吉林大學公共數學實驗中心數學實驗>>首頁>微積分>實驗2Maple簡介一、Maple操作界面介紹1、編輯功能:編輯功能中查找模塊,可以幫助查找你所需要的關鍵字節.具體操作如圖所示:按上述操作完成后,出現下圖所示的對話框:在文本框中輸入你要查找的字符或者符號,可以通過findprevious上下翻看,也可以通過replacewith操作替代你所查找的字符或者符號.cancle表示取消操作.其他編輯操作包括分割或連接(splitorjoin)分為一個執行過程（快截鍵為f3、f4）和選定塊(shift+f3、shift+f4)過程四個操作塊運行操作(Execute)：運行選定或者當前的maple中的語句;刪除運行結果操作（Removeoutput）：將選定或者當前的maple中運行結果從工作爺中刪除或者不顯示;2、示圖操作（

VIEW）文檔在屏幕上的顯示模式稱為“示圖”，maple示圖菜單主要設置工作爺文檔的一些視圖屬性，所包括菜單如上圖所示。工具條(toolbar)的功能和其他系統一樣，主要包括打開文件、創建新文檔、存盤、打印當前頁面、復制、剪切、粘貼、撤消操作等。內容工具條：“楓葉”表示設置工作頁和標準公式和maple語言之間的轉換“X”

表示設置工作頁和標準公式在活動和非活動方式之間的轉換“（對號）”表示標準公式有效時自動檢查輸入表達式的正確性“！”

表示運行當前表達式3、插入操作（INSERT）插入操作比較簡單這里就不做詳細介紹,主要功能分為:文本插入(textinput);標準maple數學表達式插入;運行單元executegroup插入其中包括在光標前插入和光標后插入圖形插入plot,其中包括兩維和三維圖象的插入電子表格插入spreadsheet段落插入parigraph,其中包括光標前插入和光標后插入數學輸入對象(image)插入插入超級連接hyperlink4、其他操作窗口的功能和其他軟件基本相同，這里就不做詳細介紹了。二、基本語法規則

MaPle的科學計算功能主要是以命令輸入的方式來實現的。Map1e的命令有自己的使用規則和語法。在使用Maple進行科學計算之前，首先要了解Map1ev命令使用的基本規則。下面給出了利用Maple進行科學計算時的—些基本語法規則

·MapleV的命令在提示符“>”的右邊鍵入，每行命令要以分號“；”結尾。

·命令輸入結束按回車鍵,maple就立即執行該命令

·如果命令以分號結尾，Maple將在下一行給出相應的輸出結果，并把光標移到下—個程序段的開始行；如果命令以冒號結尾，Maple執行命令但不顯示輸出結果，光標直按移到下一個程序段的開始。

·Maple中乘號為星號“*”，兩項相乘時乘號不能省略。

·

對變量賦值時用賦值運算符“：＝”，而不是通常的等號“；”。

·

除號為斜杠符號“／”

a

的輸入格式為：a/(b+c)。

b+c

·乘方運算符為：“^”或“*’’，負指數必須包含在圍括號中。

·

函數的參數必須用圓括號界定，數組或矩陣的下標用方括號界定。

·

變量不需要預先定義，嚴格區分字母的大小寫。

·

在運算符和操作數之間可以插入空格或者其他空白字符，但在運算符和標識符內部不能插入空格或其他空白字符。

·三個環境變量“%”、“%%”和“%%%”，分別代表當前工作空間最近三次的非空輸出結果。

下面給出了Maplev運算的幾個例子，內容涉及字符串、數的運算、方程的求解和圖像的繪制，可使讀者初步認識Map1ev的工作方式。在這些例子中，每行命令都以分號結尾，因此Maplev在輸入的下一行即給出相應的輸出，并把光標移到下一個程序段的開始。

[>“Iamastring”；

“Iamsstring”

[>(3+4)*12;

84三、maple在數值計算方面的運用1、整數計算最基本的，Maple可視為功能強大的計算器。計算(32)()只需鍵入：>32*12^13;Maple內置大量各類特殊運算如：階乘；最大公約數；最小公倍數；模m的同余運算等等。下面是一個階乘的例子。>200!;

Maple使用百分號%代表對前面輸出的引用。（詳情請參考在線幫助）下面的ifactor命令對前面的結果進行因數分解。>ifactor(%);

下面的命令又將上式乘開，重新得到200！>expand(%);

2、浮點運算Maple的威力首先表現在它的精確運算能力。無論是分數還是無理數，都不會在運預算過程中自動取近似的十進制小數。這樣避免了誤差的疊加。當然如果需要，Maple將給出任意精度的近似小數。考察,在Maple中將作如下展開。>(2^30/3^20)*sqrt(3);Press[Enter]toseetheresultsofthisexpression使用evalf命令,就得到近似的浮點數。>evalf(%);3、有限與無限的求和、求積考察有限和,輸入如下。>Sum((1+i)/(1+i^4),i=1..10);使用value命令求其值。>value(%);考察無限和,輸入如下。

Sum(1/k^2,k=1..infinity);>value(%);4、復數和特殊函數Maple一樣可以進行復數運算。虛單位使用大寫I。

(3+5*I)/(7+4*I);你還可以簡單地使用convert函數將復數的代數形式轉化為極坐標表示：()，r其中是模，是幅角主值。>convert(%,polar);你也可以計算許多初等函數、特殊函數以及數學常數的數值。下例計算自然對數底的40位近似值。>evalf(exp(1.0),40);四、maple在代數運算方面的運用Maple是一種非常強大的代數運算工具。它可以用符號運算解析的解決和處理許多問題。變量的定義與使用使得解決“如果……那么”類問題成為可能。1、展開、分解、化簡表達式Maple使用不同的方法讓數學表達式跟便于處理、使用。這種變通的特性允許我么進行諸如：多項式展開、因式分解、三角式化簡、用運算結果給變量賦值、恒等變換等操作。展開、分解表達式Maple可以展開諸如：的多項式。下面的命令創建并展開它。>expr:=(x+y)^15;>expand(expr);

類似的你可以用factor命令對上面結果進行因式分解來驗證。>factor(%);化簡表達式Maple可以使用包括三角恒等式在內的恒等關系對復雜的表達式進行化簡?？疾?>simplify(cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x));normal命令是另一種化簡的方法，它對分式進行通分和約分?；?gt;normal((x^3-y^3)/(x^2+x-y-y^2));2、表達式變形命令convert允許你將表達式在各種形式間互化。有效形式的列表請參閱在線幫助。下例將分式變為部分分式。>my_expr:=(a*x^2+b)/(x*(-3*x^2-x+4));>convert(my_expr,parfrac,x);3、解方程（組）Maple可被用于求解多種代數方程（組）。解代數方程求解如下代數方程：.>eqn:=x^3-1/2*a*x^2+13/3*x^2=13/6*a*x+10/3*x-5/3*a;>solve(eqn,{x});為驗根我們計算方程在特殊點x的值。>eval(eqn,x=1/2*a);4、解方程組求解如下5元的方程組：>eqn1:=a+2*b+3*c+4*d+5*e=41;>eqn2:=5*a+5*b+4*c+3*d+2*e=20;>eqn3:=3*b+4*c-8*d+2*e=125;>eqn4:=a+b+c+d+e=9;我們可以用變量e來表示其他未知數a，b，c，d得到一組解。如果5個未知數一起求，Maple將任選其一作為自由變量。>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4},{a,b,c,d});使用所得解驗證：eqn1,eqn2>eval({eqn1,eqn2},%);5、解不等式下例演示在Maple中解不等式如何方便。解不等式組：.>solve({x^2<1,y^2<=1,x+y<1/2},{x,y});解以y為參量x的不等式：>ineq:=x+y+4/(x+y)<10:>solve(ineq,{x});五、maple在繪圖方面的運用Maple支持2D、3D圖象，它可以對顯式、隱式、參數型函數及數據集作圖。缺省情況圖形將在行內（文檔中）顯示。1、圖象的動畫plots工具包支持2D、3D動畫，用它我們可以描述現實世界中隨時間變化的過程。>animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,t=1..2);2、線性不等數組的圖解Maple能對線性不等式組作圖，使許多線性規劃問題的解可視化。Maple命令inequal將對以下不等式組作圖：,,>inequal({x+y>0,x-y<=1,y=2},x=-3..3,y=-3..3,

optionsfeasible=(color=red),optionsopen=(color=blue,

thickness=2),optionsclosed=(color=green,thickness=3),

optionsexcluded=(color=yellow));3、2D圖象Maple的2D作圖工具允許同時對多函數作圖，生成復函數映射、對數、雙對數、參數型、分段、極坐標、等值線等圖象。我們還可以對不等式組、隱函數、微分方程的解、根的分布等作圖。另外題目、標簽、文字的字體屬性亦可隨心所欲。2D作圖舉例下例生成的圖像。>plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-4..4,discont=true,

title=`y=tan(x)`);請留意Maple如何處理函數的不連續點。4、implicitplot（隱函數作圖）命令plots工具包中的命令：implicitplot生成由二元方程決定的隱函數圖象。下例同時生成單位圓：和指數函數的圖象:>implicitplot({x^2+y^2=1,y=exp(x)},x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,

scaling=CONSTRAINED);plottools工具包含有許多生成和處理圖形對象的命令，如單位圓:>c:=circle([0,0],1,color=green):>display(c,scaling=CONSTRAINED,title=`UnitCircle`);5、3D圖象Maple可以生成由顯函數、參數型、微分方程的解給出的3D曲線和曲面。圖像的外觀如：字體、光照、著色等也可隨便更改。下例將生成二元函數：的圖象。>plot3d(x*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2,axes=BOXED,

title=`ASurfacePlot`);六、maple在微積分方面的運用Maple提供多種強力工具用以解決一元或多元微積分問題。Maple可被用于求解微分、積分、極限、級數展開、級數求和、求、積分變換（如拉普拉斯變換、Z變換、梅林變換、傅利葉變換等）、以及分段函數等諸多領域的問題。Maple不僅能夠給出以上問題的數值解，他強大的引擎同樣提供解析解（符號解）。1、微積分Maple能給出微分與積分結果的符號表達。例如：定義函數.>f:=x->x*sin(a*x)+b*x^2;對x取偏微，,將結果存于變量.>Diff(f(x),x);>f_prime:=value(%);如求的原函數就應得到f(x)。驗證如下，計算：>Int(f_prime,x);>value(%);>simplify(%);2、定積分Maple可用于計算定積分，例如將上例積分取區間：x=1到x=2的定積分：.>Int(f_prime,x=1..2);>value(%);3、極限Maple能計算趨向有限值獲趨向無窮的極限，能求左右極限以及含有絕對值符號的極限問題。不收斂的情況Maple也可辨識。求極限例如：>expr:=(2*x+3)/(7*x+5);>Limit(expr,x=infinity);>value(%);七、maple在線形代數方面的運用Maple中最常用的工具包就是線性代數工具包：linalg.該工具包提供了一組用于處理向量、矩陣的強力工具。Maple求矩陣標準型，能求特征值、特征向量，定義曲線坐標，進行各種矩陣分解如：Cholesky,LU,和QR分解。1、行列式求值與求逆矩陣定義3X3矩陣A如下：>A:=matrix(3,3,

[1/2,-1/3,2,-5,14/3,9,0,11,-5/6]);使用det命令計算其行列式值。>det(A);由于行列式不為0（可逆），于是我們使用inverse命令求其逆矩陣。

inverse(A);使用det命令計算其行列式值。>det(A);由于行列式不為0（可逆），于是我們使用inverse命令求其逆矩陣。>inverse(A);定義另一矩陣B,含有變量：，>B:=matrix(3,3,[1/2,0,-2,sin(theta),1,phi^2,0,

phi-1,3/4]);求矩陣A、B的積并存于C.C:=multiply(A,B);再求行列式。>det(C);2、特征值與特征向量使用eigenvects命令可求矩陣的特征向量。返回結果列表中的第一分量是特征值，第二分量是它的代數重數，最后一個分量是該特征值對應的特征空間的基向量組成的集合。>M:=matrix(3,3,[1,-3,3,3,-5,3,6,-6,4]);>eigenvects(M);3、特殊矩陣linalg工具包含有大多數數學中出現的特殊矩陣，如Hilbert,Vandermonde,Frobenius等矩陣。例如生成6X6Hilbert矩陣。>hilbert(6);Maple亦可生成變量,,,,的范德蒙（Vandermonde）矩陣.>vandermonde([s,t,u,v,w]);

Copyright?吉林大學數學實驗中心AllRightReserved吉林大學公共數學實驗中心數學實驗>>首頁>微積分>實驗1Matlab簡介實驗目的：通過實驗讓學生熟悉Matlab軟件平臺。

Matlab簡介

美國MathWorks公司推出Matlab以其強大的功能和易用性受到越來越多的科技工作者的歡迎，Matlab是由主包和功能各異的工具箱組成，其基本數據結構是矩陣；他具有非常強大的計算功能，其已成為世界上應用廣泛的工程計算軟件之一。一界面介紹:

(1)菜單條的用法

在命令窗口下的菜單條上，共有4個F拉式菜單：file，Edit，windows和help。其中、Fi1e菜單下包含的選項最多，如圖所示。

下面簡要介紹File菜單(如圖所示)下選項的含義:

New及其子菜單；允許用戶打開—個新的文件(M文件)新的圖形窗(Figure)或simulink編輯界面.open：選擇這個選項。會出現一個如圖所示的對話框，指定相應的路徑和文件名就可以打開一個已經存在的．m文件。saveworkspace..選擇這個選項，會出現一個如圖所示的對話框，指

定相應的路徑和文件名就可以加載一個已經存在的．mat文件。這樣可將用戶以前保存的前一個工作空間加載到Matlab環境中.showgraphicspropertyeditor和showGUIlayouttool這兩個選項是Matlab新增的功能，目的是更方便、快捷地生成滿足用戶需要的圖形界面。Matlab5．1的這兩個功能提供了許多實用的工具，使用起來非常方便，大大提高了工作效率。Preferences…：允許用戶設置Matlab的一些參數，如數據格式、字體大小與顏色、復制選項等。

至于Edit、windows和HelP菜單的用法，由于它們與其他一些常見的應用軟件用法相同，這里就不再介紹了。

(2)、工具欄的的使用:

工具欄上的按鈕的含義依次如下:

打開一個新的.m文件編輯器窗口在．m文件編輯器中打開一個已有的．m文件剪切復制粘貼撤銷上一步操作打開工作空間瀏覽器打開路徑瀏覽器創建一個新的simuUnk模塊文件打開Matlab的幫助下面主要介紹“打開工作空間瀏覽器”和“打開路徑瀏覽器”這兩個工具按鈕。

(a)打開工作空間瀏覽器

工作空間瀏覽器允許用戶查看當前Matlab工作空間的內容，如圖所示。它的作用與命令“whos”相同(“whos”的作用是：在命令窗口中直接鍵人“whos”，回車后即可在命令窗口中查看當前Matlab工作空間的內容)，不同的是用圖形化的表示方法來顯示。而且，通過它可以刪除工作空間中的變量或修改變量的名稱。

(b)打開路徑瀏覽器

路徑瀏覽器允許用戶對的路徑進行查看和修改,如果修改了路徑會立即產生作用,路徑瀏覽器如圖所示:

二、操作方法

1、變量和表達式

Matlab命令的通常形式為：

變量=表達式

表達式由操作符或其他特殊字符，函數和變量名組成。執行表達式并將表達式結果顯示于命令之后，同時存在變量中以留用。如果變量名和“=”省略，即不指定返回變量，則名為ans的變量將自動建立。例如

A==[1.2，3.4，5.6，SIN(2.)]

系統將產生4維向量A，輸出結果為：

A=

1.20003.40005.60000.9093

鍵入

1900/81

結果為：

ans=:

23.4568

如果不想看見語句的輸出結果，可以在語句的最后加上“；”，此外Matlab變量名區分大下寫。

2、預定義變量：

除了自定義變量外，系統還有幾個特殊變量，如下表：特殊變量取值pi圓周率eps計算機的最小正數flops符點運算次數，用于統計計算量i和jI=j=Inf無窮大NaN不定量

3、變量的存儲和調用

當工作在命令窗口時，Matlab存儲著輸入的命令和所有創建的變量的值，這些命令和變量駐留在Matlab工作區間中，可以在任何需要的時候被調用，希望保留本次計算的結果可以使用save命令，在退出之前，保存工作區間中變量以便以后使用。

鍵入

save

則將所有變量作為文件存入磁盤的Matlab.mat中。

下次啟動Matlab時，鍵入

load

可以將變量從中重新調出

三、矩陣及其元素

1、矩陣輸入的基本方法

輸入一個小矩陣最簡單的方法直接列出矩陣元素的方法，矩陣用“[”起，元素之間用空格或者逗號分隔，矩陣行與行之間用“；”，或者回車隔開

例：用指令產生數值矩陣

x=9;y=pi/6;

A=[35sin(pi)

Cos(y)x^27

X/251]

系統會回答

A=

3.00005.00000.5000

0.866081.00007.0000

4.50005.00001.0000

Matlab的矩陣元素可以是任何數值表達式，但當復數作為矩陣的元素輸入時，需注意不要留有任何空格，

2、子矩陣的操作

矩陣的建立和取值不僅僅可以一個一個元素的進行，也可以成批進行。

首先，大的矩陣可把小的矩陣作為其元素來完成，如A=[123;456;780],則

A=[A；[101112]]

結果為

A=

123

456

780

101112

其次，小矩陣可以用“：”從大矩陣中抽取出來，通過指定取值的范圍，例如：

A（：）代表A的所有元素

A（：J）代表A的第列

A（J:K）代表A（J），A（J+1）…….A（J+K）

如此類推。

例如：

y=x(2:6)表示取出向量x的第2至6個元素。

三、繪圖

1、二維圖形

（1）、描點繪圖

plot命令根據給定的x-y點的坐標繪制平面坐標圖形，如果x,y均是長度為n的實向量，plot(x,y)將繪制點(x1,y1),(x2,y2),…..(xn,yn)的圖形。如果沒有指定x坐標，plot(y)函數將按照y的下標繪制一個中元素的線形圖。

假設我們希望繪制向量{0.，1.48，0.84，1.，0.91，6.14}的圖形，可以使用以下命令：

y=[0.,1.48,0.84,1.,0.91,6.14]

plot(y)

Matlab會產生一個圖形窗口，顯示出如下圖形，這里的X，Y的坐標是由計算機自動繪出的。

上面的圖形沒有加上X，Y軸的標注，也沒有標題，如果需要，可以使用下面表格中的命令。

Matlab的圖形命令Title圖形標題XlabelX坐標軸標注YlableY坐標軸標注Text標注數據點Grid給圖形加上網格hold保持圖形窗口的圖形

舉例：

t=0:0.05:4*pi;

y=sin(t);

plot(x,y)

grid

title(‘y=sin(t)曲線圖’)

xlable(‘t=0:0.05:4pi’)

ylable(‘y=sin(x)’)

結果如下圖：（2）、對數圖（loglog）

loglog命令的使用方法和plot命令類似，他們的區別在于plot采用的是等間隔的坐標軸，loglog命令采取雙對數坐標。

舉例：對函數y=|1000sin(x)|+1，繪制其雙對數坐標圖的命令是：

>>x=[0:0.1:2*pi];

>>y=abs(1000*sin(4*x))+1;

>>loglog(x,y)

圖形為：

（3）、根據函數繪圖：

fplot(fname,flims)繪制fname指定的函數的圖形。

Fpllot函數的繪圖區域為lims=[xmin,xmax],也可以用lims=[xmin,xmax,ymin,ymax]指定Y軸的區域，函數表達式可以是一個函數名，也可以是帶上參數X的函數表達式，如：sin(x);還可以是方括號括起來的函數組如[sincos]

舉例：繪制sin(x)在[0，4*pi]尖的圖形如下：（4）、Matlab其他二維圖形指令如下表所示：函數名稱功能area填充函數折線圖bar直方圖barh垂直的直方圖Bar3三維直方圖comet彗星軌跡狀的圖形feather沿X軸分布的復數向量圖Plotmatrix矩陣折線圖stairs階梯圖

舉例：用bar函數繪制向量Y的直方圖

2、三維圖形

mesh(Z)語句可以給出矩陣Z元素的三維消隱圖，網格表面由矩陣Z在x-y坐標平面上的值所確定，圖形由臨近的點連接而成。其他產生三維圖形的函數還有xontour,surf,plot3d等。

舉例：繪制sin(r)/r

Copyright?吉林大學數學實驗中心AllRightReserved吉林大學公共數學實驗中心數學實驗>>首頁>微積分>實驗3Mathmatica簡介Mathmatica是美國wolfram研究公司開發的符號計算系統，Mathmatica是最大的單應用程序之一，它內容豐富、功能強大的函數覆蓋了初等數學、微積分、和線形代數等眾多的數學領域，它包含了數學多方向的新方法和新技術；包含的進百個作圖函數，是數據可視化的最好工具。一、Mathmatica的主要功能1、符號運算Mathmatica以符號運算為主，能做象人一樣進行帶字母的運算，得到精確的結果。其符號運算功能可以分為如下四大類：（1）、初等數學可以進行各種數和初等函數式的計算與簡化。（2）、微積分可以求極限、導數（包括高階導數和偏導數）、不定積分和定積分（包括多重積分），將函數展成冪級數、無窮級數和積分變換。（3）、線形代數可進行計算行列式，句真的各種運算，解線形方程組、求特征值和特征向量，正交化，以及矩陣分解。

（4）、解方程組能解各類方程組（包括微分方程組）。2、數值計算Mathmatica的數值計算也更有科學性，與通常的數值計算程序有所不同。它允許用戶指定任意精度。Mathmatica具有眾多的數值計算函數，能滿足線形代數、插值與擬合、數值積分、微分方程的數值解、求極值、線形規化及概率統計等方面的常用計算需求。3、繪圖它的繪圖功能也很出色，能繪制各種二維和三維的彩色圖形，自動程度很高。4、編程Mathmatica中用戶可以自己編制各種程序（文本文件）。開發新的功能。用戶開發的功能可以在軟件啟動時被嵌入，與軟件本身的功能一樣使用。Mathmatica4.0版本已經有100多個專門的程序包。都是另外編寫的程序文件，補充并完善了Mathmatica的功能。二、Mathmatica界面簡介4.0版本在windows9x以上環境上運行。1、

工作區窗口如下圖所示，左邊的大窗口為工作區，是顯示一切輸入、輸出的窗口。無論是直接的輸入各種算式或命令，還是運行已編好的程序，所有的操作都在這個窗口進行?？梢酝瑫r打開多個工作區窗口，在這樣的窗口中，不僅僅是顯示文字和數學表達式，還可以顯示圖形、按鈕等對象，將這樣的窗口成為notebook.2、

基本輸入模版

位于工作區窗口右邊的是基本輸入模版，由一系列按鈕組成。用鼠標左鍵單擊一個按鈕，舊可以將他表示的符號輸入到當前的工作區窗口中。用戶應該認真觀看并記憶它的內容。Mathmatica提供多個這樣的模版，用以簡化數學表達式、特殊字符及Mathmatica函數的輸入，還可以根據需要自制特殊的模版。模版的侵入大大加快了輸入速度，減輕了記憶負擔。(為版式設計方便，該圖在原圖的基礎上垂直旋轉了90度)3、

主菜單Mathmatica的菜單項很多，以下只介紹一些最實用的菜單項/（1）、file菜單

file菜單如下圖所示。如上圖所示的new,OPEN,CLOSE,及SAVE命令勇于新建、打開、關閉及保存用戶的文件，這些選項的功能和WORD類似，不再詳細介紹，另外幾個選項是Mathmatica特有的，其中最有用的是·palettes用于打開各種模版；·generatepaletteformselection用于生成用戶自制的模版；·

note記錄最近使用過的模版；

（2）、模版單擊palettes項，會彈出如下圖所示的子菜單。圖中的7個英文選項是Mathmatica原有的模版，最后兩個中文選項是筆者自定義的模版。第3項basicinput就是啟動時已經顯示在屏幕上的模版，其余模版最有用的是basiccalculations.單擊basiccalculations.打開土下圖所示的模版。這個模版分類給除了各種基本計算的按鈕，單擊各項前面的小三角，回立即顯示該項所包括的子項。（3）、主菜單中的EDIT項的功能與常規操作相同，其余的菜單初學時大多不需要，各個菜單的詳細介紹可以查看HELP中的OTHERINFORMATION項中MENUCOMMANDS部分。二、

Mathmatica中的基本量1、

數與數的表示數值類型：類型描述例特征說明整數Integer1234566任意長度的精確整數有理數Rational12345/45678化簡過的分數實數Real23.0任意精確度的近似實數復數conplex23+3.2i實部和虛部可為整數、有理數、實數數學常數：數學常數意義I虛數單位I=E自然對數底degree度Infinity無窮大數的輸出：N[表達式]

以實數形式輸出表達式；N[表達式，n]

以n位精度的實數形式表示表達式；2、

變量Mathmatica的變量名都是用小寫英文字母開頭，后面跟字母或數字，變量名的長度不限。給變量賦值的一般形式為：變量=表達式

或者

變量1=變量2=表達式在Mathmatica中，變量有兩種獲取數值的方式，其一是定義其值，另外一種方法是對變量做替換。例如：expr/.lks->rhs

表示用rhs替代expr中的lks。3、

函數Mathmatica本身的內部函數和它自帶的軟件包中的函數稱為系統函數，還可以用戶自定義函數。函數的一般形式是：函數名[參數1，參數2，…….]4、

算術運算符和表達式算是表達式由常數、變量、函數、算術運算符和括號組成。Mathmatica中的算是運算符與其他軟件中表示方式相同?！?”表示上一個計算結果；“%%”表示倒數第二個運算結果，“%%%%%%%%%%…”依次類推。三、

Mathmatica在初等代數運算方面的運用1、

多項式運算多項式是一種特殊的表達式，表達式中的各種運算都可以用于多項式運算，表達式中的各種輸出形式也都可用于多項式的輸出。Expand將多項式按冪次由低至高展開成單項之和;Factorterm命令表示提取每個元素的公因子;Factor做因式分解，將多項式寫成盡可小的因式之積;Simplify化簡多項式使其包含的項數最小意義下的最簡形式。舉例：展開(a+b+c+d)3在工作區內輸入Expand[(a+b+c+d)^3]然后按

shift+回車；屏幕顯示如下所示的結果。其他的多項式命令見下表：函數名意義ExpandNumerator只展開有理式的分子ExpandDenominator只展開有理式的分母Together把所有項合成在一個公共分母的分式Apart將表達式分解成部分分式之和Cancel約去分子分母的公因式PolynomialQuotient[p,q,x]計算關于X的多項式P和Q相除的商式PolynomialRemainder[p,qx]計算關于X的多項式P和Q相除的商式和余式2、

方程求根解方程的函數是Solve的一般形式：Solve[方程或方程組，{變量表列}]Nsolve[方程或方程組，{變量表列}]Solve的目標是找出方程的精確解，Mathmatica總可以解出四階或四階以下多項式方程的精確解，對于三次或者四次方程，用Solve算出的結果可能可能相當復雜。例如：解方程x^2-6*x-5輸入：Solve[x^2-6x-5?0,x]顯示結果見下圖：四、Mathmatica在微積分方面的運用1、求極限計算函數極限f(x)(x---x0)形式為：limit[expr,x->x0]

x趨于x0是函數expr的極限limit[expr,x->x0,Direction->-1]

x趨于x0-1是函數expr的極限limit[expr,x->x0,Direction->+1]

x趨于x0+1是函數expr的極限例如：求(x^2-1)/(4x^2-7*x+1),x->無窮大輸入：Limit[(x^2-1)/(4x^2-7

x+1),x?Infinity]顯示如下圖象：2、微商和微分在Mathmatica中能夠方便的計算任何函數表達式的任意階微商。如果是f一元函數。D[f,x]表示df(x)/dx；如果f是多元函數，D[f,x]表示，微商函數的常用形式如下：D[f,x]

計算偏導數D[f,x1,x2,x3…..]計算多重導數D[f,{x,n}]

計算n階導數D[f,x,NonConstants->{v1,v2,…}]

計算，其中v1,v2依賴于x下面列出全微分函數的常用形式及其意義：Dt[f]

全微分dfDt[f,x]

全導數Dt[f,x1,x2,….]

多重全導數

Dt[f,x,Constants->{c1,c2,….}]

全導數，說明ci為常數。3、不定積分和定積分Integrate[f,x]

計算不定積分Intefrate[f,x,y]

計算不定積分Integrate[f,x,y,z]計算不定積分舉例：Integrate[1/(x^2-1),x]輸入Integreate[1/(x^2-1),x]結果顯示如下：定積分計算定積分的命令和計算不定積分是同一個Integerate函數，在計算定積分時，除了要給出變量外還要給出積分的上下限。當定積分算不出準確結果時，用N[%]命令總能得到其數值解。Nintegerate也是計算定積分的函數，它得到的是近似數值解。Integrate[f,{x,a,b}]

計算定積分Nintegrate[f,[x,a,b]]

計算定積分Integrate[f,{x,a,b},{y,c,d}]計算定積分4、常微分方程求常微分方程組的函數一般形式如下：Dsolve[eqns,y[x],x]

解y(x)的微分方程或方程組eqns,x為變量；Dsolve[eqns,x]

以純函數的形式下求解NDSolve[eqns,y[x],{x,xmin,xmax}]

在區間

[xmin,xmax]上求借變量是x的常微分方程或聯立常微分方程組eqns的數值解；五、

Mathmatica在線形代數方面的運用1、定義向量和矩陣函數定義一個矩陣，可用函數Array,Table，當矩陣元素能用一個函數表達時，用函數Table在定義矩陣大小的同時也給每個矩陣元素定義了明確的值。用函數Range只能定義元素為數值的矩陣。Array只能定義向量、矩陣和張量，并灰頂矩陣和張量的元素下標從1開始。Array[向量元素名，n,f]Array[矩陣元素名，{m,n}]Table[表達式f，循環范圍]2、方程組求解函數在Mathmatica中用LinearSolve[A,B]，求借滿足方程組AX=B的一個解。如果A的行列式不為0，那么這個方程組有唯一解；如果行列式為0，這個方程組的解是個特解；方程組的解由全部基礎解系向量的先行組合加上這個特解組成。解方程組函數意義RowReduce[A]做行的線形組合化簡A，A為m行n列的矩陣LinearSolve[A,B]求解滿足方程組AX=B的一個解，A為方陣NullSpace[A]求解方程組AX=0的基礎解系的向量表舉例：已知A=1

1

1

11

0

-1

-1

計算A的秩，計算AX=0的基礎解系。3

1

-1

33

2

1

3輸入RowReduce[A]={{1，1，1，1}，{1，0-1，-1}，{3，1，-1，3}，{3，2，1，3}}；程序運行的結果如下：六、利用Mathmatica繪圖1、二維函數作圖Plot[函數f,{x,xmin,xmax},選項]

在區間{xmin,xmax}上，按選項的要求畫出函數的圖形。Plot[{函數1,函數2}，{x,xmin,xmax},選項]

在區間{xmin,xmax}上，按選項的要求同時畫出幾個函數的圖形。舉例：畫出下x*sin(1/x),

-1/2<x>1.2;輸入：Plot[x^3+1,{x,-1,2}]執行的結果如下：2、兩維參數畫圖函數ParametricPlot[{x[t],y[t],{t,t0,t1},選項}畫出一個X軸，Y軸坐標為{x[t],y[t]}，參變量t在{t0,t1}中的參數曲線；ParametricPlot[{x1[t],y1[t]},{x2[t],y2[t]}]，{t,上限，下限}，選項]畫出一組參數曲線。舉例：ParametricPlot[{sin[t],sin[2t]},{t,0,6.28}]顯示結果為：3、三維函數畫圖Plot3D[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1},選項]在區域x0<x<x1

y0<y<y1上，畫出曲面f[x,y](其為實數表達式)。舉例：Plot3D[sin[xcos[y]],{x,-3,3},{y,-3,3},Plotpoints->40]

結果如下：

Copyright?吉林大學數學實驗中心AllRightReserved吉林大學公共數學實驗中心數學實驗>>首頁>微積分>實驗4復合函數做圖實驗目的：本實驗主要涉及到數學軟件的繪圖功能在符合函數中的應用，使學生進一步理解復合函數的理論，掌握并熟悉使用Mathematica做出復合函數的圖形。背景知識：1、復合函數的相關知識。復合函數的定義：一般地說，若函數y=g(u)的定義域為U,u=f(x)的定義域為X,值域為U*，并且U*包含在U內。也就是說，函數u=f(x)的值域不超過函數y=g(u)的定義域U。那么對于X內的每一個x，經過中間變量u，相應的得到唯一確定的一個值y，于是y經過中間變量u而成為x的函數，記為：y=g(f((x))舉例：設f(x)=2x^2+1,g(x)=cos(x),求f(g(x))和g(f(x))解：設f(u)=2u^2+1,再設u=g(x)=cos(x),那么將u=g(x)代到f(u)中，就得到f(g(x))=2*cos(x)^2+1同樣，設個g(u)=cos(u),再設u=2*x^2+1;那么g(f(x))=cos(2*x^2+1).2、Mathematica中的繪圖功能。（1）基本二維一元函數作圖Plot[函數f,{x,xmin,xmax},選項]

在區間{xmin,xmax}上，按選項的要求畫出函數的圖形。Plot[{函數1,函數2}，{x,xmin,xmax},選項]

在區間{xmin,xmax}上，按選項的要求同時畫出幾個函數的圖形。Mathematica繪圖時允許使用選項對繪制圖形的細節提出各種要求和設置。例如：要求取消坐標軸，給圖象加框線等要求。每個選項都有一個確定的名字，以“選項名->選項值”的形式放在Plot中最右邊的位置。下面列出部分選項及其意義：函數名稱缺省值說明AspectRatio1/Goldatio

0.618:1顯示圖形的高、寬之比AxesAutomatic是否顯示坐標軸以及坐標軸的位置axesLabelNone說明坐標軸上的標志符號FrameFalse在圖象周圍是否加框TicksAutomatic設置坐標軸上刻度的位置舉例：畫出下x*sin(1/x),

-1/2<x>1.2;輸入：Plot[xsin[1/x],{x,-1/2,1/2}]執行的結果如下：（2）兩維參數畫圖函數ParametricPlot[{x[t],y[t],{t,t0,t1},選項}畫出一個X軸，Y軸坐標為{x[t],y[t]}，參變量t在{t0,t1}中的參數曲線；ParametricPlot[{x1[t],y1[t]},{x2[t],y2[t]}]，{t,上限，下限}，選項]畫出一組參數曲線。舉例：ParametricPlot[{sin[t],sin[2t],{t,0,2pi}}（3）三維函數畫圖Plot3D[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1},選項]在區域x0<x<x1

y0<y<y1上，畫出曲面f[x,y](其為實數表達式)。舉例：Plot3D[sin[xcos[y]],{x,-3,3},{y,-3,3},Plotpoints->40]（4）三維參數畫圖ParametricPlot3D[{x,y,z},{u,u0,u1,(du)},{v,v0,v1,(dv)},選項]畫出三維參數空間曲面，x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),u0<u<u1,v0<v<v1.(5)等值線圖和密度圖ContourPlot[f[x,y],{xmin,xmax},{y,ymin,ymax},選項]做出二元函數f[x,y]在區域上的等值線圖，等值線就象地圖上的等高線，他們把曲面上高度相同的各點用線連接起來，等值線系列對應于均勻間隔的z=f[x,y]值數列。DensityPlot[f[x,y],{xmin,xmax},{y,ymin,ymax},選項]做出二元函數f[x,y]在區域上的密度線圖，密度線圖與等值線圖的作用相似。在密度圖中，相等的數值用同意灰度表示。（6）用圖形元素畫圖

使用圖象元素做圖適合于畫結構復雜的圖形。Mathematica中也提供了各種二維和三維圖形元素函數，先用Graphics[圖形元素]做出平面圖形表達式，再用Show[圖形表達式]的形式顯示出完成的圖形.二維圖形元素幾何意義Point[{x,y}]點的位置在{x,y}，x,y為坐標值Line[{{x1,y1}{x2,y2}……..}]依次連接相鄰兩點的線段Rectangle[{xmin,ymin},{xmax,ymax}]以{xmin,ymin}和{xmax,ymax}為對角線的填實巨型Polygon[{x1,y1},{x2,y2},…….]以{x1,y1},{x2,y2},……為頂點的閉多邊形Raster[{{a11,a12},{a21,a22},……..}]灰度顏色的矩陣Circle[{x,y},r]圓心在{x,y，半徑為r的圓Circle[{x,y},{rx,ry}]圓心在{x,y，半徑為r的橢圓Circle[{x,y},r,{t1,t2}]從弧度t1到t2的圓弧Disk[{x,y},r]圓心在{x,y，半徑為r的填市圓。例如：：In[1]:=Graphics[{Line[{{-1.5,-1.5},{1.5,1.5}}],PointSize[0.03],Point[{0,1}],Point[{1,0}]}]Out[1]:=…Graphics…In[2]:=Show[%]Out[3]:=…Graphics…三、復合函數作圖舉例：u(x)=2x+1,g(u)=u^2-1,試作出g(u(x))的圖形。輸入：會顯示出下圖所示的結果。舉例：f(x)=x^2,g(x)=2^x,作出g(f(x))和f(g(x))的圖形。In[1]:=In[2]:=

Plot[f[g[x]],{x,1,3}]舉例：f(x)=1/(1+x),作出f(f(x)),f(f(f(x)))的圖形。In[1]:=Plot[f[f[x]],{x,1,5}]In[2]:=Plot[f[f[f[x]]],{x,1,5}]

Copyright?吉林大學數學實驗中心AllRightReserved吉林大學公共數學實驗中心數學實驗>>首頁>微積分>實驗5函數極限

實驗目的：通過實驗加深學生對極限定義的理解，讓學生通過直觀理解從量變到質變、從定量到定性的全過程．

背景知識：

一.函數在一點的極限先來考察一個具體的例子，在中學的物理課中，我們已經知道自由下落物體距離和時間的關系為

。

這里s是物體的下落距離，t是時間，g是重力加速度?，F在要求這個下落物體在t=1秒時那一瞬間的速度時多少？這里，我們遇到了兩個問題：（1）為什么叫做t=1秒時那個瞬間的速度（物理上稱為瞬時速度，也簡稱為速度）？（2）怎樣求出t=1秒時的瞬時速度？在中學里，已經學習了平均速度的概念，我們先求出這個物體在1秒到t秒之間的平均速度：

例如令

t=1.1

，得

t=1.01

，得

t=1.001

，得

可見，當t越來越接近1時，平均速度也越來越接近g，這個數值g就定義為自由落體在t=1秒時的速度從這個具體得例子使我們看到，我們要考慮得問題是函數（它是t的函數），當t越來越接近1時，也隨著越來越接近g。一般的，對于一個函數，當自變量x越來越接近時，如果函數也隨著越來越接近一個定數A，我們就說這個A時函數在x點的極限。這意味著：只要x充分接近，函數值和A的相差就會相當小。或者更確切的說：欲使相當小，只要x充分接近就可以了，把這句話用數學的記號寫出，就得到函數在點極限的定義。函數在x0點的極限的定義

設函數在的附近（但可能除掉點本身）有定義，又設A是一個定數。如果對任意給定的>0,一定存在>0,使得當時，總有,我們就稱A是函數在點的極限，記為：

或者記為：這時也稱函數在點極限存在。（注：在定義中，“當總有”的直觀意義是很明顯的，它表示只要x充分接近，就是保證了充分接近A，但為什么又要“”呢？這是因為函數可能在點沒有定義。例如在前面所舉的求自由落體瞬時速度的例子中，函數在t=1是沒有定義的，但它在t=1卻存在著極限。因此，當我們考慮函數在x0點極限時，我們對這個函數在點究竟有沒有定義時不作什么要求的，正因為這個緣故，所以我們要求，即二．函數極限的性質和運算性質1

若,

,

且A>B,則存在，使當時，證明：取，那么，存在1>0,當時，有：

同時又存在2>0,當時，有現在，令，那么當時，就有性質2

若,,且存在，使當時，則。性質3

若而則存在，使當時,(性質2和性質3請自己證明)性質4

若,

,

則.

這個性質說明了函數極限的唯一性。

證明：采用反證法，如果，不妨，由性質1知道，存在,當時,有矛盾,這就證明了

性質5

若存在，使當時,

,并且，

,則.。這個性質不難從函數極限的定義出發來證明,我也把它留給大家去做.定義:

設函數在某個區間X內滿足其中A,B時兩個定數,我們就稱在X內有界,并稱A時在X內的下界,B時在X內的上界,顯然,對任何,都是的下界，同樣對任何>0,B+都是的上界。這個定義也可以這樣敘述：設函數在某個區間X內滿足：|f(x)|M其中M是一個定數，我們就稱在X內有界。以上兩種說法顯然是相等的。性質6

若，則存在著,使得在區間和內有界，亦即在不等式所表示的區間內有界。證明：取一個固定的，譬如說取，有，知道存在，當時，有這樣就證明了在和內有界。

要注意的是，有極限存在，只能斷定函數在相應的某個領域

內有界，而不那斷言它在整個定義域內有界。例如,它的定義域是和，因為，根據性質6，存在某個，在和內有界。但是這個函數在它的定義域內有：

它的圖形是一條拋物線，但除去，可見在和內是無界的。

下面的性質給出了函數極限和數列極限之間的關系。性質7

的充分必要條件為對任何以為極限的數列，，都有

。證明：

必要性

由于，因之對任意的，可得,當時，

但是

，故對，又可得正整數N，使n>N時因為，故上面的不等式可改寫為而對于適合這個不等式得，其函數值適合

亦即當n>N時，這個不等式成立，這也就證明了數列以A為極限。充分性：

反證法，若，則對某一個,不能找到函數極限定義中的，也就是對任意得,都可以找到一點，,使;特別若取為……，得到，……，適合

,

,

,

…………從左邊一列可以看出,而右邊一列卻說明數列不以A為極限，與假設矛盾。充分性得到驗證用這個定理可以證明某些函數得極限不存在。運算法則1

若，，則,

,在商的情況下，要求.證明：對任意給定的,考察由可知，存在著，當的時候有.又由性質6知道，存在,當時有,其中M是一個正的常數。再由可知，存在,當時，有

現在，取，則當時，有這就證明了運算法則2

若，在某區間有界，那么三

單側極限我們用記號

,或表示當并且x不斷接近時，函數值不斷接近A。這也是一個極限過程。我們稱此A是函數再點的右極限，欲使我們有如下定義：右極限的定義

設函數再點的右近旁（可能出去本身）有定義，又設A是一個定數。如果對任意給定的,總存在,當時，有,我們就稱A是函數再點的右極限，記為

,或或者

這時也稱函數在點右極限存在。

定義中條件也可以用鄰域來敘述：如果對A點的任何鄰域，總存在點的右鄰域,當時

相仿的，可以給出左極限的定義

左極限的定義：

設函數在點的左近旁（可能除去點本身）有定義，又設A是一個定數。如果對任意給定的,總存在,當時，有,我們就稱A是函數再點的左極限，記為

,或或者

這時也稱函數在點左極限存在。

四．函數在無限遠出的極限在物理學中，設放射性物質的原有質量為，經過時間t以后，所剩下的質量為，那么與時間t有著以下關系

這里是正的常數，稱為衰變常數。從理論上說，隨著t的不斷增加，可以任意的接近于零，亦即

函數在正無限遠處極限的定義：

若對任意給定的，存在,當時總有,就稱A為在正無限遠處的極限，或者稱A是當時的極限，記為：

或

或

這時也稱函數在正無限遠處極限存在。相仿的，可以定義函數在負無限遠處的極限：函數在負無限遠處極限的定義：

若對任意給定的，存在,當時總有,就稱A為在負無限遠處的極限，或者稱A是當時的極限，記為：

或

或

這時也稱函數在負無限遠處極限存在。有時，我們需要考慮的情形，也就是當和時，函數趨于相同的極限。這樣，就有下列定義：

函數在無限遠處極限的定義：若對任意給定的，存在,當時總有,就稱A為在無限遠處的極限，或者說A是當時的極限，記為：

或

或

這時也稱函數在無限遠處極限存在。

例：證明

證明：對任意給定的,考察當時

把右邊的式子適當放大，得到當時

因此，只要取

即可。和單側極限相仿，，當且僅當

所有關于函數極限的性質和運算，都可以一一搬到現在我們所討論的情況中來。例如：若，，并且,則存在，當時。證明如下：對，由得：存在,當時有。又由得，存在,當|時，有.現在取,

那么當時，有

其余性質與運算就不一一敘述了。五．

函數值趨于無窮大得情形前面所討論的都是自變量（這里或者

，，，，等），函數值隨著趨近某個頂數的情形?，F在，我們討論當時函數值無限制的增大，即函數值趨于無窮大的情形。

我們給出如下定義:：

的定義

：

如果對于任何,存在，當時有，就是說函數在點趨于無窮大（或發散到無窮大），記為或

的定義：

如果對于任何,存在，當時有，就是說函數在點趨于無窮大（或發散到無窮大），記為或。

的定義：

如果對于任何,存在，當時，有，就是說函數在點趨于無窮大（或發散到無窮大），記為或。

我們還應該給出，

，

，

等等定義，但由于這些定義都和上面已給出的相仿，我們就不一一寫出來了。

下面，我們僅對的情形，給出幾個性質：

性質8

若，那么，反過來，如果在的某個領域內（本身除外）無零點，并且，那么

證明：這里只有證明定理的，后一半請自己證明。

對于任意給定的，根據已知條件。故存在，當時，有。這樣便證明了存在這樣的，當時有||,即，。性質9

若，而滿足：當時,那么證明

對任何給定的。由得知，存在，當時，,取，于是當時，有

這就證明了。

例

設，求在0點的左極限和右極限

由于

再由指數函數的特征知：六．

兩個常用的不等式和兩個重要的極限1．

對任何，有當時

，有再這兩個不等式中，等號只有在時成立。2．

事實上，用的各項，并由于和在|

時為正，因此當時，

或

從而而當時，右端趨于0，所以中間各項也趨于0，特別是

，即

3.

先討論的情形，因，故而

但由于

,而，取正整數值而趨于，故從和得到和

由極限性質即得剩下的是證明

，作替換，則但當時，，上式右端以為極限，所以左端也以為極限，證畢。Maple應用實例求現在舉一個左右極限的例子考慮極限

左右極限不相等，所以函數的極限不存在。絕對值函數判斷函數是否收斂此函數不收斂

Copyright?吉林大學數學實驗中心AllRightReserved吉林大學公共數學實驗中心數學實驗>>首頁>微積分>實驗6有界量與無窮大量

實驗目的：通過實驗使學生理解無窮大量與無界量的關系

背景知識：

（一）

無窮大量1．

無窮大量的定義

數列，即1，……，它的變化也有一種趨勢，但這種趨勢與收斂的數列不同，它不是越來越接近一個定數，而是無限制的增大。我們稱這種變量是無窮大量。然而，如何用數學的語言來定義無窮大量呢？我們考察這個數列就會發現，所謂無限制的增大意味著對任意給定的一個相當大的整數，只要充分大，必定會大于這個。換句話說，總存在某個正整數，當，必定有。這個是立即得到。這表示：如果我們取，那么當時，必有?，F在，給出無窮大量的定義：

無窮大量的定義：

設是一個數列，如果對任意給定的.，總存在正整數，當時必有，我們就稱是一個無窮大量。記為或

（）

要注意的是，我們雖然仍舊用記號表示是無窮大量，有時甚至也說的極限是，但這里所說“極限”的含義和上一節中的極限是不同的，只是為了今后在記號上和語言上的方便才這樣說的。還要注意的是：無窮大量是一個變量，在它的變化過程中，其絕對值隨著n的增大而無限制的增大，切不可把它和很大的量混淆起來。

無窮大量的幾何解釋：所謂是無窮大量，就是對任意給定的兩個開區間（）及，一定有這樣一項（第項），自這項以后的一切項，……（即的）全都落在這兩個開區間內。例：設為適合不等式的任意常數，則為無窮大量。證：對任意給定的，為了要，即

由此有（此處不妨設），因此可取。這就證明了。

對于無窮大量，有時我們還要從變量的變化趨勢是保持正號還是保持負號來對無窮大量加以區分，有：

（1）正無窮大量：設是無窮大量，并且自某項以后（即）有，我們就說是正無窮大量。

（2）相仿的可以給出負無窮大量的概念。2．

無窮大量的性質和運算1）

窮大量和無窮小量的關系

無窮大量和無窮小量之間有著密切的關系，可以用下面的定理表達出來。定理：若為無窮大量，則它的倒數所成的數列為無窮小量。反之，若為無窮小量，且，則它的倒數所成的數列為無窮大量。證明：因是無窮大量，根據定義，對任意給定的,總可找到正整數,當時,有,從而有,因為是任意的,所以也是任意的,于是就證明了是無窮小量.

定理的第二部分可同樣證明.2）

無窮大量的一些運算法則（1）

設和都是正（或負）無窮大量，那么它們的和也是正（或負）無窮大量證明：

我們只證明正無窮大量的情形。對任意給定的，因，所以存在，當時有，又因，所以還存在，當時有，現在取，那么當時，就有這樣便證明了要注意的是，任意兩個非同號的無窮大量之和可能不是無窮大量，例如和都是無窮大量，但它們的和是，……，顯然不是無窮大量。（2）

設是無窮大量，而是有界數列，那么它們的和是無窮大量（3）

設是無窮大量，又設數列具有以下特性：存在某個，當時有，那么它們的乘積是無窮大量證明：

對任意給定的，由于，故存在，當時，有。又因為當時有，這時我們取，當時，就有

而是一個定數，這就證明了。推論：

設是無窮大量，收斂于，那么它們的乘積是無窮大量二。有界量

上確界和下確界1．

集的概念

何謂集（集合），就我們的日常工作和生活經驗而言，這是不言自明的概念。例如全體男人就是一個集，又如所有大于2小于3的實數也是一個集，這個集就是開區間。由數所組成的集，叫做數集。集內的數叫做改集的元素，例如2.5就是數集中的元素，而5不是數集的元素。集必須有明確的準則，如“高個子的人”不能組成集，因為究竟身高多少才算作“高個子”是不明確的。如說“1.8米以上的人”那就成為一個集了。對于數列，如果各項都不等，那么它的每一項都是確定的數，這些數的全體，也是一個數集。因而我們通常也說數列是一個數集。集是數學中最基本的概念之一。我們平常用大寫拉丁字母和……等表示它。集中的元素通常用小寫拉丁字母如,……等來表示。如果是集中的一元，我們就用符號：來記這件事，讀作“屬于”。例如，若為一切大于1的數所組成，則。如果不是集中的一元，則用符號：

來記，讀作“不屬于”。例如，E是一切正整數所組成，則。3．

上確界和下確界的定義：

一個集可有有限個元素，也可有無窮多個元素。同樣，一個數集可以由有限個數組成，也可以由無窮多個數組成，前者稱為有限（數）集，后者稱為無限（數）集。任何有限數集都有一個最大數與一個最小數。但對于無限數集來說就不一定有最大數與最小數了。例如，由一切所成的數集沒有最小說。又如，數列無最大數，而有最小數。又如數列無最小數，而有最大數。

我們知道，有界數列有無窮多個上界和無窮多個下界。因而對有界數列來說，如果它有最大數，那么這個最大數也是它的上界中的一個，并且比這個最大數小的任何數都不是它的上界，這時，這最大數自然就是它的最小的上界。同樣，若數列有最小數，那么這個最小數就是它的最大的下界，也就是說，比這最小數大的任何數都不是它的下界。但在上面例子中已經看到，數列不一定有最大數或最小數，對一般無限數集來講也不一定有最大數或最小數。這時，我們就不能把數集的最大數作為它的最小上界，也不能把最小數作為它的最大的下界。然而，對于某些數集或數列來說，最小的上界和最大的下界確實存在的，因此，這里暫時撇開它們的存在性，而對一般數集的最小的上界與最大的下界給予確切的定義是有必要的。下面就來敘述它們的定義：設給定一數集。若存在這樣一個數，適合下面兩個條件：（1）

集中的一切數（2）

對任意給定的整數，至少存在一個數，使則叫做的上確界，記為

或

這里，是的縮寫。上面第一個條件就意味著是集的上界之一，而第二個條件顯示出非小于的任何數都不是的上界。換言之，就是的最小的上界。同樣，對給定的數集，若存在這樣一個數，適合下面兩個條件：（1）

集中的一切數，（2）

對任意給定的正數，至少存在一個數，使則叫做的下確界，記為

或

這里，是的縮寫。第一個條件說明是的下界之一，而第二個條件說明凡大于的任何數都不是的下界。也就是說是的最大下界。由此立即獲得上（下）確界的唯一性定理：定理1

設數集有上(下)確界，則這上（下）確界是唯一的。并不是任何數集都有上下確界。對任何有限數集來說，它們一定存在。這時，從上下確界的定義容易推知，最大數就是它的上確界，最小數就是它的下確界。然而對無限數集來講，它就不一定存在上下確界了。例如，對于正整數列顯然不存在適合上確界的第（1）條件的數。又對于負整數列也不存在適合下確界的第（1）條件的數。還要注意的是：一個無限數集即使它有上確界（或下確界），然而這個（或）可屬于也可不屬于。例如，數列,根據上下確界的定義，易知。但是而。如果（或）屬于，則我們說上（或下）確界（或）可到達。否則就說上（或下）確界不達到。在上面的例子里，下確界0不達到而上確界1可達到。當上（或下）確界（或）可達到時，則（或）必是集的最大數（或最小數），因為如果有一數且，則就不是E的最小上界了。對下確界可達到必是集的最小數的情況，也可同樣說明。定理2

有上界的非空數集必有上確界，有下界的非空數集必有下確界。定理3

單調有界數列有極限。證明：我們只就單調增加的有界數列予以證明。因有界，則必有上確界.現在證明恰好就是的極限，即。由上確界的定義有：（i），（ii）對任意給定的，在中至少有一數,有。但由于是單調增加數列，因此當時，有，從而。也就是說：當時，有

所以

這里不僅證明了單調有界數列的極限存在，而且也證明了：如果它是單調增加的，則極限就是它的上確界。同樣可證：單調減少有界數列的極限存在，并且極限就是它的下確界。

推論：

若為單調增加無界數列，則。若為單調減少無界數列，則。這是因為單調增加的無界數列必不以有限數為它的上界，故可認為它的上確界為。同樣，對單調減少的無界數列可認為它的下確界為。三．區間套定理

定理3說明了單調數列的收斂性，這是數列極限存在的一個重要判別法。但如果數列不是單調的，就不能用這個定理來肯定它的收斂性，因此一般的講有界數列可以收斂也可以發散，但有界數列無論收斂與否，它有一個非常重要的性質：總存在收斂的子列。這個性質不是每一無界數列都能具有的，例如，在正整數例中就不存在任何收斂子列。為了證明有界數列的這個重要性質，需要其他定理作基礎，即所謂“區間套”定理，我們現在就來敘述它：

定理4（區間套定理）

設一無窮閉區間列適合下面兩個條件：（i）后一區間在前一區間之內，即對任一正整數，有，（ii）當時，區間列的長度所成的數列收斂于零，即，則區間的端點所成兩數列及收斂于同一極限，并且是所有區間的唯一公共點。

證明：

由定理的條件立即知道是單調增加有上界的數列，是單調減少有下界的數列。根據定理3，則存在，且極限等于的上確界。同樣，存在，且極限等于的下確界。亦即對任何正整數，有由定理的另一條件：，并且由于已知及的極限都存在，則有

（*）從而證明了兩個極限相等，且設是它們的同一極限。于是定理的前一部分的結果即已證得。剩下要證的是：是所有區間的唯一公共點。由(*)的兩個不等式，即有

也就是是所有區間的一個公共點。現在要證明是唯一公共點。設除點外，所設區間列還有另一個公共點，且，由于，故有

由數列極限的性質知道：

由于，故有

從而有。到此定理的全部結果都已證得。為了以后敘述簡單起見，這里還介紹一個符號：如果一個區間列適合條件：，即后一區間在前一區間之內，則記為：

……如果任何兩個區間不完全重合，則記為：

……在區間套定理中，若將閉區間改為開區間，或將條件（i）或（ii）去掉，定理一般將不成立。四．致密性定理從前面很多例子中我們知道，如果數列僅僅是有界的，則它不一定收斂。對于任何有界數列，如果它是收斂的，那么它的任意子列都收斂，且于原來數列收斂于同一極限。但如果一個有界數列是發散的，那么它是否還有收斂子列呢？下面講述一個定理，它對這問題作了肯定的回答。我們將它稱為“致密性定理”，是由德國數學家魏爾斯特拉斯首先得到的，有時也稱為魏爾斯特拉斯定理。定理5（致密性定理）

任一有界數列必有收斂的子列。證明；設為有界數列，即存在兩數，使。等分區間為兩個區間，則至少有一個區間含有中的無窮個數。把這一區間記為,如果兩個區間都含有無窮個，則任取其一作為。再等分區間為兩半，記含有無窮