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文檔簡介
第七章均勻設(shè)計
§7.1均勻設(shè)計表§7.2均勻設(shè)計的使用表§7.3均勻設(shè)計的數(shù)據(jù)分析§7.4均勻混料設(shè)計12/25/20221第七章均勻設(shè)計§7.1均勻設(shè)計表12/19/20221前言
均勻設(shè)計(UniformDesign)是由中國數(shù)學(xué)家王元和方開泰于1978年首次提出的,采用均勻設(shè)計表來安排試驗的方法。其最初在我國導(dǎo)彈設(shè)計中應(yīng)用,經(jīng)過20多年的發(fā)展和推廣,均勻設(shè)計已在我國有較廣泛的普及,并在醫(yī)藥、生物、化工、航天、電子、軍事工程等諸多領(lǐng)域中使用,取得了顯著的經(jīng)濟和社會效益。與均勻設(shè)計幾乎同期出現(xiàn)在西方流行的“拉丁超立方體抽樣”與均勻設(shè)計在本質(zhì)上是一致的。12/25/20222前言12/19/20222王元方開泰中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所中國科學(xué)院院士中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所北京師范大學(xué)-香港浸會大學(xué)聯(lián)合國際學(xué)院美國數(shù)理統(tǒng)計科學(xué)院終身院士美國統(tǒng)計學(xué)會終身院士12/25/20223王元方開泰中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所12/§7.1均勻設(shè)計表
7.1.1均勻設(shè)計概述
例7.1為了研究環(huán)境污染對人體的危害,考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響,考察老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率。將每一種重金屬看成一個因子,每一因子取17個水平。試驗如何設(shè)計?如果采用正交設(shè)計,那么至少要進行172=289次試驗。如果采用二次回歸正交設(shè)計那么也至少要進行26-1+2×6+1=45次試驗,試驗次數(shù)都較多。能否減少試驗次數(shù)?均勻設(shè)計便是針對這種情況提出的一種設(shè)計方法。12/25/20224§7.1均勻設(shè)計表12/19/20224
均勻設(shè)計是用均勻設(shè)計表安排試驗,而用回歸分析進行數(shù)據(jù)分析的一種試驗設(shè)計方法。基本想法是要使試驗點在因子空間中具有較好的均勻分散性。均勻設(shè)計同正交設(shè)計一樣,也是部分因子設(shè)計的只要方法之一,是一種穩(wěn)健試驗設(shè)計。
適用范圍:試驗因子多、因子取值范圍大、因子水平多(一般不少于5),而試驗次數(shù)相對較少的情況。12/25/20225均勻設(shè)計是用均勻設(shè)計表安排試驗,而用回歸分析進行數(shù)據(jù)分析7.1.2均勻設(shè)計表均勻設(shè)計表是均勻設(shè)計的基本工具,它是用數(shù)論方法編制的。1.均勻設(shè)計表Un(qm)均勻設(shè)計表用代號Un(qm)表示,U表示均勻設(shè)計表,它有n行,m列,每列的水平數(shù)為q。
12/25/202267.1.2均勻設(shè)計表12/19/20226均勻設(shè)計表U7(76)該表的每一列都是的一個特定排列。
12/25/20227均勻設(shè)計表U7(76)該表的每一列都是
該表的特點是:(1)對任意的n都可以構(gòu)造均勻設(shè)計表,并且行數(shù)n與水平數(shù)q相同,因此試驗次數(shù)少;(2)列數(shù)可按下面規(guī)則給出:
當n為素數(shù)時,列數(shù)最多等于n-1;譬如上面n=7,所以列數(shù)最多為n-1=6列;
當n是合數(shù)時,設(shè),其中為素數(shù),為正整數(shù),那么列數(shù)為
譬如n=9,由于9=32,所以列數(shù)為列。
12/25/20228該表的特點是:12/19/202282.另一類均勻設(shè)計表
對于n為合數(shù)的表,一般列數(shù)較少,不太適用。譬如n=6時,由于n=2×3,經(jīng)計算,所以列數(shù)只有2列。因為均勻設(shè)計表U7(76)最后一行全是“7”組成的,故劃去這一行,相當于減少一個水平。所以建議用U7(76)劃去最后一行的方法得到,為區(qū)別起見,記為12/25/202292.另一類均勻設(shè)計表12/19/20229§7.2均勻設(shè)計的使用表7.2.1均勻設(shè)計表的使用在用均勻設(shè)計表安排試驗時,因為任意兩列的均勻性是不同的,用哪些列是有講究的。譬如用安排兩個因子時,用1,3列與用1,6列的均勻性是不同的,試驗點在平面上的分布見圖7.2.1。前者分布比較均勻。7.2.112/25/202210§7.2均勻設(shè)計的使用表7.2.112/19/202217.2.2“均勻性”的度量通常用“偏差”來度量均勻性,偏差愈小均勻性愈好。(1)把均勻設(shè)計表Un(nm)中每一行看成m維空間中的一個點,其m個坐標必是集合中的某個數(shù)。(2)用線性變換將均勻地變換到區(qū)間[0,1]中的某個數(shù)。此線性變換為:
Un(nm)中n個試驗點變換成Cm=[0,1]m中的n個點。考慮Un(nm)中n個試驗點的均勻性等價于考慮在[0,1]m中的均勻性。12/25/2022117.2.2“均勻性”的度量12/19/202211
(3)設(shè)是[0,1]m中任一點,則
為多維矩形的體積,且。(4)記為n個點落在多維矩形的個數(shù),則表示有多少比例的點落在矩形中。若此n個點在[0,1]m中均勻散布,則與該多維矩形的體積相差不大。(5)設(shè)是[0,1]m中的n個點,則稱
為點集{}在[0,1]m中的偏差(D),或星偏差。12/25/202212(3)設(shè)是[0,1]m中任一點偏差(D)的缺點用(星)偏差來度量均勻性的缺點之一是不夠靈敏,有時明顯不同的兩個均勻設(shè)計會出現(xiàn)相同的偏差;缺點之二是與原點有關(guān),所有矩形都從原點開始。為了克服上述偏差的缺點,人們有研究出很多其它的偏差度量方法。其它的偏差
CD2——中心化L2偏差
WD2——可卷的L2偏差
MD2——修正的L2偏差
SD2——對稱化L2偏差其中,用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后來方開泰教授新研制的均勻設(shè)計表大都基于最小的CD2偏差。12/25/202213偏差(D)的缺點12/19/2022137.2.3
使用均勻設(shè)計表偏差D可對任一均勻設(shè)計表或中任意二列、任意三列、…進行計算,從中選出使D達到最小的列作為使用列,從而形成使用表。如下表就是的使用表,s表示因子數(shù)。均勻設(shè)計表的使用表若從中選出5列使用,就會使偏差D過大,故建議不使用,把使用表中不出現(xiàn)的列剔去,并重新編號,可以得到及其使用表。12/25/2022147.2.3使用均勻設(shè)計表12/19/202214均勻設(shè)計表及其使用表
使用表說明:當安排兩個因子時,第1、3列是最佳的選擇,若安排4個因子,第1、2、3、4是最佳選擇。
12/25/202215均勻設(shè)計表及其使用表使用表說明:當安排兩
均勻設(shè)計表U7(74)與的使用表
由表上的D值可知,在表上加“*”的比不加“*”的均勻,因此在實際中我們首先使用加“*”的均勻設(shè)計表。但是可安排的因子較少。對于各因子不等水平的均勻設(shè)計,可以直接采用混合水平均勻設(shè)計表,或者采用擬水平法設(shè)計。12/25/202216均勻設(shè)計表U7(74)與的使用表7.2.4新均勻設(shè)計表由于基于CD2偏差和WD2偏差的均勻設(shè)計表具有更好的均勻性,方開泰教授在2000年左右研制了2580多張新的均勻設(shè)計表。參見本章提供給大家的附件文件夾“第七章均勻設(shè)計表UniformDesign”。或登錄方開泰教授的“均勻設(shè)計網(wǎng)站”:.hk/UniformDesign/查詢。12/25/2022177.2.4新均勻設(shè)計表12/19/202217§7.3均勻設(shè)計數(shù)據(jù)分析均勻設(shè)計的試驗數(shù)據(jù)的處理通常采用回歸分析的方法,回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性回歸模型,可以通過逐步回歸的方法篩選變量。下面通過一個例子來說明均勻設(shè)計及其數(shù)據(jù)的分析步驟。
例7.1
為了研究環(huán)境污染對人體的危害,考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響,為此考察老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率,為了了解誤差,每一水平組合重復(fù)三次。12/25/202218§7.3均勻設(shè)計數(shù)據(jù)分析12/19/2022187.3.1
試驗設(shè)計1.明確試驗?zāi)康模毫私饬N重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響。
2.明確試驗指標:老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率。3.確定因子與水平:這里因子都是定量的。水平可以是等間隔的,也可以是不等間隔的。
本例中有六種重金屬可看作六個因子,每一因子取17個水平,其水平值均為:(單位:ppm)0.01,0.05,0.1,0.2,0.4,0.8,1,2,4,5,8,10,12,14,16,18,20注意:水平必須按順序排列12/25/2022197.3.1試驗設(shè)計12/19/202219
4.選擇均勻設(shè)計表,利用使用表進行表頭設(shè)計由于這里考察六個因子,每一因子取17個水平,可以用表U17(1716),六個因子按使用表的規(guī)定分別置于1,2,3,5,7,8列上,得到試驗計劃(見表7.3.6),表中括號內(nèi)的數(shù)據(jù)是水平編號,括號外的數(shù)據(jù)是水平取值。7.3.2
進行試驗,獲得試驗結(jié)果本例在每一水平組合下進行三次重復(fù)試驗,試驗結(jié)果列在表7.3.6的最后三列上。12/25/2022204.選擇均勻設(shè)計表,利用使用表進行表頭設(shè)計12/197.3.612/25/2022217.3.612/19/2022217.3.3
數(shù)據(jù)分析對均勻設(shè)計所得到的試驗結(jié)果通常采用回歸分析方法,建立回歸方程。設(shè)在一個試驗中有p個因子。若只考慮y關(guān)于的線性關(guān)系,則可用多元線性回歸方法建立回歸方程,并對每一系數(shù)作顯著性檢驗,然后逐個刪去不顯著的變量,直到所有系數(shù)顯著為止。若考慮y關(guān)于的二次回歸,除每一變量的線性項外,還要考慮變量間的二次項、乘積項,那么回歸系數(shù)就有
在本例中p=6,回歸系數(shù)有28個,超過試驗次數(shù)n=17,這時只能用逐步回歸方法從中選出顯著的項建立回歸方程。12/25/2022227.3.3數(shù)據(jù)分析12/19/202222在本例中,根據(jù)背景知識,認為死亡率與含量的對數(shù)有關(guān),因此先將含量進行變換(這里將六個自變量分別取對數(shù)),并考慮其的二次項、交叉乘積項等,用逐步回歸方法,在顯著性水平0.05上挑選變量,所建立的方程如下:12/25/202223在本例中,根據(jù)背景知識,認為死亡率與含量的對數(shù)有關(guān),因此對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下:6.3.7在顯著性水平0.05下,F(xiàn)lf=1.24<F0.95(6,34)=2.40,失擬檢驗的結(jié)果是上述方程是合適的,又F=72.83>F0.95(10,40)=2.10,因而此回歸方程是顯著的。12/25/202224對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下:6.3.7
對每一項回歸系數(shù)的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。所以上面所得到的方程是可信的。此方程對應(yīng)的誤差標準差的估計為,決定系數(shù)是0.948。此方程反映了該種細胞的死亡率與六種重金屬的關(guān)系。從方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加會增加該種細胞的死亡率,Zn與Cd、Ni、Cr、Pb的結(jié)合對該種細胞的死亡率有較大影響。若要尋找最優(yōu)的工藝參數(shù),可通過求極值的方法獲得。12/25/202225對每一項回歸系數(shù)的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。7.3.4
SAS回歸分析Datasasuser.DOE346;InputCdCuZnNiCrPbY;CdCu=Cd*Cu;CdZn=Cd*Zn;CdNi=Cd*Ni;CdCr=Cd*Cr;CdPb=Cd*Pb;CuZn=Cu*Zn;CuNi=Cu*Ni;CuCr=Cu*Cr;CuPb=Cu*Pb;ZnNi=Zn*Ni;12/25/2022267.3.4SAS回歸分析12/19/2022267.3.4
SAS回歸分析ZnCr=Zn*Cr;ZnPb=Zn*Pb;NiCr=Ni*Cr;NiPb=Ni*Pb;CrPb=Cr*Pb;Cd2=Cd*Cd;Cu2=Cu*Cu;Zn2=Zn*Zn;Ni2=Ni*Ni;Cr2=Cr*Cr;Pb2=Pb*Pb;12/25/2022277.3.4SAS回歸分析12/19/2022277.3.4
SAS回歸分析Cards;…;ProcRegdata=sasuser.DOE346;ModelY=CdCuZnNiCrPbCdCuCdZnCdNiCdCrCdPbCuZnCuNiCuCrCuPbZnNiZnCrZnPbNiCrNiPbCrPbCd2Cu2Zn2Ni2Cr2Pb2/selection=stepwisesls=0.05sle=0.05;Run;12/25/2022287.3.4SAS回歸分析12/19/2022287.3.4
SAS回歸分析
在本例中R2=0.9479
模型:F=72.83,P<0.0001可得回歸方程(取對數(shù)后值):Y=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*Ni-0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr+0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd+0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni經(jīng)SAS或Lingo求極小值得到:
Cd=0.00,Cu=0.00,Ni=0.00,Zn=3.00Cr=3.00,Pb=0.00時,Ymin=24.286112/25/2022297.3.4SAS回歸分析12/19/202229§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)前面講了單形格子設(shè)計和單形重心設(shè)計,但是這些方法都存在一些缺陷:一、眾多個試驗點都被安排在試驗區(qū)域的頂點或者邊界上,這樣的試驗相當于缺少幾種混料成分,不是真正的混料試驗;二、試驗點在試驗區(qū)域內(nèi)部的分布十分不均勻,影響混料效果。特別是在生物化學(xué)反應(yīng)試驗中,缺少某些混料成分,化學(xué)反應(yīng)可能不會進行,或者生成了其它產(chǎn)物。為此,人們提出了均勻混料設(shè)計。所謂均勻混料設(shè)計,就是在均勻設(shè)計中使所有試驗點在試驗區(qū)域內(nèi)盡可能均勻地散布。12/25/202230§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)
均勻混料設(shè)計的主要步驟如下:(1)給定試驗因子p和試驗次數(shù)n,選用合適的均勻設(shè)計表Un(np-1),用ukj記表中第k行第j列的元素。(2)對于每個k和j,計算(3)計算12/25/202231§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)(4)計算(5)計算(6)計算12/25/202232§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)
例7.2:對p=3,n=11的均勻設(shè)計,生成均勻混料設(shè)計UM11(113)的過程。此時上述公式可以簡化為:12/25/202233§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)
結(jié)果見下表UM11(113)試驗u1u2c1c2x1x2x31141/227/220.7870.1450.0682293/2217/220.6310.0840.2853375/2213/220.5230.1950.2824417/221/220.4360.5390.02655119/2221/220.3600.0290.61166311/225/220.2930.5460.16177613/2211/220.2310.3840.38488815/2215/220.1740.2630.56399217/223/220.1210.7590.12010101019/2219/220.0710.1270.8031111521/229/220.0230.5770.40012/25/202234§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)
均勻混料設(shè)計UM11(113)單形重心設(shè)計可以看到均勻混料設(shè)計試驗點的相當均勻的分布在單形內(nèi),試驗完成后,同樣采用回歸分析。回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性模型。12/25/202235§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe
例7.3在一個新金屬材料研制中,含三種金屬成分,擬采用均勻混料設(shè)計UM15(153)。NOx1x2x3YNOx1x2x3Y10.81740.10350.07918.225690.24720.17570.577110.136220.68380.05270.26358.7794100.20420.76930.02659.376030.59180.36740.04089.5115110.16330.25100.585710.277240.51700.17710.30599.5619120.12440.55450.32119.865250.45230.41990.12789.9145130.08710.09130.821610.102260.39450.02020.58539.5526140.05130.79060.15819.179270.34170.32910.32929.9481150.01680.42610.55719.956580.29290.49500.212110.124112/25/202236例7.3在一個新金屬材料研制中,含三種金屬成分,擬逐步回歸分析(SAS)Datasasuser.fang147;Inputx1-x3Y;x12=x1*x2;x13=x1*x3;x23=x2*x3;Cards;……;ProcRegdata=sasuser.fang147;ModelY=x1-x3x12x13x23/nointselection=stepwisesls=0.1sle=0.1;Run;12/25/202237逐步回歸分析(SAS)Datasasuser.fang14回歸分析結(jié)果在本例中R2=0.9997回歸模型:F=7961.6,P<0.0001各回歸系數(shù)顯著性VariableParameterSSFPx17.359636.0756822.86<.0001x28.577649.65101132.50<.0001x310.9838161.71973688.71<.0001x127.92081.693838.63<.0001可得回歸方程:Y=7.3596*x1+8.5776*x2+10.9838*x3+7.9208*x1*x212/25/202238回歸分析結(jié)果12/19/202238混料設(shè)計中注意的問題1.如果試驗方案處理數(shù)比較少時,容易接近于飽和設(shè)計,以致誤差項自由度過小,可適當設(shè)置重復(fù)。處理數(shù)較多時,誤差項自由度較大,可以少設(shè)或者不設(shè)置重復(fù)。2.因子水平數(shù)與試驗處理數(shù)同步增加,如果水平數(shù)太多不便于實施或致使水平間效應(yīng)差異過小,易于被誤差掩蓋,可以適當減少水平數(shù),可以采用擬水平法,或采用Un(qs)均勻表。12/25/202239混料設(shè)計中注意的問題1.如果試驗方案處理數(shù)比較少時,容易接近ClassisOverThankYouClassisOverThankYou第七章均勻設(shè)計
§7.1均勻設(shè)計表§7.2均勻設(shè)計的使用表§7.3均勻設(shè)計的數(shù)據(jù)分析§7.4均勻混料設(shè)計12/25/202241第七章均勻設(shè)計§7.1均勻設(shè)計表12/19/20221前言
均勻設(shè)計(UniformDesign)是由中國數(shù)學(xué)家王元和方開泰于1978年首次提出的,采用均勻設(shè)計表來安排試驗的方法。其最初在我國導(dǎo)彈設(shè)計中應(yīng)用,經(jīng)過20多年的發(fā)展和推廣,均勻設(shè)計已在我國有較廣泛的普及,并在醫(yī)藥、生物、化工、航天、電子、軍事工程等諸多領(lǐng)域中使用,取得了顯著的經(jīng)濟和社會效益。與均勻設(shè)計幾乎同期出現(xiàn)在西方流行的“拉丁超立方體抽樣”與均勻設(shè)計在本質(zhì)上是一致的。12/25/202242前言12/19/20222王元方開泰中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所中國科學(xué)院院士中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所北京師范大學(xué)-香港浸會大學(xué)聯(lián)合國際學(xué)院美國數(shù)理統(tǒng)計科學(xué)院終身院士美國統(tǒng)計學(xué)會終身院士12/25/202243王元方開泰中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所12/§7.1均勻設(shè)計表
7.1.1均勻設(shè)計概述
例7.1為了研究環(huán)境污染對人體的危害,考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響,考察老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率。將每一種重金屬看成一個因子,每一因子取17個水平。試驗如何設(shè)計?如果采用正交設(shè)計,那么至少要進行172=289次試驗。如果采用二次回歸正交設(shè)計那么也至少要進行26-1+2×6+1=45次試驗,試驗次數(shù)都較多。能否減少試驗次數(shù)?均勻設(shè)計便是針對這種情況提出的一種設(shè)計方法。12/25/202244§7.1均勻設(shè)計表12/19/20224
均勻設(shè)計是用均勻設(shè)計表安排試驗,而用回歸分析進行數(shù)據(jù)分析的一種試驗設(shè)計方法。基本想法是要使試驗點在因子空間中具有較好的均勻分散性。均勻設(shè)計同正交設(shè)計一樣,也是部分因子設(shè)計的只要方法之一,是一種穩(wěn)健試驗設(shè)計。
適用范圍:試驗因子多、因子取值范圍大、因子水平多(一般不少于5),而試驗次數(shù)相對較少的情況。12/25/202245均勻設(shè)計是用均勻設(shè)計表安排試驗,而用回歸分析進行數(shù)據(jù)分析7.1.2均勻設(shè)計表均勻設(shè)計表是均勻設(shè)計的基本工具,它是用數(shù)論方法編制的。1.均勻設(shè)計表Un(qm)均勻設(shè)計表用代號Un(qm)表示,U表示均勻設(shè)計表,它有n行,m列,每列的水平數(shù)為q。
12/25/2022467.1.2均勻設(shè)計表12/19/20226均勻設(shè)計表U7(76)該表的每一列都是的一個特定排列。
12/25/202247均勻設(shè)計表U7(76)該表的每一列都是
該表的特點是:(1)對任意的n都可以構(gòu)造均勻設(shè)計表,并且行數(shù)n與水平數(shù)q相同,因此試驗次數(shù)少;(2)列數(shù)可按下面規(guī)則給出:
當n為素數(shù)時,列數(shù)最多等于n-1;譬如上面n=7,所以列數(shù)最多為n-1=6列;
當n是合數(shù)時,設(shè),其中為素數(shù),為正整數(shù),那么列數(shù)為
譬如n=9,由于9=32,所以列數(shù)為列。
12/25/202248該表的特點是:12/19/202282.另一類均勻設(shè)計表
對于n為合數(shù)的表,一般列數(shù)較少,不太適用。譬如n=6時,由于n=2×3,經(jīng)計算,所以列數(shù)只有2列。因為均勻設(shè)計表U7(76)最后一行全是“7”組成的,故劃去這一行,相當于減少一個水平。所以建議用U7(76)劃去最后一行的方法得到,為區(qū)別起見,記為12/25/2022492.另一類均勻設(shè)計表12/19/20229§7.2均勻設(shè)計的使用表7.2.1均勻設(shè)計表的使用在用均勻設(shè)計表安排試驗時,因為任意兩列的均勻性是不同的,用哪些列是有講究的。譬如用安排兩個因子時,用1,3列與用1,6列的均勻性是不同的,試驗點在平面上的分布見圖7.2.1。前者分布比較均勻。7.2.112/25/202250§7.2均勻設(shè)計的使用表7.2.112/19/202217.2.2“均勻性”的度量通常用“偏差”來度量均勻性,偏差愈小均勻性愈好。(1)把均勻設(shè)計表Un(nm)中每一行看成m維空間中的一個點,其m個坐標必是集合中的某個數(shù)。(2)用線性變換將均勻地變換到區(qū)間[0,1]中的某個數(shù)。此線性變換為:
Un(nm)中n個試驗點變換成Cm=[0,1]m中的n個點。考慮Un(nm)中n個試驗點的均勻性等價于考慮在[0,1]m中的均勻性。12/25/2022517.2.2“均勻性”的度量12/19/202211
(3)設(shè)是[0,1]m中任一點,則
為多維矩形的體積,且。(4)記為n個點落在多維矩形的個數(shù),則表示有多少比例的點落在矩形中。若此n個點在[0,1]m中均勻散布,則與該多維矩形的體積相差不大。(5)設(shè)是[0,1]m中的n個點,則稱
為點集{}在[0,1]m中的偏差(D),或星偏差。12/25/202252(3)設(shè)是[0,1]m中任一點偏差(D)的缺點用(星)偏差來度量均勻性的缺點之一是不夠靈敏,有時明顯不同的兩個均勻設(shè)計會出現(xiàn)相同的偏差;缺點之二是與原點有關(guān),所有矩形都從原點開始。為了克服上述偏差的缺點,人們有研究出很多其它的偏差度量方法。其它的偏差
CD2——中心化L2偏差
WD2——可卷的L2偏差
MD2——修正的L2偏差
SD2——對稱化L2偏差其中,用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后來方開泰教授新研制的均勻設(shè)計表大都基于最小的CD2偏差。12/25/202253偏差(D)的缺點12/19/2022137.2.3
使用均勻設(shè)計表偏差D可對任一均勻設(shè)計表或中任意二列、任意三列、…進行計算,從中選出使D達到最小的列作為使用列,從而形成使用表。如下表就是的使用表,s表示因子數(shù)。均勻設(shè)計表的使用表若從中選出5列使用,就會使偏差D過大,故建議不使用,把使用表中不出現(xiàn)的列剔去,并重新編號,可以得到及其使用表。12/25/2022547.2.3使用均勻設(shè)計表12/19/202214均勻設(shè)計表及其使用表
使用表說明:當安排兩個因子時,第1、3列是最佳的選擇,若安排4個因子,第1、2、3、4是最佳選擇。
12/25/202255均勻設(shè)計表及其使用表使用表說明:當安排兩
均勻設(shè)計表U7(74)與的使用表
由表上的D值可知,在表上加“*”的比不加“*”的均勻,因此在實際中我們首先使用加“*”的均勻設(shè)計表。但是可安排的因子較少。對于各因子不等水平的均勻設(shè)計,可以直接采用混合水平均勻設(shè)計表,或者采用擬水平法設(shè)計。12/25/202256均勻設(shè)計表U7(74)與的使用表7.2.4新均勻設(shè)計表由于基于CD2偏差和WD2偏差的均勻設(shè)計表具有更好的均勻性,方開泰教授在2000年左右研制了2580多張新的均勻設(shè)計表。參見本章提供給大家的附件文件夾“第七章均勻設(shè)計表UniformDesign”。或登錄方開泰教授的“均勻設(shè)計網(wǎng)站”:.hk/UniformDesign/查詢。12/25/2022577.2.4新均勻設(shè)計表12/19/202217§7.3均勻設(shè)計數(shù)據(jù)分析均勻設(shè)計的試驗數(shù)據(jù)的處理通常采用回歸分析的方法,回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性回歸模型,可以通過逐步回歸的方法篩選變量。下面通過一個例子來說明均勻設(shè)計及其數(shù)據(jù)的分析步驟。
例7.1
為了研究環(huán)境污染對人體的危害,考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響,為此考察老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率,為了了解誤差,每一水平組合重復(fù)三次。12/25/202258§7.3均勻設(shè)計數(shù)據(jù)分析12/19/2022187.3.1
試驗設(shè)計1.明確試驗?zāi)康模毫私饬N重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響。
2.明確試驗指標:老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率。3.確定因子與水平:這里因子都是定量的。水平可以是等間隔的,也可以是不等間隔的。
本例中有六種重金屬可看作六個因子,每一因子取17個水平,其水平值均為:(單位:ppm)0.01,0.05,0.1,0.2,0.4,0.8,1,2,4,5,8,10,12,14,16,18,20注意:水平必須按順序排列12/25/2022597.3.1試驗設(shè)計12/19/202219
4.選擇均勻設(shè)計表,利用使用表進行表頭設(shè)計由于這里考察六個因子,每一因子取17個水平,可以用表U17(1716),六個因子按使用表的規(guī)定分別置于1,2,3,5,7,8列上,得到試驗計劃(見表7.3.6),表中括號內(nèi)的數(shù)據(jù)是水平編號,括號外的數(shù)據(jù)是水平取值。7.3.2
進行試驗,獲得試驗結(jié)果本例在每一水平組合下進行三次重復(fù)試驗,試驗結(jié)果列在表7.3.6的最后三列上。12/25/2022604.選擇均勻設(shè)計表,利用使用表進行表頭設(shè)計12/197.3.612/25/2022617.3.612/19/2022217.3.3
數(shù)據(jù)分析對均勻設(shè)計所得到的試驗結(jié)果通常采用回歸分析方法,建立回歸方程。設(shè)在一個試驗中有p個因子。若只考慮y關(guān)于的線性關(guān)系,則可用多元線性回歸方法建立回歸方程,并對每一系數(shù)作顯著性檢驗,然后逐個刪去不顯著的變量,直到所有系數(shù)顯著為止。若考慮y關(guān)于的二次回歸,除每一變量的線性項外,還要考慮變量間的二次項、乘積項,那么回歸系數(shù)就有
在本例中p=6,回歸系數(shù)有28個,超過試驗次數(shù)n=17,這時只能用逐步回歸方法從中選出顯著的項建立回歸方程。12/25/2022627.3.3數(shù)據(jù)分析12/19/202222在本例中,根據(jù)背景知識,認為死亡率與含量的對數(shù)有關(guān),因此先將含量進行變換(這里將六個自變量分別取對數(shù)),并考慮其的二次項、交叉乘積項等,用逐步回歸方法,在顯著性水平0.05上挑選變量,所建立的方程如下:12/25/202263在本例中,根據(jù)背景知識,認為死亡率與含量的對數(shù)有關(guān),因此對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下:6.3.7在顯著性水平0.05下,F(xiàn)lf=1.24<F0.95(6,34)=2.40,失擬檢驗的結(jié)果是上述方程是合適的,又F=72.83>F0.95(10,40)=2.10,因而此回歸方程是顯著的。12/25/202264對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下:6.3.7
對每一項回歸系數(shù)的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。所以上面所得到的方程是可信的。此方程對應(yīng)的誤差標準差的估計為,決定系數(shù)是0.948。此方程反映了該種細胞的死亡率與六種重金屬的關(guān)系。從方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加會增加該種細胞的死亡率,Zn與Cd、Ni、Cr、Pb的結(jié)合對該種細胞的死亡率有較大影響。若要尋找最優(yōu)的工藝參數(shù),可通過求極值的方法獲得。12/25/202265對每一項回歸系數(shù)的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。7.3.4
SAS回歸分析Datasasuser.DOE346;InputCdCuZnNiCrPbY;CdCu=Cd*Cu;CdZn=Cd*Zn;CdNi=Cd*Ni;CdCr=Cd*Cr;CdPb=Cd*Pb;CuZn=Cu*Zn;CuNi=Cu*Ni;CuCr=Cu*Cr;CuPb=Cu*Pb;ZnNi=Zn*Ni;12/25/2022667.3.4SAS回歸分析12/19/2022267.3.4
SAS回歸分析ZnCr=Zn*Cr;ZnPb=Zn*Pb;NiCr=Ni*Cr;NiPb=Ni*Pb;CrPb=Cr*Pb;Cd2=Cd*Cd;Cu2=Cu*Cu;Zn2=Zn*Zn;Ni2=Ni*Ni;Cr2=Cr*Cr;Pb2=Pb*Pb;12/25/2022677.3.4SAS回歸分析12/19/2022277.3.4
SAS回歸分析Cards;…;ProcRegdata=sasuser.DOE346;ModelY=CdCuZnNiCrPbCdCuCdZnCdNiCdCrCdPbCuZnCuNiCuCrCuPbZnNiZnCrZnPbNiCrNiPbCrPbCd2Cu2Zn2Ni2Cr2Pb2/selection=stepwisesls=0.05sle=0.05;Run;12/25/2022687.3.4SAS回歸分析12/19/2022287.3.4
SAS回歸分析
在本例中R2=0.9479
模型:F=72.83,P<0.0001可得回歸方程(取對數(shù)后值):Y=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*Ni-0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr+0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd+0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni經(jīng)SAS或Lingo求極小值得到:
Cd=0.00,Cu=0.00,Ni=0.00,Zn=3.00Cr=3.00,Pb=0.00時,Ymin=24.286112/25/2022697.3.4SAS回歸分析12/19/202229§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)前面講了單形格子設(shè)計和單形重心設(shè)計,但是這些方法都存在一些缺陷:一、眾多個試驗點都被安排在試驗區(qū)域的頂點或者邊界上,這樣的試驗相當于缺少幾種混料成分,不是真正的混料試驗;二、試驗點在試驗區(qū)域內(nèi)部的分布十分不均勻,影響混料效果。特別是在生物化學(xué)反應(yīng)試驗中,缺少某些混料成分,化學(xué)反應(yīng)可能不會進行,或者生成了其它產(chǎn)物。為此,人們提出了均勻混料設(shè)計。所謂均勻混料設(shè)計,就是在均勻設(shè)計中使所有試驗點在試驗區(qū)域內(nèi)盡可能均勻地散布。12/25/202270§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)
均勻混料設(shè)計的主要步驟如下:(1)給定試驗因子p和試驗次數(shù)n,選用合適的均勻設(shè)計表Un(np-1),用ukj記表中第k行第j列的元素。(2)對于每個k和j,計算(3)計算12/25/202271§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)(4)計算(5)計算(6)計算12/25/202272§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)
例7.2:對p=3,n=11的均勻設(shè)計,生成均勻混料設(shè)計UM11(113)的過程。此時上述公式可以簡化為:12/25/202273§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDe§7.4均勻混料設(shè)計(UniformMixtureDesign)
結(jié)果見下表UM11(113)試驗u1u2c1c2x1x2x31141/227/220.7870.1450.0682293/2217/220.6310.0840.2853375/2213/220.5230.1950.2824417/221/220.4360.5390.02655119/2221/220.3600.0290.61166311/225/220.2930.5460.16177613/2211/220.2310.3840.384
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