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第3章一維隨機變量
隨機變量的概念一維隨機變量及其分布一維離散型隨機變量二項分布泊松分布幾何分布一維連續型隨機變量均勻分布指數分布正態分布一維隨機變量函數的分布第3章一維隨機變量3.1隨機變量的概念
樣本空間Ω太任意,難以把握,需要將其數量化,從而便于處理。要求問題涉及的隨機事件與變量相關(某變量是一個事件),這樣可以將概率和函數建立聯系(可以用概率去度量變量)。正如隨機事件是“其發生與否隨機會而定”的事件;
隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量。其機會表現為試驗結果,一個隨機試驗有許多可能的結果,到底出現哪一個要看機會,即有一定的概率。3.1隨機變量的概念
如擲骰子,擲出的點數X是一個隨機變量,它可以取1,…,6這6個值中的1個,到底是哪一個,要等擲了骰子后才知道。因此,隨機變量是試驗結果的函數。
由此可知,隨機變量與通常的函數概念沒有什么不同,把握這個概念的關鍵在于試驗前后之分:在試驗前,無法預知隨機變量將取何值,這要憑機會,“隨機”的意思就在這里;一旦試驗完成后,隨機變量的取值就確定了。如擲骰子,擲出的點數X是一個隨機變量,它可以取1,…例1在某廠大批產品中隨機地抽出100個,其中所含廢品數X是隨機變量。全部可能結果為wi=“100個產品中有i個廢品”
(i=0,1,…,100)故樣本空間Ω={w0,w1,w2,…,w100}
隨機變量是可能結果的函數:X=X(w)wX=X(w0)=0,X=X(w1)=1,X=X(w2)=2,…,X=X(w100)=100所以,X=0,1,2,…,100
例1在某廠大批產品中隨機地抽出100個,其中所含廢品數X是事件“廢品數少于50”={w:X(w)<50}={w0,w1,…,w49}={X<50}事件{30≤X<50}={w30,w31,…,w49}例2用天平秤量某物體重量的誤差X是隨機變量。可能結果w=“某物體重量的誤差為x”x(0,)X=X(w)=xw
所以,隨機變量X(0,)
隨機事件這個概念包含在隨機變量這個更廣的概念之內。隨機事件從靜態的觀點研究隨機現象;隨機變量則是從動態的觀點去研究。概率論的基礎概念是隨機變量。事件“廢品數少于50”={w:X(w)<50}隨機變量定義定義如果對任意實數x有{w:X(w)<x}F,則稱定義在樣本空間上的單值實函數X=X(w)是隨機變量。其中w,F是事件域,{w:X(w)<x}是一個基本事件的集合,描述一個隨機事件。通常用希臘字母X,Y來表示隨機變量,用英文字母x、y表示其取值。
隨機變量定義說明:
設X=X(w),w,X是定義在樣本空間上的單值實函數,對于任一實數x,基本事件w的集合{w:X(w)<x}都是一隨機事件,則稱X=X(w)為隨機變量。隨機變量X=X(w)是基本事件w的函數,w是自變量,在不必強調w時,簡記X(w)為X,而w的集合{w:X(w)<x}所表示的事件簡記為{X<x}。定義中要求對任一實數x,{X<x}都是事件,表明{X<x}是所討論問題的樣本空間上一個適當確定的事件域F中的事件。說明:定義隨機變量后,隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實數x,x1,x2可以證明,形如{w:X(w)=x},{w:X(w)≤x},{w:X(w)>x},{w:X(w)≥x},{w:x1<X(w)<x2},{w:x1≤X(w)≤x2},等等,都是隨機變量。在不必強調w時,簡記{w:x1≤X(w)≤x2}為{x1≤X≤x2}。定義隨機變量后,隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實3.2一維隨機變量及其分布函數
我們不僅關心X取哪些值,更關心X以多大的概率取那些值,即關心X取值的概率規律(通稱為X的分布)。
根據隨機變量X的定義,對于每一個實數x,都有一個確定的隨機事件{w:X(w)<x}與x對應,因此,概率P{w:X(w)<x}是x的函數,該函數在理論和應用中都很重要,為此引進隨機變量的分布函數定義。定義設X是一個隨機變量,x是任意實數,函數
F(x)=P{w:X(w)<x}稱為隨機變量X的分布函數。X的分布函數也常簡記為
F(x)=P{X<x}3.2一維隨機變量及其分布函數
任一隨機變量X的分布函數F(x),x(-,),具有下列性質:(1)單調不減性。若x1<x2,則F(x1)≤F(x2)
。
證若x1<x2,則有{X<x1}{X<x2}
根據概率的性質,得P{X<x1}≤P{X<x2}即F(x1)F(x2)(2)
(3)左連續性。對任意實數x0,有反之,如某實函數具有上述3個性質,則它可作為某隨機變量的分布函數。任一隨機變量X的分布函數F(x),x(-,)由分布函數,可以計算如下概率:由分布函數,可以計算如下概率:3.3一維離散型隨機變量
隨機變量全部的可能值只有有限個或至多可列,則稱其為離散型隨機變量。對于離散型隨機變量,除了關心它全部的可能值之外,還要知道它以怎樣的概率取這些值。對于一個以為其全部不同可能值的離散型隨機變量X,若
則稱式(3-1)或稱{p1,p2,…}為X的概率分布(律),簡稱分布律。3.3一維離散型隨機變量離散型隨機變量X的概率分布寫作稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱分布列。離散型隨機變量的概率分布{p1,p2,…,Pn,…}必須滿足兩個條件:
(非負性條件)
(歸一化|規范性條件)離散型隨機變量X的概率分布寫作
說明:
這里的求和是對一切xi<x進行的(如果這樣的xi不存在,便規定F(x)=0),此時,F(x)等于X取小于x的所有xi的概率之和或累積,因此分布函數也叫累積概率。
離散型隨機變量的分布函數F(x)的圖象為階梯狀,點x1,x2,…,xn都是F(x)的第一類(跳躍)間斷點。說明:隨機試驗1:接連進行兩次射擊,0表示未擊中目標,1表示擊中目標。樣本空間:現在我們設定隨機變量X表示擊中目標的次數,則隨機試驗2:觀察某程控電話交換機單位時間內接到的呼喚次數。樣本空間Ω={0,1,2,…},以X表示接到的呼喚次數,那么,X=X(ω)=ω,ω∈Ω是離散型隨機變量。隨機試驗1:接連進行兩次射擊,0表示未擊中目標,1表示擊中目例3
設射手進行計分打靶練習,有如下規定:射入區域e1得2分,射入區域e2得1分,否則就得0分)。一射手進行一次射擊的得分是隨機變量,其可能取得的值為0,1,2。不同的射手在射擊之前,他們進行一次射擊的得分值都是不可預知的,他們進行一次射擊的得分的概率不同。射手甲在一次射擊中得分X的概率分布為:射手乙在一次射擊中得分Y的概率分布為:例3設射手進行計分打靶練習,有如下規定:射入區域e1得2考慮射手甲的概率分布(列):計算X的分布函數F(x)=P(X<x):當x≤0時,F(x)=P(X<x)=P()=0當0<x≤1時,F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0當1<x≤2時,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0.2當2<x時,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0+0.2+0.8=1考慮射手甲的概率分布(列):考慮射手乙的概率分布(列):計算Y的分布函數F(y)=P(Y<y):當y≤0時,F(y)=P(Y<y)=P()=0當0<y≤1時,F(y)=P(Y<y)=P(Y=0)=0.6當1<y≤2時,F(y)=P(Y<y)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.9當2<y時,F(y)=P(Y<y)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=0.6+0.3+0.1=1考慮射手乙的概率分布(列):雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的,但兩人取各可能值的概率完全不同,可以認為這是兩個不同的隨機變量。
總值為1的概率,以不同的方式分布到各種可能的取值上,確定了不同的隨機變量。雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的,但兩人
0-1分布(兩點分布):若隨機變量X只能取兩個值,其分布列為:退化分布(單點分布):若隨機變量X只取常數值C,即實際上這時X并不是隨機變量,為了方便和統一起見,將其看作隨機變量。
離散型均勻分布:隨機變量X的分布列為0-1分布(兩點分布):若隨機變量X只能取兩個值,其分布列例4
已知離散型隨機變量X的概率分布為試求出常數a。解由于例4已知離散型隨機變量X的概率分布為3.3.1二項分布
在1次試驗中事件A出現的概率是p,則n重伯努利試驗中,事件A出現的次數X是二項分布隨機變量,其可能取得的值是0,1,2,…,k,…,n
有分布律
這個值也被記作b(k;n,p),它正是二項式(px+q)n的展開式中xk的系數,因而X得名“二項分布”。3.3.1二項分布
在1次試驗中事件A出現的概二項分布列是:
對不同的兩項分布隨機變量,其參數n,p的取值可以不一樣。常用X~B(n,p)表示X是參數n和p的二項分布隨機變量。二項分布列是:特別地,n=1時,二項分布為二值分布(兩點分布),X~B(1,p)其分布列為若X~B(n,p),由二項概率公式得定理1。特別地,n=1時,二項分布為二值分布(兩點分定理1
在n重伯努利試驗中,事件A發生的次數在k1和k2之間的概率是
在n重伯努利試驗中,事件A至少發生r次的概率是
特別是在n重伯努利試驗中,事件A至少發生1次的概率是
定理1例5醫生對5個人作某疫苗接種試驗,設已知對試驗反映呈陽性的概率為p=0.45,且各人的反映相應獨立。若以X表示反映為陽性的人數。(1)寫出X的分布律。(2)求恰有3人反映為陽性的概率;(3)求至少有2人反映為陽性的概率。解將觀察1人對該接種疫苗試驗的反映呈“陽性”(發生A)或“陰性”(發生)看作是1次伯努利試驗,對5個人試驗看作是5重伯努利試驗,則X~B(5,0.45)(1)X的分布律:例5醫生對5個人作某疫苗接種試驗,設已知對試驗反映呈陽性(2)求恰有3人反映為陽性的概率:
(3)求至少有2人反映為陽性的概率:
(2)求恰有3人反映為陽性的概率:例6
已知發射一枚地對空導彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.96,問在同樣條件下需發射多少枚導彈才能保證至少有一枚導彈擊中敵機的概率大于0.999?解設需要發射n枚導彈,則擊中敵機的導彈數是隨機變量X~B(n,0.96),則
取n=3,即需要發射3枚導彈。例6已知發射一枚地對空導彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.9例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設考試有5道選擇題,每題給出n個結果供選擇,其中只有一個結果是對的。試問他居然能答對3題以上而及格的概率。解
每做1題是1次p=1/n的伯努利試驗,這里A是“答題正確”,則考試是p=1/n的5重伯努利試驗,在5題中恰好答對題數X~B(5,1/n),此人及格的概率為:
當n=3時,此值=0.29當n=4時,此值=0.10例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設考定理2
設X~B(n,p),則當k=ent((n+1)p)時,b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數,則b(k;n,p)=b(k-1;n,p)同為最大值。定理2設X~B(n,p),則當k=ent((n+1)p)證明:當k<(n+1)p時,r>1,則b(k;n,p)>b(k-1;n,p),概率隨k的增大而增大;當(n+1)p是整數且等于k時,r=1,則b(k;n,p)=b(k-1;n,p);當k>(n+1)p時,r<1,則b(k;n,p)<b(k-1;n,p),概率隨k的增大而減?。蛔C明:綜上所述,可得如下結論:(1)當(n+1)p恰為正整數,記為k0,則b(k0;n,p)=b(k0-1;n,p)同為二項分布概率的最大值;(2)當(n+1)p不是整數時,記k0=ent((n+1)p),ent((n+1)p)表示取(n+1)p之整數部分;則b(k0;n,p)為二項分布概率的最大值。綜上所述,可得如下結論:例8(漁佬問題)漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。解
設魚的總數為N,漁佬先從塘中網起100條魚做上記號后放回塘里,過一段時間(使其均勻)再從中網起100條,發現其中有記號者為2條,由此可估計魚的總數N,若每條魚2斤,每斤5元,則可估其收入。在第二次打魚時,由于塘中有記號的魚有100條,在漁佬所網起的魚中可能有記號,也可能沒有記號。設有記號的條數為X,則X服從二項分布。例8(漁佬問題)漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。
由定理2,當X=k0=ent((n+1)p)時,其概率最大。此時認為
是合理的。這里n=100,p=100/N,k0=2,解得N=5050(條),由此,魚佬的收入可估計為
5050×2×5≈5(萬元)
值得注意的是:X=2時取得最大概率只有:
由定理2,當X=k0=ent((n+1)p)時,其概率最大3.3.2泊松(Poisson)分布
若隨機變量X以全體自然數為其一切可能值,X=0,1,2,…,其分布律為
其中參數>0為強度。則稱X服從參數的泊松分布,記為X~P()。3.3.2泊松(Poisson)分布因為>0,故有P(X=k)>0。(k=0,1,2,…)
即泊松分布的分布律,具備概率函數的兩個性質。因為>0,故有P(X=k)>0。(k=0,1,2,
在實際問題中,有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如:
在任給一段固定的時間間隔內,來到公共設施(公共汽車站、商店、電話交換臺等)要求給予服務的顧客個數;炸彈爆炸后落在平面上某區域的碎彈片個數;顯微鏡下看到的某種細菌的生長個數。在實際問題中,有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如
n=10,p=0.4,=np=4n=40,p=0.1=np=4隨著n增大,若np不變,則二項分布與泊松分布逐漸接近。泊松分布與二項分布的關系n=10,p=0.4,=np=4定理(泊松定理)
設隨機變量X服從二項分布B(n,p)(p(0,1),并與n有關),且滿足,則
證明定理(泊松定理)第3章-一維隨機變量課件用泊松分布代替兩項分布的條件
在實際應用中,當n很大(n≥10),p很小時(p≤0.1),有下面的泊松近似公式其中λ=np。用泊松分布代替兩項分布的條件例9
設每次擊中目標的概率為0.001,且各次射擊是否中目標可看作相互無影響,若射擊5000次,試求:(1)擊中12彈的概率;(2)至少擊中12彈的概率。解設X為擊中目標的彈數,則X~B(5000,0.001),下面用近似公式計算。其中λ=np=5000×0.001=5(1)擊中12彈的概率為:(2)至少擊中12彈的概率為:例9設每次擊中目標的概率為0.001,且各次射擊是否中目例10由商店的銷售記錄知,某商品的月售出量X服從=10的泊松分布。為能以95%以上的概率保證不脫銷,問在無庫存的情況下月底應進貨多少?解商店備貨過多將明顯地提高成本,而長期貨源不足則會影響商譽。因此需用概率方法確定合適的備貨量,依照問題的要求,若月底進貨量為Q,則應使
P(X≤Q)≥0.95
例10由商店的銷售記錄知,某商品的月售出量X服從=10的
P(X≤14)<0.95P(X≤15)>0.95應取Q=15故月底進貨該商品15件,可有95%以上的把握使該商品在下個月的經營中不會脫銷。
例11(合作問題)設有同類設備80臺,各臺工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01,并且一臺設備的故障可由一個人來處理,試求:(1)由1個人負責維修指定的20臺設備,設備發生故障而不能及時維修的概率;(2)由3個人共同負責維修80臺設備時,設備發生故障而不能及時維修的概率。解(1)由一個人負責維修20臺設備時,設X表示同一時刻發生故障的設備臺數,則X~B(20,0.01)。因為一個人在同一時刻只能處理1臺發生故障的設備,所以設備發生故障而不能及時處理,即是在同一時刻至少有2臺設備發生故障,于是所求概率為例11(合作問題)設有同類設備80臺,各臺工作是相互獨立的
也可用泊松公式近似:=np=200.01=0.2
(2)
由3個人共同負責維修80臺設備時,設80臺設備中發生故障的臺數為X,則X~B(80,0.01)。當同一時刻至少有4臺設備發生故障時,故障不能及時維修。由泊松近似公式=np=800.01=0.8,所求概率為
可見,由三個人共同負責維修80臺,即每人平均約維修27臺,比一個人單獨維修20臺更好,既節約了人力又提高了工作效率。(2)由3個人共同負責維修80臺設備時,設80臺設備中發生3.3.3幾何分布
如果隨機變量的分布律為則稱隨機變量服從參數為p的幾何分布,記為X~G(p)。幾何分布主要描述這樣的情形:獨立地連續做試驗,直到事件A首次出現為止。此時首次出現A時的試驗次數為隨機變量X,P(A)=p,則X服從參數為p的幾何分布。如:某射手的命中率為p,此射手向一目標獨立地連續進行射擊,直到命中目標為止。若用X表示首次命中目標時的射擊次數,則X服從參數為p的幾何分布。3.3.3幾何分布這是p=0.3的幾何分布:第3章-一維隨機變量課件例12
在石頭、剪子、布的游戲中,問:(1)甲方提出“若一次能決出勝負,則甲方贏;否則乙方贏”,乙方能同意嗎?(2)比賽三次能決出勝負嗎?解(1)P(甲方贏)=P(第一次就能決出勝負)=P(甲勝或乙勝)=P(甲勝)+P(乙勝)=1/3+1/3=2/3
P(乙方贏)=1-P(甲方贏)=1/3故乙方不能同意。例12在石頭、剪子、布的游戲中,問:比賽三次能決出勝負嗎?設X為決出勝負所需的比賽次數,則X的取值為{1,2,3,…},此為獨立連續試驗。P(在1次比賽中能決出勝負)=2/3,于是X服從p=2/3的幾何分布。即
P(三次還不能決出勝負)=P(X>3)=1-P(X≤3)比賽三次能決出勝負嗎?例13
一個人要開門,他共有n把鑰匙,其中僅有一把是能開此門的,現隨機地從中取出一把鑰匙來試開門,在試開時每一把鑰匙均以1/n的概率被取用,問此人直到第S次試開時方才成功的概率是多少?解A={試開門成功}例13一個人要開門,他共有n把鑰匙,其中僅有一把是能開此幾何分布具有如下特征:如X的分布律為g(k;p),則對任意正整數s、t,有P(X>s+t︱X>s)=P(X>t)稱幾何分布具有“無記憶”性。證明幾何分布具有如下特征:超幾何分布例14
在一箱N件裝的產品中混進了M件次品,今從中抽取n件(n≤M),求從中查出次品的件數X的概率分布。解超幾何分布負二項分布在“成功”概率是p的貝努利試驗中,出現第r次成功時所作的試驗次數X所服從的分布稱為負二項分布。由于f(k;r,p)是負指數二項式展開式中的項,故X所服從的分布稱為負二項分布。由此也可以證明負二項分布證明證明例15
兩個同類型的系統,開始時各有N個備件,一旦出現故障,就要更換一個備件。假定兩個系統的運行條件相同,不同時發生故障。試求當一個系統需用備件而發現備件已用光時,另一系統尚有r個備件的概率Pr。(r=0,1,…,N)解
只考慮出故障的時刻故障的出現看作是貝努利試驗,有例15兩個同類型的系統,開始時各有N個備件,一旦出現故障
要第一個系統缺備件而第二個系統剩r件,應該是A出現N+1次故障(前N次用去所有N個備件,最后一次故障發生時缺乏調換的備件),而A出現N-r次,這事件的概率為:
對于第二個系統先缺備件的情況可同樣考慮,因此所求概率Pr為:要第一個系統缺備件而第二個系統剩r件,應該是A3.4一維連續型隨機變量
當一個隨機變量X的分布函數FX(x)可寫成“變上限積分”的形式:
稱X為連續型隨機變量,稱為fX(x)為X的概率密度函數,簡稱密度函數。
可以證明,連續型隨機變量的分布函數是連續函數。
3.4一維連續型隨機變量密度函數與分布函數的性質:
(3)而分布函數F(x)的導函數(在連續點上)就是其密度函
數,即
對任意類型的隨機變量均成立密度函數與分布函數的性質:對任意類型的證明
(1)由定義知,顯然f(x)≥0。
(2)分布函數性質知,由廣義積分概念與分布函數的定義知,證明(1)由定義知,顯然f(x)≥0。(5)密度函數f(x)并不直接表示概率值的大小。但在區間很小時,f(x)的數值還是能反映出隨機變量在x附近取值的概率大小的。
上式表明,在小區間[x-x,x]內的概率值大約為密度值與區間長度x的乘積。(5)密度函數f(x)并不直接表示概率值的大小。但在區間(6)可見,連續型隨機變量X取一個固定值的概率為0。并且有
對任意類型的隨機變量均成立(6)對任意類型的例16
設隨機變量X的分布函數為(1)求常數A、B;(2)判斷X是否是連續型隨機變量;(3)求P{-1≤X<1/2}解(1)由分布函數性質得例16設隨機變量X的分布函數為(2)因為所以F(x)不是連續函數,從而X不是連續型隨機變量。(2)因為例17
設已知連續型隨機變量X的密度函數是(1)確定a的值;(2)求X的分布函數F(x);(3)求概率P(X2>1)。解(1)根據密度的性質,有a>0以及并稱該隨機變量服從柯西(Cauchy)分布。例17設已知連續型隨機變量X的密度函數是(2)求X的分布函數F(x):(3)求概率P(X2>1):(2)求X的分布函數F(x):例18
向半徑為R的圓形靶射擊,假定不會發生脫靶的情況,彈著點落在以靶心O為中心,r為半徑(r≤R)的圓形區域的概率與該區域的面積成正比。設隨機變量X表示彈著點與靶心的距離,試求X的分布函數F(x)及其密度函數f(x)解因為不會發生脫靶,所以X的一切可能值是[0,R],
當x≤0時,F(x)=P(X<x)=P()=0,當0<x≤R時,F(x)=P(X<x)=kx2,由于F(R)=P(X<R)=1,kR2=1
例18向半徑為R的圓形靶射擊,假定不會發生脫靶的情況,彈
當x>R時,F(x)=P(X<x)=P(必然事件)=1
由于所以,密度函數為:當x>R時,F(x)=P(X<x)=P(必然事件)=13.4.1均勻分布最簡單的連續型隨機變量是密度函數在某有限區間取正的常數值,其余皆取零的隨機變量,稱為均勻分布。均勻分布密度函數f(x)為
3.4.1均勻分布其分布函數F(x)為其分布函數F(x)為第3章-一維隨機變量課件例19
隨機地向區間(-1,1)投擲點,X為其橫坐標,試求關于t的二次方程t2+3Xt+1=0有實根的概率。解
X在(-1,1)上服從均勻分布,其密度函數為方程t2+3Xt+1=0有實根的的充要條件是9X2-40則方程有實根的概率為例19隨機地向區間(-1,1)投擲點,X為其橫坐標,試求自測題某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,乘客到達汽車站的任一時刻的可能性是相同的,求(1)乘客候車時間不超過3分鐘的概率;(2)若甲、乙、丙分別獨立等候1、2、3路汽車時,三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。答案:(1)P=0.6;(2)設Y={三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘},
P{Y≥2}=0.352自測題某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,乘客到達3.4.2指數分布
若一個連續型隨機變量X具有概率密度函數:則稱X為帶參數a(a>0)的指數分布隨機變量,記作X~E(a)。
其分布函數為
3.4.2指數分布指數分布的密度函數與分布函數圖像指數分布的密度函數與分布函數圖像例26
設到某服務窗口辦事,需要排隊等候,若等待的時間X是指數分布隨機變量(單位:分鐘),則其概率密度為
某人到此窗口辦事,在等待15分鐘后仍未能得到接待時,他就憤然離去,若此人在一個月內共去該處10次,試求:(1)有2次憤然離去的概率;(2)最多有2次憤然離去的概率;(3)至少有2次憤然離去的概率。例26設到某服務窗口辦事,需要排隊等候,若等待的時間X是解
首先求出他在任一次排隊服務時,以憤然離去而告終的概率。
在10次排隊中憤然離去的次數Y~B(10,p)
有2次憤然離去的概率P(Y=2)=最多有2次憤然離去的概率
至少有2次憤然離去的概率P(Y2)
解首先求出他在任一次排隊服務時,以憤然離去而告終的概率。自測題設隨機變量X具有分布密度試確定λ,并求P(X≤0.1)。答案:λ=3
P(X≤0.1)=0.259自測題設隨機變量X具有分布密度3.5正態分布
在實際問題中,有許多隨機變量都服從或近似服從正態分布,例如,測量誤差;各種產品的質量指示(零件的尺寸、材料的強度、電子管的壽命…);生物學中,同一群體的某種特征(某種動物的身長、體重;某種植物的株高、單位面積產量,…)等等。
在理論上可以證明,若X是某一隨機試驗的隨機變量,如果決定試驗結果的是大量的偶然因素的總和,各個偶然因素之間近乎相互獨立,并且每個偶然因素的單獨作用相對于作用的總和來說均勻地小,那么X就近似服從正態分布。
正態分布又叫高斯(Gauss)分布,它是最重要的連續型分布,在概率論中占有極其重要的地位,在實際中有著十分廣泛的應用。
3.5正態分布稱概率密度為
的隨機變量X服從正態分布(或高斯分布),記作X~N(,2),其中,>0,與是常數。正態分布的分布函數是稱概率密度為
特別地稱N(0,1)為標準正態分布,其概率密度常記為其分布函數記為特別地稱N(0,1)為標準正態分布,其概率密度常記為若X~N(2),則結論當a=-∞或b=+∞時也成立。證明若X~N(2),則
一般正態分布的概率可由標準正態分布計算。若X~N(2),作標準變換:則新的隨機變量X*~N(01)一般正態分布的概率可由標準正態分布計算。正態分布的密度函數與分布函數有下列性質:(1)f(x)和F(x)處處大于零,且具有各階連續導數;(2)f(x)在區間(-∞,μ)內單調增加,在區間(μ,+∞)內單調減少,在x=處取得最大值當x→-∞或x→+∞時,f(x)→0,即x軸(y=0)是f(x)的漸近線。
f(x)的圖形關于直線x=對稱,即f(-x)=f(+x)。是X的數學期望(加權平均值)。
=0時,則有f(-x)=f(x),即這時f(x)關于y軸(x=0)對稱。正態分布的密度函數與分布函數有下列性質:固定時,越小,密度曲線越是尖狹;固定時,越大,密度曲線越是平寬。是X的標準差(描述了X的發散程度)。固定時,越小,密度曲線越是尖狹;(3)F(-x)=1-F(+
x)特別有F(-x)=1-F(x)(Ф(-x)=1-
Ф(x))(4)(3)F(-x)=1-F(+x)(5)如果X~N(0,1),則P{|X|<x}=2Φ(x)-1證明(6)如果X~N(0,1),則P{|X|>x}=2
[1-Φ(x)]證明(5)如果X~N(0,1),則P{|X|<x}=2Φ(x例20
設X~N(0,1),借助于標準正態分布的分布函數Φ(x)的表計算:
(1)P{X<-1.24}(2)P{|X|<1.54}例20設X~N(0,1),借助于標準正態分布的分布函數Φ例21設X~N(0,1),求使P{|X|>x}=0.1的x。例21設X~N(0,1),求使P{|X|>x}=0.1的例22設X~N(-14
),試求P(-5X1),P(-2X2),P(|X|<1),
P(|X|3/2)解=-1,2=4,=2
例22設X~N(-14),試求P(-5X1),由于-x=1-(x)
由于-x=1-(x)
第3章-一維隨機變量課件例23
設已知測量誤差X~N(0,102),現獨立重復進行100次測量,求誤差絕對值超過19.6的次數不少于3的概率。解
這個問題既涉及正態分布,又涉及二項分布。第一步:以A表示一次測量中“誤差絕對值超過19.6”的事件,則有
例23設已知測量誤差X~N(0,102),現獨立重復進行
第二步:以Y表示100次獨立重復測量中,事件A發生的次數,則Y~B(100,0.05)。誤差絕對值超過19.6的次數不少于3的概率為
P(Y≥3)=1-P(Y<3)第三步:由于n=100較大而p=0.05很小,故二項分布可用=np=5的泊松分布近似代替,查泊松分布表可得
P(Y≥3)=1-P(Y<3)
=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)第二步:以Y表示100次獨立重復測量中,事件A發生的次數,例24
公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01以下來設計的。設男子身高X服從=170cm,=6cm的正態分布,即X~N(170,62),試確定車門的高度。解
設車門的高度為hcm,根據設計要求應有
P(X>h)≤0.01則1-P(X≤h)≤0.01即P(X≤h)≥0.99由于X~N(170,62),
例24公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.例25從南郊某地乘車前往北區火車站搭火車有兩條路線可走,第一條穿過市區,路程較短,但交通擁擠,所需時間(單位為分鐘)服從正態分布N(50,100),第二條沿環城公路走,路線較長,但意外堵塞較少,所需時間(單位為分鐘)服從正態分布N(60,16)。(1)如有70分鐘可用,問應走哪一條路線?(2)如只有65分鐘可用,問應走哪一條路線?例25從南郊某地乘車前往北區火車站搭火車有兩條路線可走,解解第3章-一維隨機變量課件3.7一維隨機變量函數的分布
當隨機變量X的分布已知時,怎樣求出它的函數Y=g(X)的分布。為了使Y有分布,要求Y是隨機變量,因此對函數Y=g(x)也必須有一定的要求。為簡單起見,只討論g(x)是連續、分段連續或單調的情形,在這些情形下,如果X是隨機變量,則Y=g(X)也是隨機變量。在一些具體的分布中,可以了解解決這類問題的基本方法。3.7一維隨機變量函數的分布例27
設X的分布律為試求函數YX2,Z2X-1,W|X|+1的分布。解由X的分布律可列出下表:將表中取相同值的部分作適當并項,得YX2的分布律:X-2-1012P0.150.20.20.20.25X241014P0.150.20.20.20.25YX2014P0.20.40.4例27設X的分布律為X-2-1012P0.150.20.Z2X-1的分布律:W|X|+1:將表中取相同值的部分作適當并項,得W|X|+1的分布律為Z2X-1-5-3-113P0.150.20.20.20.25W|X|+132123P0.150.20.20.20.25W|X|+1123P0.20.40.4Z2X-1的分布律:Z2X-1-5-3-113P0.15一般情況下,已知離散型隨機變量X的分布律:則函數g(X)的分布(若某些g(xi)相等,合并同值項):Xx1x2……xn……Pp1p2……pn……g(X)g(x1)g(x2)……g(xn)……Pp1p2……pn……一般情況下,已知離散型隨機變量X的分布律:Xx1x2……xn
對連續型隨機變量X,求其函數g(X)的分布。例28
設隨機變量X具有連續的分布密度fXx,試求Y=aX+b的(其中a,b是常數,且a0)密度函數fY(y)。解
設Y的分布函數為FY(y)當a>0時,對連續型隨機變量X,求其函數g(X)的分布。當a<0時,當a<0時,例29設隨機變量X~N(,2),求的密度函數Y(y)。解由于X~N(,2)的密度函數是利用上例結果,得可見,當X~N(,2)時,則,表明服從任一正態分布的隨機變量必定可以標準化(服從一般正態分布的隨機變量經標準變換后服從標準正態分布)。例29設隨機變量X~N(,2),求書面作業:P53~P56
3-4
3-53-73-153-183-223-27書面作業:P53~P56例30(習題3-28)設X~N(a,2),求的密度函數。解
先求的分布函數FY(y)=P(Y<y)=P(eX<y)當y0時,FY(y)=P(eX<y)=P(不可能事件)=0當y>0時,FY(y)=P(eX<y)=P(X<lny)例30(習題3-28)設X~N(a,2),求則有密度函數:則有密度函數:證明證明作業評講1、解作業評講1、解第3章-一維隨機變量課件2、解2、解12、解12、解14、解14、解15、解15、解16、解16、解18、解19、解18、解19、解23、解23、解25、解25、解27、解27、解第3章-一維隨機變量課件28、解28、解29、解29、解30、解30、解第3章一維隨機變量
隨機變量的概念一維隨機變量及其分布一維離散型隨機變量二項分布泊松分布幾何分布一維連續型隨機變量均勻分布指數分布正態分布一維隨機變量函數的分布第3章一維隨機變量3.1隨機變量的概念
樣本空間Ω太任意,難以把握,需要將其數量化,從而便于處理。要求問題涉及的隨機事件與變量相關(某變量是一個事件),這樣可以將概率和函數建立聯系(可以用概率去度量變量)。正如隨機事件是“其發生與否隨機會而定”的事件;
隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量。其機會表現為試驗結果,一個隨機試驗有許多可能的結果,到底出現哪一個要看機會,即有一定的概率。3.1隨機變量的概念
如擲骰子,擲出的點數X是一個隨機變量,它可以取1,…,6這6個值中的1個,到底是哪一個,要等擲了骰子后才知道。因此,隨機變量是試驗結果的函數。
由此可知,隨機變量與通常的函數概念沒有什么不同,把握這個概念的關鍵在于試驗前后之分:在試驗前,無法預知隨機變量將取何值,這要憑機會,“隨機”的意思就在這里;一旦試驗完成后,隨機變量的取值就確定了。如擲骰子,擲出的點數X是一個隨機變量,它可以取1,…例1在某廠大批產品中隨機地抽出100個,其中所含廢品數X是隨機變量。全部可能結果為wi=“100個產品中有i個廢品”
(i=0,1,…,100)故樣本空間Ω={w0,w1,w2,…,w100}
隨機變量是可能結果的函數:X=X(w)wX=X(w0)=0,X=X(w1)=1,X=X(w2)=2,…,X=X(w100)=100所以,X=0,1,2,…,100
例1在某廠大批產品中隨機地抽出100個,其中所含廢品數X是事件“廢品數少于50”={w:X(w)<50}={w0,w1,…,w49}={X<50}事件{30≤X<50}={w30,w31,…,w49}例2用天平秤量某物體重量的誤差X是隨機變量。可能結果w=“某物體重量的誤差為x”x(0,)X=X(w)=xw
所以,隨機變量X(0,)
隨機事件這個概念包含在隨機變量這個更廣的概念之內。隨機事件從靜態的觀點研究隨機現象;隨機變量則是從動態的觀點去研究。概率論的基礎概念是隨機變量。事件“廢品數少于50”={w:X(w)<50}隨機變量定義定義如果對任意實數x有{w:X(w)<x}F,則稱定義在樣本空間上的單值實函數X=X(w)是隨機變量。其中w,F是事件域,{w:X(w)<x}是一個基本事件的集合,描述一個隨機事件。通常用希臘字母X,Y來表示隨機變量,用英文字母x、y表示其取值。
隨機變量定義說明:
設X=X(w),w,X是定義在樣本空間上的單值實函數,對于任一實數x,基本事件w的集合{w:X(w)<x}都是一隨機事件,則稱X=X(w)為隨機變量。隨機變量X=X(w)是基本事件w的函數,w是自變量,在不必強調w時,簡記X(w)為X,而w的集合{w:X(w)<x}所表示的事件簡記為{X<x}。定義中要求對任一實數x,{X<x}都是事件,表明{X<x}是所討論問題的樣本空間上一個適當確定的事件域F中的事件。說明:定義隨機變量后,隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實數x,x1,x2可以證明,形如{w:X(w)=x},{w:X(w)≤x},{w:X(w)>x},{w:X(w)≥x},{w:x1<X(w)<x2},{w:x1≤X(w)≤x2},等等,都是隨機變量。在不必強調w時,簡記{w:x1≤X(w)≤x2}為{x1≤X≤x2}。定義隨機變量后,隨機事件可以用隨機變量來描述。例如對任意實3.2一維隨機變量及其分布函數
我們不僅關心X取哪些值,更關心X以多大的概率取那些值,即關心X取值的概率規律(通稱為X的分布)。
根據隨機變量X的定義,對于每一個實數x,都有一個確定的隨機事件{w:X(w)<x}與x對應,因此,概率P{w:X(w)<x}是x的函數,該函數在理論和應用中都很重要,為此引進隨機變量的分布函數定義。定義設X是一個隨機變量,x是任意實數,函數
F(x)=P{w:X(w)<x}稱為隨機變量X的分布函數。X的分布函數也常簡記為
F(x)=P{X<x}3.2一維隨機變量及其分布函數
任一隨機變量X的分布函數F(x),x(-,),具有下列性質:(1)單調不減性。若x1<x2,則F(x1)≤F(x2)
。
證若x1<x2,則有{X<x1}{X<x2}
根據概率的性質,得P{X<x1}≤P{X<x2}即F(x1)F(x2)(2)
(3)左連續性。對任意實數x0,有反之,如某實函數具有上述3個性質,則它可作為某隨機變量的分布函數。任一隨機變量X的分布函數F(x),x(-,)由分布函數,可以計算如下概率:由分布函數,可以計算如下概率:3.3一維離散型隨機變量
隨機變量全部的可能值只有有限個或至多可列,則稱其為離散型隨機變量。對于離散型隨機變量,除了關心它全部的可能值之外,還要知道它以怎樣的概率取這些值。對于一個以為其全部不同可能值的離散型隨機變量X,若
則稱式(3-1)或稱{p1,p2,…}為X的概率分布(律),簡稱分布律。3.3一維離散型隨機變量離散型隨機變量X的概率分布寫作稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱分布列。離散型隨機變量的概率分布{p1,p2,…,Pn,…}必須滿足兩個條件:
(非負性條件)
(歸一化|規范性條件)離散型隨機變量X的概率分布寫作
說明:
這里的求和是對一切xi<x進行的(如果這樣的xi不存在,便規定F(x)=0),此時,F(x)等于X取小于x的所有xi的概率之和或累積,因此分布函數也叫累積概率。
離散型隨機變量的分布函數F(x)的圖象為階梯狀,點x1,x2,…,xn都是F(x)的第一類(跳躍)間斷點。說明:隨機試驗1:接連進行兩次射擊,0表示未擊中目標,1表示擊中目標。樣本空間:現在我們設定隨機變量X表示擊中目標的次數,則隨機試驗2:觀察某程控電話交換機單位時間內接到的呼喚次數。樣本空間Ω={0,1,2,…},以X表示接到的呼喚次數,那么,X=X(ω)=ω,ω∈Ω是離散型隨機變量。隨機試驗1:接連進行兩次射擊,0表示未擊中目標,1表示擊中目例3
設射手進行計分打靶練習,有如下規定:射入區域e1得2分,射入區域e2得1分,否則就得0分)。一射手進行一次射擊的得分是隨機變量,其可能取得的值為0,1,2。不同的射手在射擊之前,他們進行一次射擊的得分值都是不可預知的,他們進行一次射擊的得分的概率不同。射手甲在一次射擊中得分X的概率分布為:射手乙在一次射擊中得分Y的概率分布為:例3設射手進行計分打靶練習,有如下規定:射入區域e1得2考慮射手甲的概率分布(列):計算X的分布函數F(x)=P(X<x):當x≤0時,F(x)=P(X<x)=P()=0當0<x≤1時,F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0當1<x≤2時,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0.2當2<x時,F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0+0.2+0.8=1考慮射手甲的概率分布(列):考慮射手乙的概率分布(列):計算Y的分布函數F(y)=P(Y<y):當y≤0時,F(y)=P(Y<y)=P()=0當0<y≤1時,F(y)=P(Y<y)=P(Y=0)=0.6當1<y≤2時,F(y)=P(Y<y)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.9當2<y時,F(y)=P(Y<y)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=0.6+0.3+0.1=1考慮射手乙的概率分布(列):雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的,但兩人取各可能值的概率完全不同,可以認為這是兩個不同的隨機變量。
總值為1的概率,以不同的方式分布到各種可能的取值上,確定了不同的隨機變量。雖然兩人在射擊之前得分的可能值都是一樣的,但兩人
0-1分布(兩點分布):若隨機變量X只能取兩個值,其分布列為:退化分布(單點分布):若隨機變量X只取常數值C,即實際上這時X并不是隨機變量,為了方便和統一起見,將其看作隨機變量。
離散型均勻分布:隨機變量X的分布列為0-1分布(兩點分布):若隨機變量X只能取兩個值,其分布列例4
已知離散型隨機變量X的概率分布為試求出常數a。解由于例4已知離散型隨機變量X的概率分布為3.3.1二項分布
在1次試驗中事件A出現的概率是p,則n重伯努利試驗中,事件A出現的次數X是二項分布隨機變量,其可能取得的值是0,1,2,…,k,…,n
有分布律
這個值也被記作b(k;n,p),它正是二項式(px+q)n的展開式中xk的系數,因而X得名“二項分布”。3.3.1二項分布
在1次試驗中事件A出現的概二項分布列是:
對不同的兩項分布隨機變量,其參數n,p的取值可以不一樣。常用X~B(n,p)表示X是參數n和p的二項分布隨機變量。二項分布列是:特別地,n=1時,二項分布為二值分布(兩點分布),X~B(1,p)其分布列為若X~B(n,p),由二項概率公式得定理1。特別地,n=1時,二項分布為二值分布(兩點分定理1
在n重伯努利試驗中,事件A發生的次數在k1和k2之間的概率是
在n重伯努利試驗中,事件A至少發生r次的概率是
特別是在n重伯努利試驗中,事件A至少發生1次的概率是
定理1例5醫生對5個人作某疫苗接種試驗,設已知對試驗反映呈陽性的概率為p=0.45,且各人的反映相應獨立。若以X表示反映為陽性的人數。(1)寫出X的分布律。(2)求恰有3人反映為陽性的概率;(3)求至少有2人反映為陽性的概率。解將觀察1人對該接種疫苗試驗的反映呈“陽性”(發生A)或“陰性”(發生)看作是1次伯努利試驗,對5個人試驗看作是5重伯努利試驗,則X~B(5,0.45)(1)X的分布律:例5醫生對5個人作某疫苗接種試驗,設已知對試驗反映呈陽性(2)求恰有3人反映為陽性的概率:
(3)求至少有2人反映為陽性的概率:
(2)求恰有3人反映為陽性的概率:例6
已知發射一枚地對空導彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.96,問在同樣條件下需發射多少枚導彈才能保證至少有一枚導彈擊中敵機的概率大于0.999?解設需要發射n枚導彈,則擊中敵機的導彈數是隨機變量X~B(n,0.96),則
取n=3,即需要發射3枚導彈。例6已知發射一枚地對空導彈可“擊中”來犯敵機的概率是0.9例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設考試有5道選擇題,每題給出n個結果供選擇,其中只有一個結果是對的。試問他居然能答對3題以上而及格的概率。解
每做1題是1次p=1/n的伯努利試驗,這里A是“答題正確”,則考試是p=1/n的5重伯努利試驗,在5題中恰好答對題數X~B(5,1/n),此人及格的概率為:
當n=3時,此值=0.29當n=4時,此值=0.10例7一個完全不懂阿拉伯語的人去參加一場阿拉伯語考試。假設考定理2
設X~B(n,p),則當k=ent((n+1)p)時,b(k;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數,則b(k;n,p)=b(k-1;n,p)同為最大值。定理2設X~B(n,p),則當k=ent((n+1)p)證明:當k<(n+1)p時,r>1,則b(k;n,p)>b(k-1;n,p),概率隨k的增大而增大;當(n+1)p是整數且等于k時,r=1,則b(k;n,p)=b(k-1;n,p);當k>(n+1)p時,r<1,則b(k;n,p)<b(k-1;n,p),概率隨k的增大而減??;證明:綜上所述,可得如下結論:(1)當(n+1)p恰為正整數,記為k0,則b(k0;n,p)=b(k0-1;n,p)同為二項分布概率的最大值;(2)當(n+1)p不是整數時,記k0=ent((n+1)p),ent((n+1)p)表示取(n+1)p之整數部分;則b(k0;n,p)為二項分布概率的最大值。綜上所述,可得如下結論:例8(漁佬問題)漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。解
設魚的總數為N,漁佬先從塘中網起100條魚做上記號后放回塘里,過一段時間(使其均勻)再從中網起100條,發現其中有記號者為2條,由此可估計魚的總數N,若每條魚2斤,每斤5元,則可估其收入。在第二次打魚時,由于塘中有記號的魚有100條,在漁佬所網起的魚中可能有記號,也可能沒有記號。設有記號的條數為X,則X服從二項分布。例8(漁佬問題)漁佬想知道自己承包的魚塘的收入。
由定理2,當X=k0=ent((n+1)p)時,其概率最大。此時認為
是合理的。這里n=100,p=100/N,k0=2,解得N=5050(條),由此,魚佬的收入可估計為
5050×2×5≈5(萬元)
值得注意的是:X=2時取得最大概率只有:
由定理2,當X=k0=ent((n+1)p)時,其概率最大3.3.2泊松(Poisson)分布
若隨機變量X以全體自然數為其一切可能值,X=0,1,2,…,其分布律為
其中參數>0為強度。則稱X服從參數的泊松分布,記為X~P()。3.3.2泊松(Poisson)分布因為>0,故有P(X=k)>0。(k=0,1,2,…)
即泊松分布的分布律,具備概率函數的兩個性質。因為>0,故有P(X=k)>0。(k=0,1,2,
在實際問題中,有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如:
在任給一段固定的時間間隔內,來到公共設施(公共汽車站、商店、電話交換臺等)要求給予服務的顧客個數;炸彈爆炸后落在平面上某區域的碎彈片個數;顯微鏡下看到的某種細菌的生長個數。在實際問題中,有很多隨機變量都近似服從泊松分布。例如
n=10,p=0.4,=np=4n=40,p=0.1=np=4隨著n增大,若np不變,則二項分布與泊松分布逐漸接近。泊松分布與二項分布的關系n=10,p=0.4,=np=4定理(泊松定理)
設隨機變量X服從二項分布B(n,p)(p(0,1),并與n有關),且滿足,則
證明定理(泊松定理)第3章-一維隨機變量課件用泊松分布代替兩項分布的條件
在實際應用中,當n很大(n≥10),p很小時(p≤0.1),有下面的泊松近似公式其中λ=np。用泊松分布代替兩項分布的條件例9
設每次擊中目標的概率為0.001,且各次射擊是否中目標可看作相互無影響,若射擊5000次,試求:(1)擊中12彈的概率;(2)至少擊中12彈的概率。解設X為擊中目標的彈數,則X~B(5000,0.001),下面用近似公式計算。其中λ=np=5000×0.001=5(1)擊中12彈的概率為:(2)至少擊中12彈的概率為:例9設每次擊中目標的概率為0.001,且各次射擊是否中目例10由商店的銷售記錄知,某商品的月售出量X服從=10的泊松分布。為能以95%以上的概率保證不脫銷,問在無庫存的情況下月底應進貨多少?解商店備貨過多將明顯地提高成本,而長期貨源不足則會影響商譽。因此需用概率方法確定合適的備貨量,依照問題的要求,若月底進貨量為Q,則應使
P(X≤Q)≥0.95
例10由商店的銷售記錄知,某商品的月售出量X服從=10的
P(X≤14)<0.95P(X≤15)>0.95應取Q=15故月底進貨該商品15件,可有95%以上的把握使該商品在下個月的經營中不會脫銷。
例11(合作問題)設有同類設備80臺,各臺工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01,并且一臺設備的故障可由一個人來處理,試求:(1)
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