上海師范學(xué)校2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，不共線，=k+，（k∈R），=﹣如果∥那么（）A． k=﹣1且與反向

B． k=1且與反向 C． k=﹣1且與同向

D． k=1且與同向參考答案：D2.在一次馬拉松比賽中，30名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示．若將運動員按成績由好到差編號為1﹣30號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取6人，則其中成績在區(qū)間[130，151]上的運動員人數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點】莖葉圖．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法的特征，將運動員按成績由好到差分成6組，得出成績在區(qū)間[130，151]內(nèi)的組數(shù)，即可得出對應(yīng)的人數(shù)．【解答】解：將運動員按成績由好到差分成6組，則第1組為（130，130，133，134，135），第2組為（136，136，138，138，138），第3組為（141，141，141，142，142），第4組為（142，143，143，144，144），第5組為（145，145，145，150，151），第6組為（152，152，153，153，153），故成績在區(qū)間[130，151]內(nèi)的恰有5組，故有5人．故選：C．【點評】本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，也考查了系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．3.已知（1+i）?z=﹣i，那么復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的冪運算性質(zhì)，化簡復(fù)數(shù)到最簡形式，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在的象限．【解答】解：∵（1+i）?z=﹣i，∴z====﹣﹣，∴復(fù)數(shù)=﹣+，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點為（﹣，），復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的第二象限，故選B．4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線（s為參數(shù)）和直線（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為(

)A.8

B.6

C.2

D.4參考答案：D5.假如今年省運會給嶺師附中高中三個年級7個自主推薦的志愿者名額，則每個年級至少分到一個名額的方法數(shù)為()A．10

B．15 C．21

D．30參考答案：B6.橢圓的離心率為

A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則a的值為 （A） （B） （C） （D）參考答案：B8.下列表示圖書借閱的流程正確的是（）A．入庫閱覽借書找書出庫還書B．入庫找書閱覽借書出庫還書C．入庫閱覽借書找書還書出庫D．入庫找書閱覽借書還書出庫參考答案：B略9.下列結(jié)論正確的是A.當(dāng)且時，

B.當(dāng)時C.當(dāng)時的最小值為2

D.當(dāng)時，無最大值參考答案：B10.已知點為雙曲線的右支上一點，，為雙曲線的左、右焦點，若（為坐標(biāo)原點），且，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B由有，又，所以為直角三角形，且，由勾股定理求出，根據(jù)雙曲線的定義有，即，所以雙曲線的離心率，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某單位有職工200名，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號，…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為23，則第10組抽出的號碼應(yīng)是

.參考答案：12.曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)為______________；參考答案：(1,0)或（-1，-4）13.設(shè)平面α的一個法向量為=（1，2，﹣2），平面β的一個法向量為=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，則k=

．參考答案：4【考點】平面的法向量．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：∵α∥β，∴∥，∴存在實數(shù)λ使得．∴，解得k=4．故答案為：4．14.等差數(shù)列{an}中，已知a1+a2=，a3+a4=1，則a13+a14的值為

．參考答案：【考點】等差數(shù)列的通項公式．【專題】方程思想；待定系數(shù)法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得首項和公差的方程組，解方程組代入計算可得．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1+a2=2a1+d=，a3+a4=2a1+5d=1，聯(lián)立解得a1=，d=，∴a13+a14=2a1+25d=，故答案為：．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，屬基礎(chǔ)題．15.已知數(shù)列滿足，則=

.參考答案：16.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：，從“第步到步”時，兩邊應(yīng)同時加上

．參考答案：17.已知結(jié)論：“在三邊長都相等的中，若是的中點，是外接圓的圓心，則”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在六條棱長都相等的四面體中，若是的三邊中線的交點，為四面體外接球的球心，則

”．參考答案：3

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項，前項和為．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，前項和滿足為常數(shù)，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及的值；（Ⅱ）比較與的大小.參考答案：解（Ⅰ）由題意，即（2分）解得，∴（4分）又，即（6分）解得

或（舍）∴（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴①（10分）又，∴②（13分）由①②可知（14分）略19.已知等差數(shù)列，公差不為零，，且成等比數(shù)列;⑴求數(shù)列的通項公式;⑵設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.參考答案：解：⑴由成等比數(shù)列得，，即,解得，或（舍）,,⑵(理科)由⑴ , , 所以.略20.已知函數(shù)，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點，求實數(shù)a的值；（2）若對任意的x1，x2∈[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）都有f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）通過、x=1是函數(shù)h（x）的極值點及a＞0，可得，再檢驗即可；

（2）通過分析已知條件等價于對任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．結(jié)合當(dāng)x∈[1，e]時及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三種情況討論即可．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定義域為（0，+∞），∴．

∵x=1是函數(shù)h（x）的極值點，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．

經(jīng)檢驗當(dāng)時，x=1是函數(shù)h（x）的極值點，∴；（2）對任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等價于對任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．當(dāng)x∈[1，e]時，．∴函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①當(dāng)0＜a＜1且x∈[1，e]時，，∴函數(shù)在[1，e]上是增函數(shù)，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合題意；②當(dāng)1≤a≤e時，若1≤x＜a，則，若a＜x≤e，則．∴函數(shù)在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時，，∴函數(shù)在[1，e]上是減函數(shù)．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；綜上所述：a的取值范圍為．21.（本小題滿分12分）某學(xué)校為調(diào)查該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)的時間，隨機收集了若干位學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)的時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時），將樣本數(shù)據(jù)分組為[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，繪制了如右圖所示的頻率分布直方圖，已知[0,2)內(nèi)的學(xué)生有5人．（1）求樣本容量n，并估計該校學(xué)生每周平均使用手機上網(wǎng)的時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）將使用手機上網(wǎng)的時間在[4,12]內(nèi)定義為“長時間看手機”，使用手機上網(wǎng)的時間在[0,4)內(nèi)定義為“不長時間看手機”．已知在樣本中有25位學(xué)生不近視，其中“不長時間看手機”的有15位學(xué)生．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生長時間看手機與近視有關(guān)．

近視不近視合計長時間看手機▲▲▲不長時間看手機▲15▲合

計▲25▲參考公式和數(shù)據(jù)：．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8413.8416.63510.828

參考答案：解：（1）因為使用手機上網(wǎng)的時間再內(nèi)的學(xué)生有5人，對應(yīng)的概率為，所以樣本容量

……………（2分）由題可得該校學(xué)生每周平均使用手機上網(wǎng)時間約為小時……………（4分）