第5章

數字濾波器基礎主要內容濾波器基礎

典型模擬濾波器的設計無限沖激響應(IIR)數字濾波器的設計有限沖激響應(FIR)數字濾波器的設計

濾波器，是對輸入信號起到濾波的作用。提取有用信號，抑制不需要的干擾；把信號分成不同的頻率分量；信號檢測及信號估計。經典濾波現代濾波：3.1濾波器概述一、濾波器基本原理

1濾波器：對輸入信號起濾波作用。h(n)x(n)y(n)則LTI(LinearTimeInvariant)系統的輸出為：假定輸入信號x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的頻帶。當x(n）經過一個線性系統（即濾波器）后即可將欲去除的成分有效地去除。|X(ejw)|wwc無用wc|H(ejw)||Y(ejw)|wwc

經典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器（LPAF/LPDF):Lowpassfilter帶通濾波器(BPAF/BPDF):Bandpassfilter高通濾波器(HPAF/HPDF):Highpassfilter帶阻濾波器(BSAF/BSDF):Bandstopfilter

每一種又可分為：數字(Digital)和模擬(Analog)濾波器。2分類模擬濾波器：RC濾波、LC濾波數字濾波器：是一種計算程序，處理離散信號。1）利用通用計算機實現的線性非移變系統的特定軟件，2）特別的專用硬件芯片組成的線性非移變系統，都可以定義為數字濾波器。實現數字濾波器時，必須把輸入—輸出關系轉變成計算機上可執行的算法。算法實際是由一組基本運算單元組成的。二數字濾波器2、時域1、差分方程一般輸入x(n)與輸出y(n)可以有幾種表示方法：其中

h(n)=T[(n)]y(n)=x(n)h(n)y(n)=brx(nk)aky(nk)k=0Mk=1N3、復頻域y(n)=Z1[Y(z)]=Z1[X(z)H(z)]式中H(z)是系統的系統函數，且H(z)=Y(z)X(z)k=0Mbkzkk=1Nakzk1+=4頻域的離散傅里葉變換算單元。不同的算法就有不同的表示方法，但都要用到基本運式中H(k)是系統的頻域采樣函數。y(n)=IDFT[Y(k)]=IDFT[X(k)H(k)]例如以下系統函數表示，相應有不同的運算結構。最常用描述離散系統的數學形式是給定系統函數H(z)上面的H1(z)、H2(z)、H3(z)是同一系統不同的傳輸函數1H1(z)=10.8z1

+0.15z21.5H2(z)=10.3z12.510.5z1+1H3(z)=10.3z1110.5z1實現濾波從運算上看,只需三種運算：加法、單位延遲、乘常數。因此實現的方法有兩種：（1）利用通用計算機編程，即軟件實現;

（2）數字信號處理器（DSP）即專用硬件實現。系統函數

差分方程例1：已知一個數字濾波器的傳輸函數實現上式的運算：移位、乘、加。則其相應的差分方程為：系統函數和差分方程的關系(求解差分方程)N階常系數線性差分方程的一般形式為若系統起始狀態為零，直接對上式兩端取Z變換，利用Z變換的線性特性和移位特性可得所謂數字濾波實質是一種運算過程，用來描述離散系統輸入與輸出關系的差分方程或卷積和，給它提供一個簡明的運算規則，使它完成對數據的處理。例2：已知一個數字濾波器其傳輸函數為則根據傳輸函數幅度特性：實現：1什么是網絡結構就是系統的實現方法的表達式形式系統的不同運算結構直接影響系統的運算誤差、運算速度，系統設計的軟硬件的復雜程度和成本運算結構就是網絡結構一、數字濾波器的結構表示法1、流圖（框圖法）框圖法簡明且直觀，其三種基本運算

(n)

z-1相加:單位延時:(n）aa

乘常數:

x(n)b0x(n)y(n)b02、信號流圖法

三種基本的運算：單位延時：乘常數：相加：滿足以下條件的信號流圖，是在計算機上可實現的。稱為基本信號流圖。信號流圖中所有支路進行的都是基本運算信號流圖中如果有環路，則環路中必須存在延遲支路節點和支路的數目是有限的1235467a1y(n-1)y(n)任何一節點值等于所有輸入支路的信號之和。節點：輸入節點：，輸出節點，支路：支路增益

數字濾波器是一種數字式的處理設備，它的設計是建立在對離散系統分析的基礎上。但是某些濾波器的設計過程中，為了保留模擬濾波器的良好特性，往往按給定的指標先設計一個模擬濾波器，然后進行數字化，所以了解模擬濾波器的特性和設計方法是很有必要的。主要內容濾波器概述典型模擬濾波器的設計無限沖激響應(IIR)數字濾波器的設計有限沖激響應(FIR)數字濾波器的設計

AF的衰減（衰耗）特性工作衰耗取決于幅度平方函數或稱模方函數理想的低通濾波器：通帶過渡帶阻帶實際的低通濾波器：典型模擬濾波器設計一、巴特沃思低通(Butterworth)濾波器

基本性質從給定的指標設計模擬濾波器，其中心是如何尋找一個恰當的近似函數來逼近理想特性。巴特沃思濾波器是以巴特沃思近似函數作為濾波器的傳輸函數，該函數以最高階泰勒級數的形式來逼近理想矩形特性。模方函數：隨著階次N的增加，通帶越平坦，越接近理想的特性，，逼近矩形。巴特沃斯濾波器幅度特性性質：對不同的N，總存在，幅度隨著的升高單調下降。當

這說明在處最“平坦”—最大平坦近似。頻率遠離，在高頻范圍內，頻率每增加一倍，衰耗增加6NdB。

設計過程按給定指標確定N

，通帶最大衰耗，阻帶最小衰耗由模方函數求傳遞函數H(s)

巴特沃思函數極點分布規律極點分布圖N=3ResjImsS平面N=4ResjImsS平面由巴特沃思圓上的2N個極點，得到H(s)H(s)的表示根據因果穩定系統的要求，取左半平面的N個極點作為H(s)的極點，

H(s)由右半平面N個極點組成。這樣得到H(s)的一般表示H(s)=(spk)k=1Nk0H(s)H(s)=(spk)k=12Nk0|H(j)|2|j=s

=H(s)H(s)k0可以由H(0)求出。因為s=j=0時，巴特沃思濾波器的幅頻特性H(0)=1，即H(s)=Nk0s=0=1(pk)k=1，解出k0=(pk)k=1N=(c)NH(s)=(spk)k=1N(pk)k=1N(spk)k=1N(c)N=得到H(s)=(spk)k=1N(pk)k=1NsN+aN1csN1+aN2csN2+

+a1cs

+cNN12=cN(spk)k=1N=cN如果采用對截止頻率c歸一化，歸一化的H(s)為(s/c)N+aN1(s/c)N1+aN2(s/c)

N2+

+a1(s/c)

+11H(s)=令s=s/c，pk=pk

/c

則上式變為或H(s)=pkk=1N1cscH(s)=(spk)k=1N1(s)N+aN1(s)N1+aN2(s)

N2+

+a1(s)

+11H(s)=式中pk為歸一化極點。歸一化后的巴特沃思濾波器一般也稱歸一化巴特沃思原型低通濾波器。將上式的分母多項式制成相應的表格如表5.2~5.4所示，這樣的多項式稱巴特沃思多項式。s+11(s)2+2s+12(s)3+2(s)

2+2s+13(s)4+2.6131(s)3+3.4142(s)

2+2.6131s+14+3.8637s+1+10.0978(s)

2+4.494s+1(s)5+3.2631(s)4+5.2331(s)3+5.2361(s)

2+3.2361s+15(s)6+3.8637(s)5+7.4641(s)4+9.1416(s)3+7.4641(s)

26(s)7+4.494(s)6+10.0978(s)5+14.5918(s)4+14.5918(s)37+21.8642(s)3+13.1371(s)

2+5.1258s+18(s)8+5.1258(s)7+13.1371(s)6+21.8462(s)5+25.6884(s)4低通巴特沃思濾波器設計步驟如下(4)、去歸一化，得到實際濾波器的系統函數(1)由p、s、p、s及上式確定系統的階數N。(2)由N查表5.3或5.4確定巴特沃思多項式。(3)用

式確定c。H(s)=H(s)s=s/cc=p(101)0.1p2N1解例：已知某濾波器的技術指標為：通帶截止頻率fp

=100Hz，通帶最大衰減p=1dB，阻帶截止頻率fr

=150Hz，阻帶最小衰減r

=15dB，設計滿足條件的巴特沃思低通濾波器。

=2lg(150/100)lg101.51100.11

=6.45N取正整數，所以N=7。查表得濾波器歸一化系統函數為改善阻帶指標c取c=p(101)0.1p2N1=1002(100.11)141=1001.1012=700去歸一化，得到H(s)=H(s)s=s/cH(s)c=p(