是單調函數，有如下四個命題：①假設單調遞增，單調遞增，那么單調遞增；②假設單調遞增，單調遞減，那么單調遞增；③假設單調遞減，單調遞增，那么單調遞減；④假設單調遞減，單調遞減，那么單調遞減．其中，正確的命題是A．①③B．①④C．②③D．②④11．一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜．記三種蓋法屋頂面積分別為，，．假設屋頂斜面與水平面所成的角都是，那么A．B．C．D．①②③①②③34768612126347686121265A．26B．24C．20D．19第二卷〔非選擇題共90分〕考前須知：用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卡上．二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共20分，把答案填在題中橫線上．13．假設一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，那么這個圓錐的側面積是．14．雙曲線的兩個焦點為，，點在雙曲線上．假設，那么點到的距離為．15．設數列是公比為的等比數列，是它的前項和．假設是等差數列，那么＝．16．圓周上有個等分點，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數為．三、解答題：本大題共6小題，共74分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．SADCB17．〔本小題總分值10分〕如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，，面，，．SADCB〔1〕求四棱錐的體積；〔2〕求面與面所成的二面角的正切值．18．〔本小題總分值12分〕復數．〔1〕求及；〔2〕當復數滿足，求的最大值．19．〔本小題總分值12分〕設拋物線的焦點為，經過的直線交拋物線于，兩點，點在拋物線的準線上，且∥軸．證明：直線經過原點．20．〔本小題總分值12分〕，，是正整數，且．〔1〕證明：；〔2〕證明：．21．〔本小題總分值12分〕從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此開展旅游產業．根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少．本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后旅游業收入每年會比上年增加．〔1〕設年內〔本年度為第一年〕總投入為萬元，旅游業總收入為萬元．寫出，的表達式；〔2〕至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入？22．〔本小題總分值12分〕設是定義在上的偶函數，其圖像關于直線對稱，對任意，都有．〔1〕求及；〔2〕證明是周期函數；〔3〕記，求．數學試題參考答案一、選擇題，此題考查根底知識，根本概念和根本運算能力題號１23456789101112答案二、填空題．此題考查根底知識,根本概念和根本運算技巧13．14．15．16．三、解答題17．數學試題(理工農醫類)參考答案及評分標準一．選擇題：此題考查根本知識和根本運算．每題5分，總分值60分．(1)B(2)C(3)B(4)A(5)C(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)D(12)D二．填空題：此題考查根本知識和根本運算．每題4分．總分值16分．(13)2π(14)(15)1(16)2n(n－1)三．解答題．(17)本小題考查線面關系和棱錐體積計算，以及空間想象能力和邏輯推理能力．總分值12分．解：(I)直角梯形ABCD的面積是M底面=(BC+AD)AB＝……2分∴四棱推S-ABCD的體積是……4分(II)延長BA、CD相交于點E，連結SE，那么SE是所求二面角的棱……6分∵AD∥BC，BC=2AD∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分即所求二面角的正切值為．……12分(18)本小題考查復數的根本性質和根本運算，以及分析問題和解決問題的能力．總分值12分．(19)本小題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力．總分值12分．證明一：因為拋物線y2=2pc(p>0)的焦點為F()，所以經過點F的直線AB的方程可設為x=my+代人拋物線方程得y2-2pcmy-p2=0假設記A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2=-p2因為BC∥x軸，且點C在準線x=-上，所以點C的坐標為(-，y2)，故直線CO的斜率為即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經過原點O．證明二：如圖，記x軸與拋物線準線l的交點為E，過A作AD⊥l，D是垂足．那么AD∥FE∥BC．……2分連結AC，與EF相交手點N，那么根據拋物線的幾何性質，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|……8分即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經過原點O．……12分(20)本小題考查排列、組合、二項式定理、不等式的根本知識和邏輯推理能力．總分值12分．(21)本小題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等根底知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力．總分值12分．解．(I)第1年投入為800萬元．第2年投入為800×(1-)萬元，……，第n年投入為800×(1-)n-1萬元.所以，n年的總收入為第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+)萬元，……，第n年旅游業收人為400×(1