2．3.2平面向量的正交分解及坐標表示2．3.3平面向量的坐標運算1．理解平面向量的坐標的概念，會寫出給定向量的坐標，會作出已知坐標表示的向量．(重點)2．掌握平面向量的坐標運算，能準確運用向量的加法、減法、實數與向量的積的坐標運算法則進行有關的運算．(難點)3．了解向量的坐標表示與平面內點的坐標．(易混點)一、平面向量的坐標表示1．向量的正交分解：把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量正交分解．2．向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個

i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x，y使得a＝________，則有序數對

叫做向量a的坐標，記作a＝

，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標．互相垂直單位向量(x，y)(x，y)xi＋yj二、平面向量的坐標運算向量的加、減法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝

．即兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量．實數與向量的積若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝

，即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的

.(x1－x2，y1－y2)相應坐標的和(差)(λx，λy)相應坐標(x2－x1，y2－y1)終點起點

在平面直角坐標系中，若a＝b，那么a與b的坐標具有什么特點？為什么？提示：若a＝b，那么它們的坐標相同，根據平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐標系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐標相同．(2)平面向量的坐標與該向量的始點、終點坐標有關，應把向量的坐標與點的坐標區別開來，只有始點在原點時，向量的坐標才與終點的坐標相等．(3)符號(x，y)在直角坐標系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，為了加以區分，在敘述中，就常說點(x，y)或向量(x，y)．(4)由于向量的坐標表示的引入，使向量有兩種表示方法：一種是幾何法，即用向量的長度和方向表示，另一種是坐標法，即用一對有序實數表示，有了向量的坐標表示，就可以將幾何問題轉化為代數問題來解決．在直角坐標系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分別計算出它們的坐標．【思路點撥】題目中給出了向量a、b、c的模以及與坐標軸的夾角，要求向量的坐標，先將向量正交分解，把它們分解為橫、縱坐標的形式，然后寫出其相應的坐標．(1)在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據向量的直角坐標運算法則進行計算．(2)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．(3)求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．【特別提醒】(1)進行平面向量坐標運算前，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關系．(2)要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的．(3)要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關．【借題發揮】向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．給出了向量的另一種表示——坐標表示式，向量的加法、減法及實數與向量的積都可用坐標來進行運算，使得向量運算完全代數化，將數與形緊密地結合起來，這樣許多幾何問題的解決就可以轉化為我們熟知的數量運算．

(12分)已知點A(1,0)、B(0,2)、C(－1，－2)，求以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．∴D點的坐標為(－2,0)(如圖中的D3)．綜上所述，以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為(0，－4)或(2,4)或(－2,0).12分【題后總結】注意數形結合及分類討論，利用向量相等時，其坐標對應相等，從而求得點或向量的坐標．3．本例若已知點A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，其他條件不變，如何求D點的坐標？(2)當平行四邊形為ABDC時，仿(1)可得D(2，－3)；(3)當平行四邊形為ADBC時，仿(1)可得D(6,15)．綜上可知，D點可能為(0，－1)或(2