《直接證明與間接證明》教學(xué)設(shè)計（4）一、教學(xué)目標(biāo)：1．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。2．了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。二、重難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題。2.難點(diǎn)：運(yùn)用三種方法提高分析問題和解決問題的能力。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納教學(xué)課時：1課時四、教學(xué)過程（一）談考綱要求及新課程高考命題考查情況，促使積極參與學(xué)生閱讀復(fù)資P145頁教師點(diǎn)評，增強(qiáng)目標(biāo)及參與意識。（二）知識梳理，方法定位（學(xué)生完成復(fù)資P146頁填空題，教師準(zhǔn)對問題講評）1.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明；直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫綜合法。框圖表示：（其中P表示條件，Q表示要證的結(jié)論）。綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫分析法。框圖表示：。分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因；分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。2.間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法。反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫反證法。反證法的步驟：1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2)從這個假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進(jìn)行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí).3.重難點(diǎn)問題探析：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題（1）從命題的特點(diǎn)、形式去選擇證明方法①一般地，結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等詞語，或否定性命題，或要討論的情況很復(fù)雜的，可以考慮用反證法②一般地，含分式、根式的不等式，或從條件出發(fā)思路不明顯的命題，可以考慮用分析法③命題的結(jié)論有明確的證明方向的，適宜用綜合法問題1：對于任意非零實(shí)數(shù)，等式總不成立點(diǎn)撥：從命題的形式特點(diǎn)看，適合用反證法證明（2）比較復(fù)雜的命題，有時需要多種證明方法綜合運(yùn)用，各取所長。（三）基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的條件.答案充分2.若a＞b＞0,則a+b+.(用“＞”,“＜”,“=”填空)答案＞3.要證明+＜2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號）.①反證法 ②分析法 ③綜合法答案②4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是.①假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)②假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)③假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)④假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)答案②5.設(shè)a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時大于零”的條件.答案充要6.已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實(shí)根.應(yīng)假設(shè)答案三個方程中都沒有兩個相異實(shí)根7.用反證法證明命題：“三角形內(nèi)角和至少有一個不大于”時，應(yīng)假設(shè)（）A.三個內(nèi)角都不大于B.三個內(nèi)角都大于C.三個內(nèi)角至多有一個大于D.三個內(nèi)角至多有兩個大于[解析]B8.已知，關(guān)于的取值范圍的說法正確的是（）A.不大于B.不大于2C.不小于2D.不小于[解析]B9.若三角形能剖分為兩個與自己相似的三角形，那么這個三角形一定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定[解析]B10.要證明不等式成立，只需證明：[解析]11.已知與的大小關(guān)系是[解析]（注意：不能取等號）[用平均值不等式]12.(07年惠州第一問)已知數(shù)列滿足,，．求證：是等比數(shù)列；[解析]由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)∵a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝15故數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列（四）小結(jié)：1.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明；直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法。⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立。綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因；分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。2.間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法。反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫反證法。反證法的步驟：1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2)從這個假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等