上海市定西中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（

）A

B

C

D參考答案：A略2.已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+與k﹣互相垂直，則k的值是（）A．1 B． C． D．參考答案：D【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【分析】利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．【解答】解：+=（3，1，6），k﹣=（2k﹣1，k，4k﹣2），∵+與k﹣互相垂直，∴3（2k﹣1）+k+6（4k﹣2）=0，解得k=，故選：D．【點評】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量坐標(biāo)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)、是兩條不同直線，、是兩個不同平面，則下列命題錯誤的是A．若，，則

B．若，，,則C．若，，,則

D．若，，則參考答案：D略4.已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點，若為正三角形，則這個橢圓的離心率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.若ａ，ｂ為實數(shù)，則ａ，ｂ的值為（）Ａ．ａ＝１，ｂ＝－１．

B．ａ＝１，

ｂ＝１．Ｃａ＝－１，ｂ＝１．Ｄ．ａ＝－１，ｂ＝－１．參考答案：C略6.若函數(shù)，則f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.0參考答案：B【詳解】因為，所以.所以,故選B.【點評】對于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值，因為內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是外層函數(shù)的自變量的值.另外，要注意自變量的取值對應(yīng)著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式，體現(xiàn)考綱中要求了解簡單的分段函數(shù)并能應(yīng)用，來年需要注意分段函數(shù)的分段區(qū)間及其對應(yīng)區(qū)間上的解析式，千萬別代錯解析式.7.橢圓的焦距為(

)A.10

B.5

C.

D.參考答案：D略8.對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，則估計此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25參考答案：B【考點】頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合眾數(shù)和中位數(shù)的定義進行求解即可．【解答】解：由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)在[2，2.5]之間的面積最大，此時眾數(shù)集中在[2，2.5]內(nèi)，用區(qū)間.2的中點值來表示，∴眾數(shù)為2.25．第一組的頻率為0.08×0.5=0.05，對應(yīng)的頻數(shù)為0.05×100=5，第二組的頻率為0.16×0.5=0.08，對應(yīng)的頻數(shù)為0.08×100=8，第三組的頻率為0.30×0.5=0.15，對應(yīng)的頻數(shù)為0.15×100=15，第四組的頻率為0.44×0.5=0.22，對應(yīng)的頻數(shù)為0.22×100=22，第五組的頻率為0.50×0.5=0.25，對應(yīng)的頻數(shù)為0.25×100=25，前四組的頻數(shù)之和為5+8+15+22=50，∴中位數(shù)為第4組的最后一個數(shù)據(jù)以及第5組的第一個數(shù)據(jù)，則對應(yīng)的中位數(shù)在5組內(nèi)且比2大一點，故2.02比較適合，故選：B．9.下面命題正確的個數(shù)是（

）①若，則與、共面；②若，則、、、共面；③若，則、、、共面；④若，則、、、共面；A．

B．

C．

D．參考答案：C10.如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線,及直線x=a,與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點，若落在陰影部分的概率為，則的值是（）A、

B、

C、

D、參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知命題，，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是

．（用區(qū)間表示）參考答案：12.若圓上至少有三個不同點到直線的距離為則直線的斜率的取值區(qū)間為

．參考答案：13.已知關(guān)于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為___________參考答案：【分析】對m進行分類討論，、時分別分析函數(shù)的單調(diào)性，對m的取值范圍進行進一步分類討論，求出該函數(shù)在區(qū)間上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范圍.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞減，內(nèi)層二次函數(shù)：當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得：；當(dāng)，即時，無意義；當(dāng)，，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，則需，無解；當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，，無解.②當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞增，，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，解得：.綜上所述：或.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，若大于0恒成立，則最小值大于0，若小于0恒成立則最大值小于0，注意對參數(shù)進行分類討論，區(qū)分存在性問題與恒成立問題.14.已知的最大值是

.參考答案：2－415.已知在R上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則等于

。參考答案：16.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項和為Sn，S4=λa4，則λ為．參考答案：【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式進行求解即可．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的公比q=2，∴由S4=λa4，得=λ23a1=8λa1，即15=8λ，故λ=，故答案為：【點評】本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，建立方程是解決本題的關(guān)鍵．17.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S12＞0，S13＜0，則使an＜0成立的最小值n是

．參考答案：7【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】S12＞0，S13＜0，可得＞0，＜0，因此a6+a7＞0，a7＜0，即可得出．【解答】解：∵S12＞0，S13＜0，∴＞0，＜0，∴a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0．則使an＜0成立的最小值n是7．故答案為：7．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)φ（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）討論φ（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f（x）=φ（x）﹣x3，當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞﹣x2對x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=﹣x2（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：（1）φ′（x）=，（x＞0），a≤0時，φ′（x）＞0恒成立，則φ（x）在（0，+∞）遞增，a＞0時，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，則φ（x）在（0，）遞增，令φ′（x）＜0，解得：x＞，則φ（x）在（，+∞）遞減；（2）x＞0時，f（x）＜0恒成立，則lnx﹣ax﹣x3＜0，即a＞﹣x2對x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=﹣x2（x＞0），g′（x）=，設(shè)h（x）=1﹣lnx﹣x3（x＞0），h′（x）=﹣﹣3x2＜0，故h（x）在（0，+∞）遞減，又h（1）=0，則0＜x＜1時，h（x）＞0，g′（x）＞0，x＞1時，h（x）＜0，g′（x）＜0，故g（x）max=g（1）=﹣，故a＞﹣．19.定義“矩陣”的一種運算·，該運算的意義為點（x，y）在矩陣的變換下成點.設(shè)矩陣A=

(1)已知點在矩陣A的變換后得到的點的坐標(biāo)為，試求點的坐標(biāo)；(2)是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)矩陣A變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這樣的直線；若不存在，則說明理由。參考答案：解：（1）設(shè)P（）由題意，有

，即P點的坐標(biāo)為。（2）假設(shè)存在這樣的直線，因為平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，所以設(shè)直線方程為：因為該直線上的任一點M（），經(jīng)變換后得到的點N()仍在該直線上所以即，其中代入得對任意的恒成立解之得故直線方程為或略20.如圖,在四面體ABCD中,,點E,F分別是AB,BD的中點．求證：（1）直線EF∥面ACD；（2）BD⊥平面EFC．參考答案：(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知中E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點，由三角形中位線定理可得EF∥AD，再由線面平行的判定定理，即可得到直線EF∥面ACD；（2）由AD⊥BD結(jié)合（1）的結(jié)論可得EF⊥BD，再由CB＝CD，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得到CF⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC．【詳解】證明：（1）∵E,F分別是AB,BD的中點．∴EF是的中位線,面ACD,面ACD,∴直線面ACD；（2）,F是的中點,又,平面CEF,平面CEF,得平面面EFC．【點睛】本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間線面平行及線面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．21.在五面體中，,

,平面.（1）證明:直線平面；（2）已知為棱上的點，，求二面角的大小.參考答案：證明：（1）四邊形為菱形，，………1分又∵平面∴………2分又直線平面.………4分(2)，為正三角形，取的中點，連接，則，又平面，∴兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，………5分，，………6分由（1）知是平面的法向量，………7分，，則