山西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來(lái)源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型車載動(dòng)力裝置），綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)，新結(jié)構(gòu)的汽車.新能源汽車包括混合動(dòng)力電動(dòng)汽車（HEV）、純電動(dòng)汽車（BEV，包括太陽(yáng)能汽車）燃料電池電動(dòng)汽車（FCEV）、其他新能源（如超級(jí)電容器、飛輪等高效儲(chǔ)能器）汽車等.非常規(guī)的車用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2022年我國(guó)某地區(qū)新能源汽車的前5個(gè)月銷售量與月份的統(tǒng)計(jì)表：月份代碼12345銷售量（萬(wàn)輛）0.50.611.41.5由上表可知其線性回歸方程為，則的值是A.0.28 B.0.32 C.0.56 D.0.644.已知，則的值為A. B. C. D.5.的展開式中，的系數(shù)是A.5 B.15 C.20 D.256.已知函數(shù)（，），若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的最大值是A. B. C. D.7.在四棱錐中，底面為正方形，且平面，，則直線與直線所成角的余弦值是A. B. C. D.8.設(shè)，，，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則下列不等式成立的是A. B. C. D.10.已知點(diǎn)，均在圓外，則下列表述正確的有A.實(shí)數(shù)的取值范圍是B.C.直線與圓不可能相切D.若圓上存在唯一點(diǎn)滿足，則的值是11.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且都有成立，，，，則下列說(shuō)法正確的是A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.函數(shù)在處取到最大值12.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為4，則下列說(shuō)法正確的是A.弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為 B.直線的傾斜角為30°或150°C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，則____________.14.已知向量，滿足，，則_____________.15.在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積是________________.16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，它們的離心率分別為，，點(diǎn)為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的取值范圍是________________.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.18.（本小題滿分12分）某大型工廠有6臺(tái)大型機(jī)器，在1個(gè)月中，1臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修.每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺(tái)機(jī)器的能力（若有2臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺(tái)維修，對(duì)工廠的正常運(yùn)行沒(méi)有任何影響），每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)得到維修，就能使該廠每月獲得10萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將虧損2萬(wàn)元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬(wàn)元的工資.（1）若每臺(tái)機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)有工人進(jìn)行維修（例如：3臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運(yùn)行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.（ⅰ）記該廠每月獲利為萬(wàn)元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問(wèn)該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？19.（本小題滿分12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.已知點(diǎn)在邊上（不含端點(diǎn)），.（1）證明：；（2）若，，求的面積.20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.21.（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，，且過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上，并求出此定直線的方程.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的最小值為，求的值；（2）若存在，且，使得，求的取值范圍.高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.D，故，所以.故選D.2.C，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選C.3.A由表中數(shù)據(jù)可得，，將代入，即，解得.故選A.4.A由，得，所以，所以，所以，所以.故選A.5.B因?yàn)椋恼归_式通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，由可得因此的展開式中，的系數(shù)為.故選B.6.C，令，，.又函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是.故選C.7.D連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，.不妨設(shè).因?yàn)樗倪呅问钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以.所以直線與直線所成角即為（或其補(bǔ)角）.因?yàn)槠矫妫郑矫妫裕?在中，，，，所以；在中，，，，所以，所以；在中，，，，所以，即直線與直線所成角的余弦值是.故選D.8.B令，，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，即.令，，易得在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以.故選B.9.BD由不等式的基本性質(zhì)，可得A錯(cuò)誤，B正確；取，，則，從而，則C錯(cuò)誤；因?yàn)椋詢绾瘮?shù)在上是增函數(shù)，則由，即得，則D正確.故選BD.10.ABD據(jù)題設(shè)分析知，，，當(dāng)時(shí)，直線與圓相切.∵，∴點(diǎn)在以線段為直徑的圓上.又，，∴點(diǎn)在圓上.又∵點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，均在圓外，∴圓與圓外切，且點(diǎn)為切點(diǎn)，∴，∴.故選ABD.11.BC根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；又由對(duì)任意，且都有成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在處取得最小值；，，，又由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，易知，所以.故選BC.12.BCD設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，則，，又，所以，解得，所以直線的傾斜角為30°或150°，，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，.故選BCD.13.3由已知得，因?yàn)椋?14.因?yàn)椋裕裕矗瑒t，所以.15.如圖，將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，則，解得，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以.所以三棱錐的外接球的表面積.16.設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，焦距，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，則，，解得，，如圖：在中，根據(jù)余弦定理可得，整理得，即，設(shè)，，則有，，所以，即有，所以，所以，設(shè)，則，且，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以.17.（1）解：當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得.又，所以，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以.（2）證明：由（1）知，所以，，兩式相減得，所以.又，所以.18.解：（1）因?yàn)樵搹S只有1名維修工人，所以要使工廠正常運(yùn)行，最多只能出現(xiàn)2臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故障，故該工廠能正常運(yùn)行的概率為.（2）（ⅰ）的可能取值為34，46，58，，，，則的分布列為344658故.（ⅱ）若該廠有3名維修工人，則該廠獲利的數(shù)學(xué)期望為萬(wàn)元.因?yàn)椋栽搹S應(yīng)再招聘1名維修工人.19.（1）證明：若時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，不滿足題意，故，因?yàn)椋裕裕烧叶ɡ砑坝嘞叶ɡ淼茫矗裕驗(yàn)椋裕裕?（2）解：由及，，得，由（1）知，所以，所以，整理得，令得：，即，解得，，（舍去），由，得，而舍去，故所以.20.（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，.則，且，，且.所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，，，，，所以，.因?yàn)椋裕?又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則所以，令，則，，所以；又平面的一個(gè)法向量，所以，所以，解得，所以.又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角為.21.（1）解：因?yàn)椋裕獾?因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，解得.所以的方程為.（2）證明：設(shè)，，所以，.由，整理得則，解得且，，.由得，所以點(diǎn)在定直線上.22.解：（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值.當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.所以，即.設(shè)，則，所以為上的增函數(shù)，又，所以.（2）由，得，即，又，所以，得.令，則，令，故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).，其中.因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸的方程為，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，則在上恒成立，所以