廣東省河源市中學2022年度高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.復數的虛部為

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略3.下列各式中，值為的是（）A．sin15°cos15° B．C． D．參考答案：C【考點】三角函數的化簡求值．【分析】由條件利用二倍角公式、兩角和的差三角公式，求出各個選項中式子的值，從而得出結論．【解答】解：由于sin15°cos15°=sin30°=，故排除A．由于﹣=cos=，故排除B．由于=tan60°=，滿足條件．由于=cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=，故排除D，故選：C．4.已知是實數，是純虛數，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.等差數列的前n項和為=

(

)

A．18

B．20

C．21

D．22參考答案：B6.已知函數f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（）A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]參考答案：C【考點】分段函數的應用．【分析】根據題意，在坐標系里作出函數f（x）的圖象，根據f（a）=f（b）=f（c），確定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范圍．【解答】解：作出函數的圖象如圖，直線y=m交函數圖象于如圖，不妨設a＜b＜c，由正弦曲線的對稱性，可得（a，m）與（b，m）關于直線x=對稱，因此a+b=1，當直線y=m=1時，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故選：C．7.已知集合，則A中元素的個數為(

)A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】由得,取整數，將A中元素一一列舉，可得A中元素個數.【詳解】，選D．【點睛】本題考查集合的表示形式，考查三種形式列舉法、描述法、文氏圖相互轉換，屬于基本題.8.《九章算術》有這樣一個問題：今有子女善織，日增等尺，七日織二十一尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問第十日所織尺數為（

）A．6

B．9C．12

D．15參考答案：D9.已知函數的最小正周期為，為了得到函數的圖象，只要將的圖象（

）

A.向左平移個單位長度

B.向右平移個單位長度

C.向左平移個單位長度

D.向右平移個單位長度參考答案：A10.設全集U＝R，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某商人將彩電先按原價提高40%，然后“八折優惠”，結果是每臺彩電比原價多賺144元，那么每臺彩電原價是元．參考答案：1200【考點】一次函數的性質與圖象．【分析】設每臺彩電原價是x元，由題意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即為所求．【解答】解：設每臺彩電原價是x元，由題意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案為1200．【點評】本題主要考查一次函數的性質應用，屬于基礎題．12.在直角坐標系中，以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系。已知點，若極坐標方程為的曲線與直線（為參數）相交于、兩點，則

。參考答案：2；13.設向量滿足,,則

參考答案：【知識點】平面向量數量積的運算．1解：∵,,

∴分別平方得兩式相減得，

即，故答案為：1．【思路點撥】將等式進行平方，相加即可得到結論．14.已知點和圓，過點P作圓C的切線有兩條，則實數k的取值范圍是______參考答案：【分析】由過點可作圓的兩條切線知，點在圓的外部，根據點與圓的位置關系可得關于的不等式，結合為圓的一般方程，可知滿足的不等式，聯立即可求解.【詳解】因為為圓，所以，解得,又過點作圓的切線有兩條，所以點在圓的外部，故，解得,綜上可知.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系的應用，圓的一般方程，圓的切線的條數，屬于中檔題.

15.已知直線和直線分別與圓相交于和，則四邊形的內切圓的面積為

．參考答案：試題分析：因為直線和直線互相垂直且交于點，而恰好是圓的圓心，所以，四邊形是邊長為的正方形，因此其內切圓半徑是，面積是，故答案為.考點：1、圓的性質及數形結合思想；2、兩直線垂直斜率之間的關系.【思路點睛】本題主要考查圓的性質及數形結合思想、兩直線垂直斜率之間的關系，屬于中檔題.數形結合是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.解答本題有兩個關鍵點:一是首先要從兩直線方程的表面特征，挖掘出兩直線垂直這種位置關系；二是結合圓的幾何性質判斷出四邊形是邊長為的正方形，其內切圓半徑為.16.在中，角所對的邊分別為，若，則最小值為

.參考答案：17.計算(lg－lg25)÷100－＝________.參考答案：－20三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.。參考答案：證明：要證明成立19.（本小題滿分13分）已知函數（其中為常數）。（I）當時，求函數的最值；（Ⅱ）討論函數的單調性。參考答案：解：（I）的定義域為，當時

，………2分

由得，由得

在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故當時，取最小值，無最大值。………4分（Ⅱ）

………5分

當時，恒成立，

在區間上單調遞增；

………6分

當時，由得

解得，

………7分

當時，

由得

在區間上單調遞減；在區間和上單調遞增………9分當時，

由得

在區間上單調遞減；在區間上單調遞增

綜上，當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞減；在區間和上單調遞增當時，在區間上單調遞減；在區間上單調遞增

………13分略20.定義在實數集上的函數f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函數f（x）的圖象在x=1處的切線方程；（2）若f（x）≥g（x）對任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求實數m的取值范圍．參考答案：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切線方程為y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，當﹣4＜x＜﹣1時，h′（x）＞0，當﹣1＜x＜3時，h′（x）＜0，當3＜x＜4時，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m﹣，∵m+，∴，即m。考點： 利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．專題： 導數的綜合應用．分析： （1）求切線方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用點斜式求直線方程，問題得以解決；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，轉化為求最值問題．解答： 解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切線方程為y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，當﹣4＜x＜﹣1時，h′（x）＞0，當﹣1＜x＜3時，h′（x）＜0，當3＜x＜4時，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m﹣，∵m+，∴，即m。點評： 導數再函數應用中，求切線方程就是求某點處的導數，再求參數的取值范圍中，轉化為求函數的最大值或最小值問題．21.（10分）（2015?泰州一模）如圖，EA與圓O相切于點A，D是EA的中點，過點D引圓O的割線，與圓O相交于點B，C，連結EC．求證：∠DEB=∠DCE．參考答案：【考點】：與圓有關的比例線段．【專題】：立體幾何．【分析】：由切割線定理：DA2=DB?DC，從則DE2=DB?DC，進而△EDB～△CDE，由此能證明∠DEB=∠DCE．證明：∵EA與⊙O相切于點A．∴由切割線定理：DA2=DB?DC．∵D是EA的中點，∴DA=DE．∴DE2=DB?DC．…（5分）∴．∵∠EDB=∠CDE，∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…（10分）【點評】：本題考查兩角相等的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．22.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且短軸長為2，O為坐標原點．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線l：y=kx+與橢圓交于A、B兩點，且?=，求k的值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）短軸的長求得b，進而根據離心率求得a和c的關系，則a和b的關系可求得，最后根據b求得a，則橢圓的方程可得；（2）設出A，B的坐標，把直線與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x1+x2和x1x2，由直線方程和韋達定理，可得y1y2，進而根據斜率的數量積的坐標表示和?=得k的關系式，解方程可得k的值．【解答】解：（1）短軸長2b=2，即b=1，e==，又a2=b2+c2，所以a=，b=1，所以橢圓的方程為+y2=1；（2）由直線l的方程為y=kx+，設A（x1，y1），