讓學習成為一種習慣授課學案學生姓名授課教師石海朋班主任上課時間月日時—時主任審批授課標題帶電粒子在復合場中運動學習目標重點難點來自宇宙的質子流，以與地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一點，則這些質子在進入地球周圍的空間時，將相對該點向哪個方向偏？1．洛倫茲力磁場對運動電荷的作用力。2．洛倫茲力的方向左手定則：伸開左手，使拇指與其余四個手指垂直，并且都與手掌在同一個平面內；讓磁感線從掌心進入，并使四指指向正電荷運動的方向，這時拇指所指的方向就是運動的正電荷在磁場中所受洛倫茲力的方向。3．洛倫茲力的大小F＝qvBsinθ，θ為v與B的夾角，如圖8－2－1所示。圖8－2－1(1)v∥B時，θ＝0°或180°，洛倫茲力F＝0。(2)v⊥B時，θ＝90°，洛倫茲力F＝qvB。(3)v＝0時，洛倫茲力F＝0。[試一試]1．如圖8－2－2所示，電子槍射出的電子束進入示波管，在示波管正下方有豎直放置的通電環形導線，則示波管中的電子束將()圖8－2－2A．向上偏轉 B．向下偏轉C．向紙外偏轉 D．向紙里偏轉解析：選A環形導線在示波管處產生的磁場方向垂直于紙面向外，由左手定則可判斷，電子受到的洛倫茲力向上，故A正確。一電子在勻強磁場中，以一正電荷為圓心在一圓軌道上運行。磁場方向垂直于它的運動平面，電場力恰好是磁場作用在電子上的磁場力的3倍，電子電荷量為e，質量為m，磁感應強度為B，那么電子運動的角速度可能為多少？[提示]向心力可能是F電＋FB或F電－FB，即4eBv＝meq\f(v2,R)或2eBv1＝meq\f(v12,R)。故電子運動的角速度可能為4eq\f(eB,m)或2eq\f(eB,m)。1．洛倫茲力的特點洛倫茲力不改變帶電粒子速度的大小，或者說，洛倫茲力對帶電粒子不做功。2．粒子的運動性質(1)若v0∥B，則粒子不受洛倫茲力，在磁場中做勻速直線運動。(2)若v0⊥B，則帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動。3．半徑和周期公式(1)洛倫茲力方向總與速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。根據牛頓第二定律，表達式為qvB＝meq\f(v2,r)。(2)半徑公式r＝eq\f(mv,qB)，周期公式T＝eq\f(2πm,qB)。[試一試]2．如圖8－2－3所示，在y＜0的區域內存在勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面并指向紙面外，磁感應強度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xOy平面內，與x軸正向的夾角為θ，不計重力。若粒子射出磁場的位置與O點的距離為l。請在圖中畫出粒子的軌跡草圖，并求出該粒子的比荷eq\f(q,m)＝________。圖8－2－3解析：帶正電的粒子射入磁場后，由于受到洛倫茲力的作用，粒子將沿如圖所示虛線所示的軌跡運動，從A點射出磁場，O、A間的距離為l，射出磁場時速度的大小仍為v0，射出的方向與x軸的夾角仍為θ。由洛倫茲力公式和牛頓運動定律可得qv0B＝eq\f(mv02,r)解得r＝eq\f(mv0,qB)①圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關系可得eq\f(l,2)＝rsinθ②聯立①②兩式，解得eq\f(q,m)＝eq\f(2v0sinθ,Bl)。答案：軌跡圖見解析圖所示eq\f(2v0sinθ,Bl)質譜儀和回旋加速器[記一記]1．質譜儀(1)構造：如圖8－2－4所示，由粒子源、加速電場、勻強磁場和照相底片等構成。圖8－2－4(2)原理：粒子由靜止被加速電場加速，根據動能定理可得關系式qU＝eq\f(1,2)mv2。粒子在磁場中受洛倫茲力作用而偏轉，做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律得關系式qvB＝meq\f(v2,r)。由兩式可得出需要研究的物理量，如粒子軌道半徑、粒子質量、比荷。r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，m＝eq\f(qr2B2,2U)，eq\f(q,m)＝eq\f(2U,B2r2)。2．回旋加速器(1)構造：如圖8－2－5所示，D1、D2是半圓金屬盒，D形盒的縫隙處接交流電源。D形盒處于勻強磁場中。圖8－2－5(2)原理：交流電的周期和粒子做圓周運動的周期相等，粒子在做圓周運動的過程中一次一次地經過D形盒縫隙，兩盒間的電勢差一次一次地反向，粒子就會被一次一次地加速，由qvB＝eq\f(mv2,R)，得Ekm＝eq\f(q2B2R2,2m)，可見粒子獲得的最大動能由磁感應強度B和D形盒半徑R決定，與加速電壓無關。[試一試]3．如圖8－2－6是質譜儀的工作原理示意圖。帶電粒子被加速電場加速后，進入速度選擇器。速度選擇器內相互正交的勻強磁場和勻強電場的強度分別為B和E。平板S上有可讓粒子通過的狹縫P和記錄粒子位置的膠片A1A2。平板S下方有強度為B0的勻強磁場。下列表述正確的是()圖8－2－6A．質譜儀是分析同位素的重要工具B．速度選擇器中的磁場方向垂直于紙面向外C．能通過狹縫P的帶電粒子的速率等于E/BD．粒子打在膠片上的位置越靠近狹縫P，粒子的比荷越小解析：選ABC因同位素原子的化學性質完全相同，無法用化學方法進行分析，故質譜儀就成為同位素分析的重要工具，A正確。在速度選擇器中，帶電粒子所受電場力和洛倫茲力在粒子沿直線運動時應等大反向，結合左手定則可知B正確。再由qE＝qvB有v＝E/B，C正確。在勻強磁場B0中R＝eq\f(mv,qB0)，所以eq\f(q,m)＝eq\f(v,B0R)，D錯誤。對洛倫茲力的理解1.洛倫茲力和安培力的關系洛倫茲力是單個運動電荷在磁場中受到的力，而安培力是導體中所有定向移動的自由電荷受到的洛倫茲力的宏觀表現。2．洛倫茲力的特點(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運動電荷速度方向和磁場方向確定的平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做功。(2)當電荷運動方向發生變化時，洛倫茲力的方向也隨之變化。(3)用左手定則判斷負電荷在磁場中運動所受的洛倫茲力時，要注意將四指指向電荷運動的反方向。3．洛倫茲力與電場力的比較對應力內容比較項目洛倫茲力F電場力F性質磁場對在其中運動電荷的作用力電場對放入其中電荷的作用力產生條件v≠0且v不與B平行電場中的電荷一定受到電場力作用大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向與場方向的關系一定是F⊥B，F⊥v正電荷與電場方向相同，負電荷與電場方向相反做功情況任何情況下都不做功可能做正功、負功，也可能不做功力F為零時場的情況F為零，B不一定為零F為零，E一定為零作用效果只改變電荷運動的速度方向，不改變速度大小既可以改變電荷運動的速度大小，也可以改變電荷運動的方向洛倫茲力對運動電荷永不做功，而安培力對通電導線可做正功，可做負功，也可不做功。[例1](2013·長沙模擬)在垂直紙面水平向里，磁感應強度為B的勻強磁場中，有一固定在水平地面上的光滑半圓槽，一個帶電荷量為＋q，質量為m的小球在如圖8－2－7所示位置從靜止滾下，小球滾到槽底時對槽底的壓力大小等于mg，求圓槽軌道的半徑R。圖8－2－7[審題指導]小球滾到槽底過程中只有重力做功，槽的支持力、洛倫茲力不做功，根據牛頓第二定律以及圓周運動規律即可求解。[嘗試解題]設小球滾到槽底時的速度為v，由于小球受到圓槽軌道的支持力和洛倫茲力都不做功，根據機械能守恒定律可得：mgR＝eq\f(1,2)mv2小球滾到槽底時受到的洛倫茲力的大小為F＝qvB根據題意和牛頓第二定律可得：F＋mg－mg＝meq\f(v2,R)聯立解得：R＝eq\f(2m2g,q2B2)[答案]eq\f(2m2g,q2B2)帶電粒子在有界磁場中的運動分析1.圓心的確定(1)已知入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖8－2－8甲所示，圖中P為入射點，M為出射點)。圖8－2－8(2)已知入射方向和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖8－2－8乙所示，P為入射點，M為出射點)。(3)帶電粒子在不同邊界磁場中的運動：①直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖8－2－9所示)。圖8－2－9②平行邊界(存在臨界條件，如圖8－2－10所示)。圖8－2－10③圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖8－2－11所示)。圖8－2－112．半徑的確定和計算利用平面幾何關系，求出該圓的可能半徑(或圓心角)，求解時注意以下幾個重要的幾何特點：圖8－2－12(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖8－2－12)，即φ＝α＝2θ＝ωt。(2)相對的弦切角(θ)相等，與相鄰的弦切角(θ′)互補，即θ＋θ′＝180°。(3)直角三角形的幾何知識(勾股定理)。AB中點C，連接OC，則△ACO、△BCO都是直角三角形。3．運動時間的確定粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α時，其運動時間可由下式表示：t＝eq\f(α,360°)T(或t＝eq\f(α,2π)T)，t＝eq\f(l,v)(l—弧長)。[例2]如圖8－2－13所示，虛線圓所圍區域內有方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。一束電子沿圓形區域的直徑方向以速度v射入磁場，電子束經過磁場區后，其運動方向與原入射方向成θ角。設電子質量為m，電荷量為e，不計電子之間相互作用力及所受的重力，求：圖8－2－13(1)電子在磁場中運動軌跡的半徑R；(2)電子在磁場中運動的時間t；(3)圓形磁場區域的半徑r。第一步：抓關鍵點關鍵點獲取信息(1)一束電子沿圓形區域的直徑方向射入沿半徑方向入射，一定會沿半徑方向射出(2)運動方向與原入射方向成θ角θ為偏向角等于軌道圓弧所對圓心角第二步：找突破口(1)要求軌跡半徑→應根據洛倫茲力提供向心力。(2)要求運動時間→可根據t＝eq\f(θ,2π)T，先求周期T。(3)要求圓形磁場區域的半徑→可根據幾何關系求解。[嘗試解題](1)由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得evB＝eq\f(mv2,R)解得R＝eq\f(mv,eB)。(2)設電子做勻速圓周運動的周期為T，則T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,eB)由如圖所示的幾何關系得圓心角α＝θ，所以t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(mθ,eB)。(3)由如圖所示幾何關系可知，taneq\f(θ,2)＝eq\f(r,R)，所以r＝eq\f(mv,eB)taneq\f(θ,2)。[答案](1)eq\f(mv,eB)(2)eq\f(mθ,eB)(3)eq\f(mv,eB)taneq\f(θ,2)帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的程序解題法——三步法(一)畫軌跡：即畫出軌跡，并確定圓心，幾何方法求半徑。(二)找聯系：軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯系，偏轉角度與圓心角、運動時間相聯系，在磁場中運動的時間與周期相聯系。(三)用規律：即牛頓第二定律和圓周運動的規律，特別是周期公式、半徑公式。帶電粒子在磁場中運動的多解問題1.帶電粒子電性不確定形成多解受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負電，在相同的初速度的條件下，正、負粒子在磁場中運動軌跡不同，形成多解。如圖8－2－14甲，帶電粒子以速率v垂直進入勻強磁場，如帶正電，其軌跡為a，如帶負電，其軌跡為b。圖8－2－142．磁場方向不確定形成多解有些題目只告訴了磁感應強度的大小，而未具體指出磁感應強度的方向，此時必須要考慮磁感應強度方向不確定而形成的多解。如圖8－2－14乙，帶正電粒子以速率v垂直進入勻強磁場，如B垂直紙面向里，其軌跡為a，如B垂直紙面向外，其軌跡為b。3．臨界狀態不唯一形成多解帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去了，也可能轉過180°從入射界面這邊反向飛出，如圖8－2－15甲所示，于是形成了多解。圖8－2－154．運動的周期性形成多解帶電粒子在部分是電場，部分是磁場的空間運動時，運動往往具有往復性，從而形成多解。如圖8－2－15乙所示。[例3](2013·蘇州模擬)如圖8－2－16甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個小孔O、O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時間的變化如圖乙所示，設垂直紙面向里的磁場方向為正方向。有一群正離子在t＝0時垂直于M板從小孔O射入磁場。已知正離子質量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產生的電場的影響，不計離子所受重力。求：圖8－2－16(1)磁感應強度B0的大小；(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v0的可能值。[嘗試解題](1)正離子射入磁場，洛倫茲力提供向心力qv0B0＝eq\f(mv02,r)做勻速圓周運動的周期T0＝eq\f(2πr,v0)聯立兩式得磁感應強度B0＝eq\f(2πm,qT0)。(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，v0的方向應如圖所示，兩板之間正離子只運動一個周期即T0時，有r＝eq\f(d,4)當兩板之間正離子運動n個周期，即nT0時，有r＝eq\f(d,4n)(n＝1,2,3，…)聯立求解，得正離子的速度的可能值為v0＝eq\f(B0qr,m)＝eq\f(πd,2nT0)(n＝1,2,3，…)。[答案](1)B0＝eq\f(2πm,qT0)(2)v0＝eq\f(πd,2nT0)(n＝1,2,3…)求解帶電粒子在磁場中運動多解問題的技巧(1)分析題目特點，確定題目多解性形成原因。(2)作出粒子運動軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。(3)若為周期性重復的多解問題，尋找通項式，若是出現幾種解的可能性，注意每種解出現的條件。帶電粒子在磁場中運動的實際應用[例4]回旋加速器是用于加速帶電粒子流，使之獲得很大動能的儀器，其核心部分是兩個D形金屬扁盒，兩盒分別和一高頻交流電源兩極相接，以便在盒間狹縫中形成勻強電場，使粒子每次穿過狹縫都得到加速；兩盒放在勻強磁場中，磁場方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圓心附近，若粒子源射出的粒子電荷量為q、質量為m，粒子最大回旋半徑為Rm，磁場的磁感應強度為B，其運動軌跡如圖8－2－17所示，問：圖8－2－17(1)粒子在盒內磁場中做何種運動？(2)粒子在兩盒間狹縫內做何種運動？(3)所加交變電壓頻率為多大？粒子運動角速度為多大？(4)粒子離開加速器時速度為多大？[嘗試解題](1)D形盒由金屬導體制成，可屏蔽外電場，因而盒內無電場。盒內存在垂直盒面的磁場，故粒子在盒內磁場中做勻速圓周運動。(2)兩盒間狹縫內存在勻強電場，且粒子速度方向與電場方向在同一條直線上，故粒子做勻加速直線運動。(3)粒子在電場中運動時間極短，高頻交變電壓頻率要符合粒子回旋頻率回旋頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(qB,2πm)角速度ω＝2πf＝eq\f(qB,m)。(4)因粒子最大回旋半徑為Rm，故Rm＝eq\f(mvm,qB)，即vm＝eq\f(qBRm,m)洛倫茲力應用問題的分析方法(1)洛倫茲力的應用包括回旋加速器、質譜儀、速度選擇器等。(2)回旋加速器中經常遇到的問題是粒子獲得的最大動能、加速的次數、運動時間等，分析的方法是電場對粒子加速，每次做功相同，粒子在磁場中做勻速圓周運動，周期相同，其半徑最大時動能最大。(3)質譜儀中粒子在磁場中運動的軌跡不同，其原因是粒子的質量不同。1．放縮法粒子源發射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖8－2－18所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v0越大，運動半徑也越大。可以發現這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直速度方向的直線PP′上。由此我們可得到一種確定臨界條件的方法：在確定這類粒子運動的臨界條件時，可以以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，使問題迎刃而解，這種方法稱為“放縮法”。圖8－2－182．平移法粒子源發射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運動半徑為R＝mv0/qB，如圖8－2－19所示。同時可發現這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝mv0/qB的圓(這個圓在下面的敘述中稱為“軌跡圓心圓”)上。圖8－2－19由此我們也可以得到一種確定臨界條件的方法：確定這類粒子在有界磁場中運動的臨界條件時，可以將一半徑為R＝mv0/qB的圓沿著“軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“平移法”。[典例]如圖8－2－20所示，在屏MN的上方有磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里。P為屏上的一個小孔。PC與MN垂直。一群質量為m、帶電荷量為－q的粒子(不計重力)，以相同的速率v，從P處沿垂直于磁場的方向射入磁場區域。粒子入射方向在與磁場B垂直的平面內，且散開在與PC夾角為θ的范圍內。則在屏MN上被粒子打中的區域的長度為()圖8－2－20A.eq\f(2mv,qB) B.eq\f(2mvcosθ,qB)C.eq\f(2mv1－sinθ,qB) D.