第六章彎曲變形材料力學§6–2撓曲線近似微分方程§6-3用積分法求梁的變形§6-4用疊加法求梁的變形第六章彎曲變形§6-5梁的剛度計算§6-1概述§6-6簡單超靜定梁§6-8提高彎曲剛度的措施§6-7梁的彎曲應(yīng)變能彎曲變形一、工程中的彎曲變形問題§6-1概述PAB一、彎曲變形的量度yx1.撓曲線：變形后梁的軸線。2.撓度ω：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。向上為正。x撓曲線方程：3.轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，即y軸與撓曲線法線的夾角，或x軸與撓曲線切線的夾角。逆時針方向為正。小變形：撓曲線彎曲變形即:截面轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率。彎曲變形橫力彎曲時,如果是細長梁,可略去剪力對梁的變形的影響，但M和都是x的函數(shù)：純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系式為：由高數(shù)幾何關(guān)系知,平面曲線w=f(x)上任意一點的曲率可寫作：6由于撓曲線是一條非常平坦的曲線,ω’2遠比1小,可以略去不計：稱為梁的撓曲線近似微分方程M0yxMMM<0MM彎矩M與二階導(dǎo)數(shù)ω‘’的正負號始終一致！符號判定7撓曲線近似微分方程：C、D—積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。彎曲變形若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫成：上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次,得撓度方程：§6-2撓曲線近似微分方程彎曲變形在簡支梁中,左右兩鉸支座處的撓度wA和wB都應(yīng)等于零。在懸臂梁中,固定端處的撓度wA和轉(zhuǎn)角A都應(yīng)等于零。ABwA＝0wB＝0ABwA＝0A＝0邊界條件(boundarycondition)ABAB不可能不可能連續(xù)性條件(Continuitycondition)在撓曲線的任一點上,有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。如:9討論：xyCBA分幾段？問題的邊界條件、連續(xù)條件？邊界條件連續(xù)條件A處：wA=0B處：wB=0AB、BC兩段B處：w1=w2q1=q2A處：wA=0，qA=0僅OA一段。OqA如果彎矩方程是分段描述的，或梁的彎曲剛度在全長內(nèi)有變化，則求變形時需分段積分；多分一段將多出兩個積分常數(shù)，同時增加兩個連續(xù)條件。10例：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角max。ABlxxy解：以梁左端A為原點,取直角坐標系如圖，令x軸向右,y軸向上為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分11(3)由邊界條件確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0處:w＝0θ＝0積分：12ABlxxwF(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對值最大。wmaxmax所得的撓度為負值,說明B點向下移動;轉(zhuǎn)角為負值,說明橫截面B沿順時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。13RBRAlABq例：用積分法求撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定絕對值最大的轉(zhuǎn)角和最大的撓度。設(shè)EI為常量。解：(1)求支座反力，寫彎矩方程(2)建立撓曲線近似微分方程，并積分(3)利用邊界條件確定積分常數(shù)14(5)求轉(zhuǎn)角和撓度的最大值(4)求轉(zhuǎn)角方程、撓度方程彎曲變形的對稱點：θ＝0。彎曲變形ABqxyqAqBwmaxl/215例：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力F的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解:（1）寫出彎矩方程以左端A為坐標原點，將梁分為I和II兩段,其彎矩方程分別為:求出梁的支反力為:xlABFabFAFBDIII16梁段I(0xa)梁段II(axl)（2）建立撓曲線近似微分方程并積分積分一次轉(zhuǎn)角方程再積分得撓曲線方程撓曲線微分方程在對梁段II進行積分運算時,對含有(x-a)的彎矩項不要展開,而以(x-a)作為自變量進行積分,這樣可使下面確定積分常數(shù)的工作得到簡化。17D點的連續(xù)條件：在x=a處：q1＝q2,w1＝w2邊界條件:在x=0處,w1＝0在x=l處,w2＝0代入方程可解得:（3）由邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)xlABFabFAFBDIII18梁段I(0xa)梁段II(axl)將積分常數(shù)代入得：轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程19對于簡支梁而言，最大轉(zhuǎn)角一般發(fā)生在梁的兩端截面處，將x=0和x=l分別代入轉(zhuǎn)角方程有：當a>b時,右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大:（4）確定最大轉(zhuǎn)角與最大撓度xlABFabFAFBDIII20根據(jù)極值條件，在w'＝0即q=0處，w取得極值。研究第一段梁,令w'1＝0得：當a>b時,x1<a,最大撓度確實發(fā)生在第一段梁中，該最大值為：xlABFabFAFBDIII最大撓度：21討論:上例中，梁中點撓度與最大撓度的關(guān)系？則：當F從梁中點位置向B支座移動時，b值逐漸減小，x1從0.5L向0.577L趨近（當F接近B點時）；此時最大撓度的位置距離梁中點最遠，梁中點撓度與最大撓度應(yīng)該差距較大。在極端情況下,當b非常小,以致b2與l2項相比可以略去不計時：xlABFabFAFBDIII22梁中點C處的撓度為：結(jié)論:在簡支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的。略去b2項,得:a例：用積分法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度，設(shè)EI為常量。lABPC解：(1)求支座反力，分段寫彎矩方程(2)分段建立撓曲線近似微分方程，并積分RARB(3)確定積分常數(shù)ABPC邊界條件：連續(xù)性條件：(4)C截面的撓度和轉(zhuǎn)角25條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長的改變可略去不計,且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作,因而梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。在這種情況下,梁在幾項載荷(如集中力、集中力偶或分布力)同時作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加，此即為疊加原理。§6-4用疊加法求梁的變形簡單荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角見表6.1。26例：一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖。試按疊加原理求梁跨中點的撓度wC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角A,B。BAqlMeC解：將梁上荷載分解為荷載q和Me單獨作用的簡支梁。表中第9、5欄27例:試利用疊加法,求圖示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解：該荷載可視為正對稱載荷與反稱對載荷兩種情況的疊加。(1)正對稱載荷作用下(2)反對稱荷載作用下，跨中撓度wC2等于零。(3)將相應(yīng)的位移進行疊加（）28例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為EI。求梁自由端B的轉(zhuǎn)角θB和撓度yB。alPBCθCyCyB解：查表第2欄：結(jié)果同第3欄29例：懸臂梁受力如圖所示，梁的抗彎剛度為EI。求梁自由端B的轉(zhuǎn)角θB和撓度yB。yB解：（1）載荷分解：（2）分別計算：（a）y11（b）y2（c）y3330（3）疊加：（c）y3331=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等價等價PL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCM例：梁抗彎剛度為EI，求B處的撓度與轉(zhuǎn)角、C處的轉(zhuǎn)角。逐段剛化法32w2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1疊加：例：用疊加法求C截面的轉(zhuǎn)角和撓度，設(shè)EI為常量。alABPC解：(1)假設(shè)CA段為剛性，AB的變形所引起的C截面的轉(zhuǎn)角和撓度PPaABCPAC(2)假設(shè)AB段為剛性，則外伸段CA可看作懸臂梁：表中第2欄表中第5欄(3)疊加法求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角例：等截面平面剛架求自由端A的水平位移xA和豎直位移yA。abEICEIPAB剛化ABABPC剛化BCPCABABCPa等價等價PAB解：(1)剛化AB段：(2)剛化BC段：剛化AB:剛化BC:(3)疊加：ABCPaPAB*逐段剛化法（梁的軸向變形可忽略）一、剛度條件：二、應(yīng)用三種剛度計算：2設(shè)計截面1剛度校核3確定許可載荷§6-5梁的剛度計算例：一空心圓梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[w]=0.00001m,B點的[]=0.001弧度,試校核此梁的剛度.=++==++圖1圖2解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單荷載下的變形。疊加求復(fù)雜載荷下的變形校核剛度所以剛度足夠。計算空心圓梁Iz:代入計算變形量：一、基本概念彎曲變形2超靜定問題：單純依靠靜力平衡方程不能確定出全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問題。1靜定問題：單純依靠靜力平衡方程能夠確定全部未知力（支反力、內(nèi)力）的問題。3超靜定次數(shù)n：n=未知力數(shù)－獨立的平衡方程數(shù)BFACFBA§6-6簡單超靜定梁1靜定結(jié)構(gòu)除荷載外，其他因素如溫度改變、支座移動、制造誤差、材料收縮等都不引起內(nèi)力，即靜定結(jié)構(gòu)無裝配應(yīng)力、無溫度應(yīng)力等；而超靜定結(jié)構(gòu)中，任何因素都可能引起內(nèi)力。2靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸無關(guān)，而超靜定結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)。二、超靜定結(jié)構(gòu)的特性3超靜定結(jié)構(gòu)的剛度比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)要大。4超靜定結(jié)構(gòu)在多余聯(lián)系破壞后，仍然能維持幾何不變性，而靜定結(jié)構(gòu)在任一聯(lián)系破壞后就變成了幾何可變體系。彎曲變形=RBAB彎曲變形q0LAB[例]求支座B的反力。（2）變形協(xié)調(diào)方程：解：(1)確定基本未知量，選擇基本結(jié)構(gòu)+

ABq0(3)物理方程(4)補充方程ABRBq0變形比較法(2）變形協(xié)調(diào)方程：解：(1)確定基本未知量，選擇基本結(jié)構(gòu)[例]求BC桿的內(nèi)力。等價LBCLq0+=(3)物理方程(4)補充方程等價LBCLq0+=彎曲變形[例]如圖所示雙梁系統(tǒng)，彈簧剛度K，上下梁的抗彎剛度均為EI，求（1）彈簧受力大小，（2）當P/(q0l)=?時彈簧不受力。l/2F下梁F上梁l/2l/2l/2解：(1)確定基本未知量

選擇基本結(jié)構(gòu)彎曲變形故當P/q0l=5/8時，F(xiàn)=0彈簧不受力。(2)變形協(xié)調(diào)方程：(3)物理方程(4)補充方程F下梁F上梁彎曲變形[例]兩端固定梁，求內(nèi)力。BACFabl二次超靜定結(jié)構(gòu)ABFC(2)變形協(xié)調(diào)方程：解：(1)確定基本未知量，選擇基本結(jié)構(gòu)(3)物理方程彎曲變形(4)補充方程BACabl＝ABFC(5)疊加法求內(nèi)力ABCMF一、彎曲應(yīng)變能：應(yīng)變能等于外力功。不計剪切應(yīng)變能彎曲變形曲率M(x)OO曲率中心曲率半徑M(x)§6-7梁的彎曲應(yīng)變能[例7-16]用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？彎曲變形FaaACBMFa/2撓曲線近似微分方程：轉(zhuǎn)角方程撓度方程C、D——積分常數(shù)；由邊界條件和連續(xù)性條件確定。彎曲剛度條件：彎曲正應(yīng)力強度條件：彎曲變形§6-8提高彎曲剛度的措施一、選擇合理的截面對于面積相等的不同形狀的截面，若Iz則、梁的抗彎剛度提高工字形、槽形、T形截面比面積相等的矩形截面有更高的彎曲剛度。說明：各種鋼材的彈性模量E大致相同，故采用高強度鋼材不能提高彎曲剛度。彎曲變形選擇I/A較大的截面二、改善梁的受力情況1.合理安排梁的約束，減小梁跨。qqlq0.6l0.2l0.2lM彎曲變形2.改變加載方式，盡量使荷載分散或靠近支座。Pl/2l/2Pl/4l/4l/4l/4M彎曲變形一、選擇題1、等截面直梁在彎曲變形時，撓曲線曲率最大發(fā)生在（）處。A撓度最大。B轉(zhuǎn)角最大。C剪力最大。D彎矩最大。2、撓曲線方程中的積分常量主要反映了（）。(A)對近似微分方程誤差的修正；(B)剪力對變形的影響(C)約束條件對變形的影響(D)梁的軸向位移對變形的影響DC本章習題彎曲變形3、梁的撓度是。（A）橫截面上任一點沿梁軸垂直方向的線位移。（B）橫截面形心沿梁軸垂直方向的線位移。（C）橫截面形心沿梁軸方向的線位移。（D）橫截面形心的位移。4、在下列關(guān)于梁轉(zhuǎn)角的說法中，是錯誤的。（A）轉(zhuǎn)角是橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角位移。（B）轉(zhuǎn)角是變形前后同一橫截面間的夾角。（C）轉(zhuǎn)角是撓曲線之切線與軸向坐標軸間的夾角。（D）轉(zhuǎn)角是橫截面繞梁軸線轉(zhuǎn)過的角度。BD彎曲變形5、下面關(guān)于梁的撓度和轉(zhuǎn)角的結(jié)論正確的是。（A）撓度最大的截面轉(zhuǎn)角為零。（B）撓度最大的截面轉(zhuǎn)角最大。（C）轉(zhuǎn)角為零的截面撓度最大。（D）撓度的一階導(dǎo)數(shù)等于轉(zhuǎn)角。6、在下面這些關(guān)于梁的彎矩與變形間關(guān)系的說法中，是正確的。（A）彎矩為正的截面轉(zhuǎn)角為正。（B）彎矩最大的截面撓度最大。（C）彎矩突變的截面轉(zhuǎn)角也有突變。（D）彎矩為零的截面曲率必為零。DD彎曲變形7、在等直梁的最大彎矩所在面附近，局部加大橫截面的尺寸