關于離散型隨機變量的期望第一頁，共十九頁，2022年，8月28日教學要求:1.使學生了解離散型隨機變量的期望的意義,會根據離散型隨機變量的分布列求出期望.⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～B（n,p），則Eξ=np”.能熟練地應用它們求相應的離散型隨機變量的期望.教學重點：離散型隨機變量的期望的概念教學難點：根據離散型隨機變量的分布列求出期望第二頁，共十九頁，2022年，8月28日1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示;

2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量

3．連續型隨機變量:

對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量

4.離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系:

離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出一、復習引入：第三頁，共十九頁，2022年，8月28日

若ξ是隨機變量，η=ａξ＋ｂ,ａ,ｂ是常數，則η也是隨機變量并且不改變其屬性（離散型、連續型）

5.分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為P(ξ=xi)=pi，則稱表:ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列6.分布列的兩個性質：⑴Pi≥0，(i＝1，2，…)；⑵P1+P2+…=1．第四頁，共十九頁，2022年，8月28日7.[離散型隨機變量的二項分布]:在一次隨機試驗中，某事件可能發生也可能不發生，在n次獨立重復試驗中這個事件發生的次數ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是:于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nP……

稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數，并記＝b(k；n，p)．第五頁，共十九頁，2022年，8月28日8.離散型隨機變量的幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發生時，所作試驗的次數ξ也是一個正整數的離散型隨機變量．“ξ=k”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發生.如果把k次試驗時事件A發生記為Ak,事件A不發生記為,P(Ak)=p,P()=q,(q=1-p)那么:（k＝0,1,2,…，)于是得到隨機變量ξ的概率分布如下ξ123…k…Pppqpq2…qk-1p…稱這樣的隨機變量ξ服從幾何分布記作g(k，p)=qk-1p,其中k=0,1,2,3,…,q=1-p第六頁，共十九頁，2022年，8月28日

對于離散型隨機變量，確定了它的分布列，就掌握了隨機變量取值的統計規律,同時可以方便的得出隨機變量的某些指定的概率，但分布列的用途遠不止于此。

在實際問題中，我們還常常希望通過數字來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差二、新知引入：第七頁，共十九頁，2022年，8月28日[引例]：例如:已知某射手射擊所得環數ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22

根據這個射手射擊所得環數ξ的分布列，我們很容易得到下面的信息:故在n次射擊的總環數大約為在n次射擊中，預計有大約0.02n次的4環

在n次射擊中，預計有大約0.04n次的5環,同理可得其它……第八頁，共十九頁，2022年，8月28日從而，預計n次射擊的平均環數約為這是一個由射手射擊所得環數的分布列得到的，只與射擊環數的可能取值及其相應的概率有關的常數，它反映了射手射擊的平均水平．故在n次射擊的總環數大約為新知探究

在n次射擊之前，可以根據這個分布列估計n次射擊的平均環數．這就是我們今天要學習的離散型隨機變量的期望.第九頁，共十九頁，2022年，8月28日期望的定義

類似地，對任一射手，若已知其射擊所得環數ξ的分布列，即已知各個P（ξ=i)(i=0,1,2,,…10），則可預計他任意n次射擊的平均環數是Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+…+10×P（ξ=10）稱Eξ為此射手射擊所得環數ξ的期望，它刻劃了隨機變量ξ所取的平均值，從一個方面反映了射手的射擊水平。若離散型隨機變量ξ的概率分布為ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…則稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數學期望或平均數、均值，又稱期望。第十頁，共十九頁，2022年，8月28日[例題1]籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分。已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分ξ的期望。[例題2]隨機拋擲一個骰子，求所得骰子的點數ξ的期望。知識應用[點拔]:據隨機變量ξ的數學期望的概念及計算公式,知其值為隨機變量的所有取值與其相應概率積的和,故需先求其分布列.<生做:答:(1)Eξ=0.7;(2)Eξ=3.5>第十一頁，共十九頁，2022年，8月28日例3

有一批數量很大的產品，其次品率是15%。對這批產品進行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續抽查，直到抽出次品，但抽查次數最多不超過10次。求抽查次數ξ的期望。（結果保留三個有效數字）解：抽查次數ξ取1~10的整數，從這批數量很大的產品中每次抽取一件檢驗的試驗可以認為是彼此獨立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品的概率P(ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15，（k=1，2，…9）；需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P（ξ=10）=0.859第十二頁，共十九頁，2022年，8月28日[知識探索]：若ξ為上述離散型隨機變量，則η=aξ+b的分布列怎樣？Eη呢？

因為P（η=axi+b）=P（ξ=xi），i=1，2，3…所以，η的分布列為ηax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…

于是Eη=（ax1+b)p1+（ax2+b)p2+…+（axn+b)pn+…=a（x1p1+x2p2+…+xnpn+…）+b（p1+p2+…+pn+…）=aEξ+b[性質1]E（aξ+b）=aEξ+b數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.第十三頁，共十九頁，2022年，8月28日[例4](補充)．某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計).從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機經常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程(這個城市規定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量．設他所收租車費為η(Ⅰ)求租車費η關于行車路程ξ的關系式(Ⅱ)若隨機變量ξ的分布列為ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租車費η的數學期望．(Ⅲ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?第十四頁，共十九頁，2022年，8月28日[解]：(Ⅰ)依題意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；∵η=2ξ+2故Eη=2Eξ+2=34.8（元）5×(18-15)=15

(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘故所收租車費η的數學期望為34.8元．第十五頁，共十九頁，2022年，8月28日③根據分布列，由期望的定義求出Eξ

公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服從二項分布的隨機變量的期望Eξ=np知識歸納(1)離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；練習：P141~6。作業：習題1.2P161~6第十六頁，共十九頁，2022年，8月28日[