2019年上海市楊浦區高考數學三模試卷（理科）一.填空題1．函數y=log2（x+1）的反函數為．2．若直線l1：2x+my+1=0與l2：y=3x﹣1垂直，則實數m=．pxq=0的根，則p+q=+3．若2i（i虛數單位）是實系數一元二次方程x2++．4．已知sinx=，x∈（，π），則行列式的值等于．5．已知A={x|＞1}，B={x|log2（x﹣1）＜1}，則A∩B=．6．已知A地位于東經30°、北緯45°，B地位于西經60°、北緯45°，則A、B兩地的球面距離與地球半徑的比值為．7．在某次數學測驗中，5位學生的成績如下：78、85、a、82、69，他們的平均成績為80，則他們成績的方差等于．8．在極坐標系下，點（2，）到直線ρcos（θ﹣）=1的距離為．9．若（x+）n（n∈N*）展開式中各項系數的和等于64，則展開式中x3的系數是10．三階矩陣．中有9個不同的數aij（i=1，2，3；j=1，2，3），從中任取三個，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是（結果用分數表示）11．若函數y=cos（x+）的圖象向右平移φ個單位（φ＞0），所得到的圖象關于y軸對稱，則φ的最小值為．12．若兩整數a、b除以同一個整數m，所得余數相同，即=k（k∈Z），則稱a、b對模m同余，用符號a≡b（modm）表示，若a≡10（mod6）（a＞10），滿足條件的a由小到大依次記為a1，a2…an，…，則數列a的前16項和為{}n．13．已知雙曲線﹣=1（a∈N*）的兩個焦點為F1，F2，P為該雙曲線上一點，滿足|F1F2|2=|PF1|?|PF2|，P到坐標原點O的距離為d，且5＜d＜9，則a2=．14．如圖，已知AB⊥AC，AB=3，AC=，圓A是以A為圓心半徑為1的圓，圓B是以B為圓心的圓．設點P，Q分別為圓A，圓B上的動點，且=，則的取值范圍是．?二.選擇題15．已知數列{an}的前n項和Sn=pn+q（p≠0，q≠1），則“q=﹣1”是“數列{an}是等比數列”的（）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件16．已知z1、z2均為復數，下列四個命題中，為真命題的是（）A．z=|=|||1B．若z=2，則z2的取值集合為{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虛數單位）||2C．若z12+z22=0，則z1=0或z2=0D．z1z2一定是實數+17．橢圓C：的左、右頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．18．定義域為[a，b]的函數y=f（x）圖象的兩個端點為A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）圖象上任意一點，過點M作垂直于x軸的直線l交線段AB于點N（點M與點N可以重合），我們稱||的最大值為該函數的“曲徑”，下列定義域為[1，2]上的函數中，曲徑最小的是（）A．y=x2B．y=三.解答題C．y=x﹣D．y=sinx19．如圖，圓錐的頂點為P，底面圓心為O，線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且直線AB與直線CD的夾角為，已知|OA|=1，|PA|=2．（1）求該圓錐的體積；（2）求證：直線AC平行于平面PBD，并求直線AC到平面PBD的距離．20．已知數列a中，an+1={}n（n∈N*），a1=1；+（1）設bn=3nan（n∈N*），求證：b是等差數列；{}n（2）設數列a的前n項和為Sn，求{}n的值．21．圖為一塊平行四邊形園地ABCD，經測量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，擬過線段AB上一點E設計一條直路EF（點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度），將該園地分為面積之比為3：1的左、右兩部分分別種植不同的花卉，設EB=x，EF=y（單位：米）（1）當點F與點C重合時，試確定點E的位置；（2）求y關于x的函數關系式，并確定點E、F的位置，使直路EF長度最短．22．已知圓E：（x﹣1）2+y2=4，線段AB、CD都是圓E的弦，且AB與CD垂直且相交于坐標原點O，如圖所示，設△AOC的面積為S1，設△BOD的面積為S2；（1）設點A的橫坐標為x1，用x1表示|OA|；（2）求證：|OA|?|OB|為定值；（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2，試研究S1+S2是否有最小值，如果有，求出最小值，并寫出此時直線AB的方程；若沒有最小值，請說明理由．23．已知非空集合A是由一些函數組成，滿足如下性質：①對任意f（x）∈A，f（x）均存在反函數f﹣1（x），且f﹣1（x）∈A；②對任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；③對任意f（x）、g（x）∈A，若函數g（x）為定義在R上的一次函數，則f（g（x））∈A；（1）若f（x）=，g（x）=2x﹣3均在集合A中，求證：函數h（x）=（x≥1）在集合A中，求實數a的取值范圍；（2x﹣3）∈A；（2）若函數f（x）=（3）若集合A中的函數均為定義在R上的一次函數，求證：存在一個實數x0，使得對一切f（x）∈A，均有f（x0）=x0．2019年上海市楊浦區高考數學三模試卷（理科）參考答案與試題解析一.填空題1．函數y=log2（x+1）的反函數為y=2x﹣1（x∈R）．【考點】反函數．【分析】由y=log2（x+1）（x＞﹣1）解得x=2y﹣1，把x與y互換即可得出．【解答】解：由y=log2（x+1）（x＞﹣