2022年湖北省荊門市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.

2.下列命題中正確的為

A.若x0為f(x)的極值點，則必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，則點x0必為f(x)的極值點

C.若f'(x0)≠0，則點x0必定不為f(x)的極值點

D.若f(x)在點x0處可導，且點x0為f(x)的極值點，則必有f'(x0)=0

3.

若y1·y2為二階線性常系數微分方程y〞+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2（）.A.為所給方程的解，但不是通解

B.為所給方程的解，但不一定是通解

C.為所給方程的通解

D.不為所給方程的解

4.

5.設y=sinx，則y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

6.設f(x)為區間[a，b]上的連續函數，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的封閉圖形的面積為()。A.

B.

C..

D.不能確定

7.

8.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

9.（）。A.sinx＋ccosx

B.sinx-xcosx

C.xcosx-sinx

D.-(sinx＋xcosx)

10.設y=cos4x，則dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx11.設函數f(x)在[a，b]上連續，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的平面圖形的面積等于（）。A.

B.

C.

D.

12.A.-1

B.1

C.

D.2

13.

14.

15.A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.無關條件

16.設y=2x3，則dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

17.

18.

19.設函數/(x)=cosx，則

A.1

B.0

C.

D.-1

20.若x0為f(x)的極值點，則（）．A.A.f(x0)必定存在，且f(x0)＝0

B.f(x0)必定存在，但f(x0)不－定等于零

C.f(x0)不存在或f(x0)＝0

D.f(x0)必定不存在

21.A.A.

B.

C.

D.

22.

23.

24.

25.（）。A.2ex＋C

B.ex＋C

C.2e2x＋C

D.e2x＋C

26.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

27.A.A.4/3B.1C.2/3D.1/328.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx29.A.A.

B.

C.

D.

30.

31.

32.方程z=x2+y2表示的曲面是（）

A.橢球面B.旋轉拋物面C.球面D.圓錐面

33.

34.

35.A.A.f(2)－f(0)

B.

C.

D.f(1)－f(0)

36.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

37.

38.平面的位置關系為()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合39.A.A.1

B.1/m2

C.m

D.m2

40.

41.曲線y=x-ex在點(0，-1)處切線的斜率k=A.A.2B.1C.0D.-142.函數y=ln(1+x2)的單調增加區間是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)43.用多頭鉆床在水平放置的工件上同時鉆四個直徑相同的孔，如圖所示，每個鉆頭的切屑力偶矩為M1=M2=M3=M4=一15N·m，則工件受到的總切屑力偶矩為()。

A.30N·m，逆時針方向B.30N·m，順時針方向C.60N·m，逆時針方向D.60N·m，順時針方向

44.

45.A.A.

B.

C.-3cotx+C

D.3cotx+C

46.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為（）A.A.2B.-2C.3D.-3

47.

48.

49.

50.設函數在x=0處連續，則a等于()．A.A.0B.1/2C.1D.2二、填空題(20題)51.

52.

53.

54.

55.

56.設區域D由曲線y=x2，y=x圍成，則二重積分

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.設y=cosx，則dy=_________。

65.66.67.

68.

69.

70.曲線y=1-x-x3的拐點是__________。

三、計算題(20題)71.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．72.

73.求曲線在點(1，3)處的切線方程．74.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

75.

76.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．77.

78.求微分方程的通解．79.80.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

81.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．82.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

83.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

84.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

85.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．86.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則87.88.89.證明：

90.

四、解答題(10題)91.

92.計算其中區域D由y=x，y=0，x2+y2=1圍成的在第一象限內的區域．

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.確定函數f(x,y)=3axy-x3-y3(a＞0)的極值點.

五、高等數學(0題)101.設f(x)的一個原函數是lnx，求

六、解答題(0題)102.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

參考答案

1.C

2.D解析：由極值的必要條件知D正確。

y=｜x｜在x=0處取得極值，但不可導，知A與C不正確。

y=x3在x=0處導數為0，但x0=0不為它的極值點，可知B不正確。因此選D。

3.B

4.B

5.A由于

可知應選A．

6.B本題考查的知識點為定積分的幾何意義。由定積分的幾何意義可知應選B。常見的錯誤是選C。如果畫個草圖，則可以避免這類錯誤。

7.C

8.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此為常系數一階線性齊次方程，其特征根為r=2，所以其通解為y=Ce2x，又當x=0時，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

9.A

10.B

11.C

12.A

13.A

14.A解析：

15.D

16.B由微分基本公式及四則運算法則可求得．也可以利用dy=y′dx求得故選B．

17.B

18.A

19.D

20.C本題考查的知識點為函數極值點的性質．

若x0為函數y＝f(x)的極值點，則可能出現兩種情形：

(1)f(x)在點x0處不可導，如y＝|x|，在點x0＝0處f(x)不可導，但是點x0＝0為f(x)＝|x|的極值點．

(2)f(x)在點x0可導，則由極值的必要條件可知，必定有f(x0)＝0．

從題目的選項可知應選C．

本題常見的錯誤是選A．其原因是考生將極值的必要條件：“若f(x)在點x0可導，且x0為f(x)的極值點，則必有f(x0)＝0”認為是極值的充分必要條件．

21.D

22.C

23.A

24.C

25.B

26.A

27.C

28.C本題考查的知識點為二階偏導數。由于z＝ysinx，因此可知應選C。

29.C

30.A

31.B

32.B旋轉拋物面的方程為z=x2+y2.

33.C解析：

34.B

35.C本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和不定積分的性質．

可知應選C．

36.C

37.A

38.A本題考查的知識點為兩平面的關系。兩平面的關系可由兩平面的法向量，n1，n2間的關系確定。若n1⊥n2，則兩平面必定垂直．若時，兩平面平行；

當時，兩平面重合。若n1與n2既不垂直，也不平行，則兩平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，應選A。

39.D本題考查的知識點為重要極限公式或等價無窮小代換．

解法1由可知

解法2當x→0時，sinx～x，sinmx～mx，因此

40.A

41.C

42.C本題考查的知識點為判定函數的單調性。

y=ln(1+x2)的定義域為(-∞，+∞)。

當x＞0時，y'＞0，y為單調增加函數，

當x＜0時，y'＜0，y為單調減少函數。

可知函數y=ln(1+x2)的單調增加區間是(0，+∞)，故應選C。

43.D

44.C

45.C

46.C點(-1，0)在曲線y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由導數的幾何意義可知，曲線y=x2+5x+4在點(-1,0)處切線的斜率為3，所以選C．

47.B

48.C

49.B

50.C本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由函數連續性的定義可知，若f(x)在x=0處連續，則有，由題設f(0)=a，

可知應有a=1，故應選C．

51.

52.(-22)(-2，2)解析：

53.

54.5/2

55.56.本題考查的知識點為計算二重積分．積分區域D可以表示為：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

57.12x

58.

59.y=-e-x+C

60.0

61.

解析：

62.x2x+3x+C本題考查了不定積分的知識點。

63.

64.-sinxdx

65.解析：66.(－∞，＋∞)．

本題考查的知識點為求冪級數的收斂區間．

若ρ＝0，則收斂半徑R＝＋∞，收斂區間為(－∞，＋∞)．

若ρ＝＋∞，則收斂半徑R＝0，級數僅在點x＝0收斂．

67.x--arctanx+C本題考查了不定積分的知識點。

68.

69.

70.(01)

71.

72.

則

73.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

74.函數的定義域為

注意

75.

76.77.由一階線性微分方程通解公式有

78.

79.

80.

81.

82.

列表：

說明

83.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

84.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％85.由二重積分物理意義知

86.由等價無窮小量的定義可知

87.

88.

89.

90.

91.92.利用極坐標計算，

93.

94.

95.

96.

97.

98.99.本題考查的知識點為計算二重積分；選擇積分次序或利用極坐標計算．

積分區域D如圖2—1所示．

解法1利用極坐標系．

D可以表示為

解法2利用直角坐標系．

如果利用直角坐標計算，區域D的邊界曲線關于x，y地位等同，因此選擇哪種積分次序應考慮被積函數的特點．注意

可以看出，兩種積分次