把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）．個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．１全排列第一章習(xí)題課逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個(gè)排列中，若數(shù)，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序．一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．２逆序數(shù)分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．３計(jì)算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)．４對(duì)換５n階行列式的定義６n階行列式的性質(zhì)１）余子式與代數(shù)余子式７行列式按行（列）展開２）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)８克拉默法則克拉默法則的理論價(jià)值定理定理定理定理１用定義計(jì)算（證明）例1用行列式定義計(jì)算解

評(píng)注本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般方法．注意例2設(shè)證明由行列式的定義有

評(píng)注

本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同．這也是用定義證明兩個(gè)行列式相等的常用方法．２利用范德蒙行列式計(jì)算例3計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

評(píng)注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．３用化三角形行列式計(jì)算例4計(jì)算解提取第一列的公因子，得

評(píng)注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．４用降階法計(jì)算例5計(jì)算解

評(píng)注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．５用拆成行列式之和（積）計(jì)算例6證明證６用遞推法計(jì)算例7計(jì)算解由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得評(píng)注７用數(shù)學(xué)歸納法例8證明證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法評(píng)注計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)１矩陣的定義第二章習(xí)題課２方陣列矩陣行矩陣兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣．３同型矩陣和相等矩陣４零矩陣單位矩陣交換律結(jié)合律５矩陣相加運(yùn)算規(guī)律６數(shù)乘矩陣７矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律n階方陣的冪８方陣的運(yùn)算方陣的行列式運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)置矩陣９一些特殊的矩陣對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣冪等矩陣正交矩陣對(duì)角矩陣對(duì)合矩陣上三角矩陣主對(duì)角線以下的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣．下三角矩陣主對(duì)角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣．伴隨矩陣定義１０逆矩陣相關(guān)定理及性質(zhì)矩陣的分塊，主要目的在于簡化運(yùn)算及便于論證．分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似．１１分塊矩陣一、矩陣的運(yùn)算二、逆矩陣的運(yùn)算及證明三、矩陣的分塊運(yùn)算典型例題例１計(jì)算一、矩陣的運(yùn)算解解由此得例２例３解方法一用定義求逆陣二、逆矩陣的運(yùn)算及證明注方法二利用公式例4三、矩陣的分塊運(yùn)算解（１）根據(jù)分塊矩陣的乘法，得（２）由（１）可得１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換第三章習(xí)題課初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．反身性傳遞性對(duì)稱性２矩陣的等價(jià)三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元．例如４行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡形矩陣對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡單的矩陣．定義７矩陣的秩定義定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．８矩陣秩的性質(zhì)及定理定理定理９線性方程組有解判別定理

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解．

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出通解．10線性方程組的解法定理11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題求矩陣的秩有下列基本方法（１）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩．例１求下列矩陣的秩解對(duì)施行初等行變換化為階梯形矩陣

注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等行變換求方程的解．當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組例２求非齊次線性方程組的通解．解對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡單形．由此可知，而方程組(1)中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量.例３當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數(shù)矩陣的行列式為從而得到方程組的通解解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形例4

解故原方程組的通解為三、求逆矩陣的初等變換法例5求下述矩陣的逆矩陣．解

注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．四、解矩陣方程的初等變換法例6解分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量．分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．１向量的定義定義第四章習(xí)題課向量的相等零向量分量全為0的向量稱為零向量．負(fù)向量向量加法２向量的線性運(yùn)算數(shù)乘向量向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：若干個(gè)同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合叫做向量組．定義３線性組合定義４線性表示定理定義定義５線性相關(guān)定理定理定義６向量組的秩等價(jià)的向量組的秩相等．定理矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．定理設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩．推論１推論２推論３（最大無關(guān)組的等價(jià)定義）設(shè)向量組是向量組的部分組，若向量組線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，則向量組是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組．７向量空間定義設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義８子空間定義９基與維數(shù)向量方程１０齊次線性方程組解向量解向量的性質(zhì)性質(zhì)１性質(zhì)２定義定理定義向量方程１１非齊次線性方程組解向量的性質(zhì)性質(zhì)１性質(zhì)２解向量向量方程的解就是方程組的解向量．（１）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系１２線性方程組的解法第一步：對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其變成行最簡形矩陣第三步：將其余個(gè)分量依次組成階單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系（２）求非齊次線性方程組的特解將上述矩陣中最后一列的前個(gè)分量依次作為特解的第個(gè)分量，其余個(gè)分量全部取零，于是得即為所求非齊次線性方程組的一個(gè)特解．一、向量組線性關(guān)系的判定二、求向量組的秩三、向量空間的判定四、基礎(chǔ)解系的求法五、解向量的證法典型例題一、向量組線性關(guān)系的判定方法1從定義出發(fā)整理得線性方程組方法２利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定例１研究下列向量組的線性相關(guān)性解一整理得到解二分析證明證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線性無關(guān)組的基本方法就是：分析根據(jù)最大線性無關(guān)組的定義來證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系．證明二、求向量組的秩解()為階梯形化行變換作初等對(duì)作矩陣AAA,,54321aaaaa=解三、向量空間的判定例６證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系．四、基礎(chǔ)解系的證法分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示．(1)該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線性無關(guān)；要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解系，需要證明三個(gè)結(jié)論:證明

注當(dāng)線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的．五、解向量的證法證明注意(1)本例是對(duì)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即非齊次線性方程組一定存在著個(gè)線性無關(guān)的解，題中(2)的證明表明了它的存在性．

(3)對(duì)非齊次線性方程組，有時(shí)也把如題中所給的個(gè)解稱為的基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合系數(shù)之和為1時(shí)，才是方程組的解．

(2)對(duì)齊次線性方程組，當(dāng)時(shí)，有無窮多組解，其中任一解可由其基礎(chǔ)解系線性表示．定義１向量內(nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律第五章習(xí)題課定義向量的長度具有下列性質(zhì)：２向量的長度定義３向量的夾角所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量．向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基．定理定義４正交向量組的性質(zhì)施密特正交化方法第一步正交化第二步單位化定義５正交矩陣與正交變換方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交．定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換．正交變換的特性在于保持線段的長度不變．定義６方陣的特征值和特征向量７有關(guān)特征值的一些結(jié)論定理定理屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．８有關(guān)特征向量的一些結(jié)論定義矩陣之間的相似具有(1)自反性；(2)對(duì)稱性；(3)傳遞性．９相似矩陣１０有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)若與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同．

(4)能對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．(5)有個(gè)互異的特征值，則與對(duì)角陣相似．１１實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣定義１２二次型二次型與它的矩陣是一一對(duì)應(yīng)的．定義１３二次型的標(biāo)準(zhǔn)形１４化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義１５正定二次型１６慣性定理注意１７正定二次型的判定一、證明所給矩陣為正交矩陣典型例題二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組三、特征值與特征向量的求法四、已知的