線性控制系統(tǒng)工程

第16章

伯德圖分析，穩(wěn)定性，及幅值和相角裕度

線性控制系統(tǒng)工程

(gc)

第16章伯德圖分析,穩(wěn)定性及幅值和相角裕度伯德圖中的增益裕度和相角裕度gc(gc)M(

pc)(gc)第16章伯德圖分析改變?cè)鲆娴淖饔檬鞘狗登€上下平移，而相角曲線不變。 如果那么條件穩(wěn)定改變?cè)鲆娴淖饔檬鞘狗登€上下平移，而相角曲線不變。條件穩(wěn)定考慮下面的例子：

K=0.1

轉(zhuǎn)折頻率為1,0.5,0.34奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)： 當(dāng)相角為-180o時(shí)，如果系統(tǒng)幅值小于或等于1，那么這個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在伯德圖中，單位幅值對(duì)應(yīng)于MdB=0。例子中:相位為-180°時(shí)，幅值約為–18dB，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。考慮下面的例子：0.010.11.01040200-20-40-90-180-270圖16.1例子系統(tǒng)的伯德圖0相位穿越點(diǎn)增益穿越點(diǎn)0.0

增加K將使幅值曲線向上平移動(dòng)，從而使幅值穿越點(diǎn)向右移。但是相角穿越點(diǎn)保持不變。系統(tǒng)最終處在臨界不穩(wěn)定點(diǎn)上。

▽

計(jì)算臨界不穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)的幅值。

增加K將使幅值曲線向上平移動(dòng)，從而使幅值－90－180－270K1K2KcK3－90－180－270K1K2KcK3－1K1K2K3KcReImRe圖.16.2具有變化K的系統(tǒng)伯德圖、奈奎斯特圖和根軌跡ImK3KcK2K1－1K1K2K3KcReImRe圖.16.2具有變化K的

在相位-180°時(shí)，KdB

幅值約為–18dB，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定：

這個(gè)結(jié)果接近于先前分析的結(jié)果K=0.832.誤差是由伯德圖的相角曲線用直線近似引起的。

在相位-180°時(shí)，KdB幅值約為伯德圖中的增益裕度

增益裕度

(用分貝表示)為Kc的分貝值與增益K的分貝值之差。

伯德圖中的增益裕度和相角裕度伯德圖中的增益裕度和相角裕度伯德圖中的相位裕度：

-相位裕度是使相角曲線向下移動(dòng)直到增益和相角穿越點(diǎn)發(fā)生在同一頻率時(shí)的純相角滯后量。

-在圖16.1中伯德圖中的相位裕度：▽在伯德圖中獲得增益裕度和相位裕度:

增益裕度是通過相角穿越頻率得出的。它是該頻率處的幅值分貝值與0dB線之間的差值(用分貝表示)。

相角裕度是通過增益穿越頻率得出的，它是此頻率處的相角與-180o線之間的差值。▽在伯德圖中獲得增益裕度和相位裕度:相角裕度是通過增益0db圖.16.3增益裕度和相位裕度GMPM0db圖.16.3增益裕度和相位裕度GMPM一般開環(huán)傳遞函數(shù)

當(dāng)ω趨于0時(shí)系統(tǒng)的型和從伯德圖得到穩(wěn)態(tài)誤差一般開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的型和從伯德圖得到0型系統(tǒng)

圖.16.40型系統(tǒng)的伯德圖0型系統(tǒng)圖.16.40型系統(tǒng)的伯德圖1型系統(tǒng)

幅值增益如果k=1

，那么當(dāng)ω=1

時(shí)，圖形經(jīng)過Mdb=0dB線。-20db/decade圖.16.51型系統(tǒng)的伯德圖1型系統(tǒng)-20db/decade圖.16.5

Kv的值可以通過測(cè)量在ω=1處的增益來獲得。如果其他環(huán)節(jié)在頻率ω=1之前作用于對(duì)數(shù)幅頻特性，那么應(yīng)該用低頻漸近線的延長(zhǎng)線求出。-20db/decade

圖.16.61型系統(tǒng)的另一種伯德圖 Kv的值可以通過測(cè)量在ω=1處的增益來2型系統(tǒng)

如果ka=1。對(duì)數(shù)幅頻特性在當(dāng)ω=1時(shí)，其低頻段或它的延長(zhǎng)線會(huì)以–40db/decade的斜率穿過零分貝線。

Ka

的值可以通過測(cè)量ω=1處的增益值來獲得。2型系統(tǒng)-40db/decade圖.16.72型系統(tǒng)的伯德圖-40db/decade圖.16.72型系統(tǒng)的相角裕度是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的唯一可靠的參數(shù)。無(wú)頻率穿越點(diǎn)：

-考慮下面的例子

-相角絕不會(huì)穿過-180o線。但是相位裕度可以從增益穿越點(diǎn)PM=45o處獲得，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。進(jìn)一步討論增益裕度和相位裕度相角裕度是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的唯一可靠的參數(shù)。進(jìn)一步討論增益裕度0.010.11.01040200-20-40-90-180-270

圖16.8無(wú)相位穿越點(diǎn)的伯德圖0K=10.0MATLAB仿真

MATLAB仿真伯德圖分析-穩(wěn)定性-及幅值和相角裕度課件

用根軌跡來驗(yàn)證：

ReIm-10-1圖.16.9系統(tǒng)的根軌跡圖 用根軌跡來驗(yàn)證：ReIm-10-1圖.16.9系

▽多個(gè)頻率穿越點(diǎn)：

考慮下面的例子增益穿越頻率在ω=1處,相角裕度為-45o,可判斷出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。▽多個(gè)頻率穿越點(diǎn)：這里有兩個(gè)相位穿越頻率，分別為ω=3和ω=300。在每個(gè)頻率處增益裕度是正的，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。

但相位裕度判斷系統(tǒng)的確是不穩(wěn)定的。這里有兩個(gè)相位穿越頻率，分別為ω=3和ω=300。在每個(gè)頻0.010.11.010400-40-80-90-180-270圖16.10具有兩個(gè)相位穿越點(diǎn)的系統(tǒng)0GM1=K(db)K=1GM2=K(db)-20-40-40-60PM0.0MATLAB仿真MATLAB仿真伯德圖分析-穩(wěn)定性-及幅值和相角裕度課件

用根軌跡來驗(yàn)證： 在k<k1時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的； 在k1<k<k2時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 在k>k2時(shí)，系統(tǒng)再次不穩(wěn)定。

圖.16.11系統(tǒng)的根軌跡圖-1-10-100-1000ReImK=K2K=K13polesK=1 用根軌跡來驗(yàn)證：圖.16.11系統(tǒng)的根軌跡圖-1-10單一頻率穿越點(diǎn):增加相位考慮下面的例子相位裕度是負(fù)的，表明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。增益裕度是正的，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。考慮相位裕度，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。單一頻率穿越點(diǎn):增加相位0.1110100400-40-40-90-180-270

圖16.12具有單一漸增相位穿越點(diǎn)的系統(tǒng)的伯德圖0-40-60PMGM=K1(db)

MATLAB仿真MATLAB仿真伯德圖分析-穩(wěn)定性-及幅值和相角裕度課件

從根軌跡得到證實(shí)，系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的。 當(dāng)k<k1時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)k>k1時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

3poles2zeroes-2K=K1K=1ReIm圖.16.13系統(tǒng)的根軌跡圖 從根軌跡得到證實(shí)，系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的。3poles2z通過伯德圖判斷穩(wěn)定性的可靠方法是:-如果系統(tǒng)有正的相角裕度，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。-相角裕度是由伯德圖判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的唯一可靠的方法。

通過伯德圖判斷穩(wěn)定性的可靠方法是:改進(jìn)的奈奎斯特判據(jù)：根據(jù)沿著頻率增加方向的頻率特性，觀察臨界點(diǎn)是在其左邊還是右邊通過，是由極坐標(biāo)圖判斷穩(wěn)定性的唯一可靠的方法。改進(jìn)的奈奎斯特判據(jù)：根據(jù)沿著頻率增加方向的頻率特性，觀察臨

當(dāng)k>k1時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的

-1ReIm

圖.16.14穩(wěn)定系統(tǒng)的奈奎斯特圖 當(dāng)k>k1時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的-1ReIm問題:如圖所示的系統(tǒng)，畫出當(dāng)K=45時(shí)的伯德圖，并確定增益裕度和相位裕度。計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K值，并用勞斯陣列驗(yàn)證其結(jié)果。例題16.1K-+RC圖.SP16.1.1問題:如圖所示的系統(tǒng)，畫出當(dāng)K=45時(shí)的伯德圖，并確定解:開環(huán)傳遞函數(shù)：

轉(zhuǎn)折頻率發(fā)生在ω=2和ω=3處，將會(huì)在以下的頻率范圍畫出伯德圖：解:0.1110100200-20-40-90-180-270

圖.SP16.1.20PMGM

MATLAB仿真MATLAB仿真伯德圖分析-穩(wěn)定性-及幅值和相角裕度課件獲得最大值Kmax=NK用勞斯陣列來驗(yàn)證結(jié)果： 特征方程為

誤差與增益裕度的精確性有關(guān)121獲得最大值Kmax=NK121問題:一個(gè)單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：畫出當(dāng)K=0.8時(shí)系統(tǒng)的伯德圖，并確定增益裕度和相位裕度。使系統(tǒng)的相位裕度約為60o的K為何值?解:

例題16.2問題:一個(gè)單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：例題16.

轉(zhuǎn)折頻率:ω=1(兩次),ω=5(零),ωn=2(二階系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率).

將在以下頻率范圍內(nèi)畫出伯德圖：

畫出每一個(gè)環(huán)節(jié)的增益和相位曲線轉(zhuǎn)折頻率:ω=1(兩次),ω=5(零),0.010.11.01040200-20-40-90-180-270圖16.2.100.00.010.11.01040200-20-40-180-360圖16.2.20PM=60GM=3db3db0.0

二階環(huán)節(jié)頻率比=ω/ωn頻率比=ω/ωn二階環(huán)節(jié)頻率比=ω/ωn頻率比=ω/ωn

增益裕度為3dB，相位裕度約為35o。為了給系統(tǒng)提供一個(gè)60o的相位裕度，幅值曲線需要下平移約3dB增益裕度為3dB，相位裕度約為35o作業(yè)：P33916.1a.P33916.3e.

作業(yè)：

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(gc)

第16章伯德圖分析,穩(wěn)定性及幅值和相角裕度伯德圖中的增益裕度和相角裕度gc(gc)M(

pc)(gc)第16章伯德圖分析改變?cè)鲆娴淖饔檬鞘狗登€上下平移，而相角曲線不變。 如果那么條件穩(wěn)定改變?cè)鲆娴淖饔檬鞘狗登€上下平移，而相角曲線不變。條件穩(wěn)定考慮下面的例子：

K=0.1

轉(zhuǎn)折頻率為1,0.5,0.34奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)： 當(dāng)相角為-180o時(shí)，如果系統(tǒng)幅值小于或等于1，那么這個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在伯德圖中，單位幅值對(duì)應(yīng)于MdB=0。例子中:相位為-180°時(shí)，幅值約為–18dB，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。考慮下面的例子：0.010.11.01040200-20-40-90-180-270圖16.1例子系統(tǒng)的伯德圖0相位穿越點(diǎn)增益穿越點(diǎn)0.0

增加K將使幅值曲線向上平移動(dòng)，從而使幅值穿越點(diǎn)向右移。但是相角穿越點(diǎn)保持不變。系統(tǒng)最終處在臨界不穩(wěn)定點(diǎn)上。

▽

計(jì)算臨界不穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)的幅值。

增加K將使幅值曲線向上平移動(dòng)，從而使幅值－90－180－270K1K2KcK3－90－180－270K1K2KcK3－1K1K2K3KcReImRe圖.16.2具有變化K的系統(tǒng)伯德圖、奈奎斯特圖和根軌跡ImK3KcK2K1－1K1K2K3KcReImRe圖.16.2具有變化K的

在相位-180°時(shí)，KdB

幅值約為–18dB，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定：

這個(gè)結(jié)果接近于先前分析的結(jié)果K=0.832.誤差是由伯德圖的相角曲線用直線近似引起的。

在相位-180°時(shí)，KdB幅值約為伯德圖中的增益裕度

增益裕度

(用分貝表示)為Kc的分貝值與增益K的分貝值之差。

伯德圖中的增益裕度和相角裕度伯德圖中的增益裕度和相角裕度伯德圖中的相位裕度：

-相位裕度是使相角曲線向下移動(dòng)直到增益和相角穿越點(diǎn)發(fā)生在同一頻率時(shí)的純相角滯后量。

-在圖16.1中伯德圖中的相位裕度：▽在伯德圖中獲得增益裕度和相位裕度:

增益裕度是通過相角穿越頻率得出的。它是該頻率處的幅值分貝值與0dB線之間的差值(用分貝表示)。

相角裕度是通過增益穿越頻率得出的，它是此頻率處的相角與-180o線之間的差值。▽在伯德圖中獲得增益裕度和相位裕度:相角裕度是通過增益0db圖.16.3增益裕度和相位裕度GMPM0db圖.16.3增益裕度和相位裕度GMPM一般開環(huán)傳遞函數(shù)

當(dāng)ω趨于0時(shí)系統(tǒng)的型和從伯德圖得到穩(wěn)態(tài)誤差一般開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的型和從伯德圖得到0型系統(tǒng)

圖.16.40型系統(tǒng)的伯德圖0型系統(tǒng)圖.16.40型系統(tǒng)的伯德圖1型系統(tǒng)

幅值增益如果k=1

，那么當(dāng)ω=1

時(shí)，圖形經(jīng)過Mdb=0dB線。-20db/decade圖.16.51型系統(tǒng)的伯德圖1型系統(tǒng)-20db/decade圖.16.5

Kv的值可以通過測(cè)量在ω=1處的增益來獲得。如果其他環(huán)節(jié)在頻率ω=1之前作用于對(duì)數(shù)幅頻特性，那么應(yīng)該用低頻漸近線的延長(zhǎng)線求出。-20db/decade

圖.16.61型系統(tǒng)的另一種伯德圖 Kv的值可以通過測(cè)量在ω=1處的增益來2型系統(tǒng)

如果ka=1。對(duì)數(shù)幅頻特性在當(dāng)ω=1時(shí)，其低頻段或它的延長(zhǎng)線會(huì)以–40db/decade的斜率穿過零分貝線。

Ka

的值可以通過測(cè)量ω=1處的增益值來獲得。2型系統(tǒng)-40db/decade圖.16.72型系統(tǒng)的伯德圖-40db/decade圖.16.72型系統(tǒng)的相角裕度是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的唯一可靠的參數(shù)。無(wú)頻率穿越點(diǎn)：

-考慮下面的例子

-相角絕不會(huì)穿過-180o線。但是相位裕度可以從增益穿越點(diǎn)PM=45o處獲得，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。進(jìn)一步討論增益裕度和相位裕度相角裕度是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的唯一可靠的參數(shù)。進(jìn)一步討論增益裕度0.010.11.01040200-20-40-90-180-270

圖16.8無(wú)相位穿越點(diǎn)的伯德圖0K=10.0MATLAB仿真

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用根軌跡來驗(yàn)證：

ReIm-10-1圖.16.9系統(tǒng)的根軌跡圖 用根軌跡來驗(yàn)證：ReIm-10-1圖.16.9系

▽多個(gè)頻率穿越點(diǎn)：

考慮下面的例子增益穿越頻率在ω=1處,相角裕度為-45o,可判斷出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。▽多個(gè)頻率穿越點(diǎn)：這里有兩個(gè)相位穿越頻率，分別為ω=3和ω=300。在每個(gè)頻率處增益裕度是正的，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。

但相位裕度判斷系統(tǒng)的確是不穩(wěn)定的。這里有兩個(gè)相位穿越頻率，分別為ω=3和ω=300。在每個(gè)頻0.010.11.010400-40-80-90-180-270圖16.10具有兩個(gè)相位穿越點(diǎn)的系統(tǒng)0GM1=K(db)K=1GM2=K(db)-20-40-40-60PM0.0MATLAB仿真MATLAB仿真伯德圖分析-穩(wěn)定性-及幅值和相角裕度課件

用根軌跡來驗(yàn)證： 在k<k1時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的； 在k1<k<k2時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 在k>k2時(shí)，系統(tǒng)再次不穩(wěn)定。

圖.16.11系統(tǒng)的根軌跡圖-1-10-100-1000ReImK=K2K=K13polesK=1 用根軌跡來驗(yàn)證：圖.16.11系統(tǒng)的根軌跡圖-1-10單一頻率穿越點(diǎn):增加相位考慮下面的例子相位裕度是負(fù)的，表明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。增益裕度是正的，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。考慮相位裕度，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。單一頻率穿越點(diǎn):增加相位0.1110100400-40-40-90-180-270

圖16.12具有單一漸增相位穿越點(diǎn)的系統(tǒng)的伯德圖0-40-60PMGM=K1(db)

MATLAB仿真MATLAB仿真伯德圖分析-穩(wěn)定性-及幅值和相角裕度課件

從根軌跡得到證實(shí)，系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的。 當(dāng)k<k1時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)k>k1時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

3poles2zeroes-2K=K1K=1ReIm圖.16.13系統(tǒng)的根軌跡圖 從根軌跡得到證實(shí)，系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的。3poles2z通過伯德圖判斷穩(wěn)定性的可靠方法是:-如果系統(tǒng)有正的相角裕度，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。-相角裕度是由伯德圖判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的唯一可靠的方法。

通過伯德圖判斷穩(wěn)定性的可靠方法是:改進(jìn)的奈奎斯特判據(jù)：根據(jù)沿著頻率增加方向的頻率特性，觀察臨界點(diǎn)是在其左邊還是右邊通過，是由極坐標(biāo)圖判斷穩(wěn)定性的唯一可靠的方法。改進(jìn)的奈奎斯特判據(jù)：根據(jù)沿著頻率增加方向的頻率特性，觀察臨

當(dāng)k>k1時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的

-1ReIm

圖.16.14穩(wěn)定系統(tǒng)的奈奎斯特圖 當(dāng)k>k1時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的-1ReIm問題:如圖所示的系統(tǒng)，畫出當(dāng)K=45時(shí)的伯德圖，并確定增益裕度和相位裕度。計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K值，并用勞斯陣列驗(yàn)證其結(jié)果。例題16.1K-+RC圖.SP16.1.1問題:如圖所示的系統(tǒng)，畫出當(dāng)K=45時(shí)的伯德圖，并確定解:開環(huán)傳遞函數(shù)：

轉(zhuǎn)折頻率發(fā)生在ω=2和ω=3處，將會(huì)在以下的頻率范圍畫出伯德圖：解:0.1110