第七章均勻設計

§7.1均勻設計表§7.2均勻設計的使用表§7.3均勻設計的數據分析§7.4均勻混料設計12/25/20221第七章均勻設計§7.1均勻設計表12/19/20221前言

均勻設計(UniformDesign)是由中國數學家王元和方開泰于1978年首次提出的,采用均勻設計表來安排試驗的方法。其最初在我國導彈設計中應用，經過20多年的發展和推廣，均勻設計已在我國有較廣泛的普及，并在醫藥、生物、化工、航天、電子、軍事工程等諸多領域中使用，取得了顯著的經濟和社會效益。與均勻設計幾乎同期出現在西方流行的“拉丁超立方體抽樣”與均勻設計在本質上是一致的。12/25/20222前言12/19/20222王元方開泰中國科學院數學研究所中國科學院院士中國科學院應用數學研究所北京師范大學－香港浸會大學聯合國際學院美國數理統計科學院終身院士美國統計學會終身院士12/25/20223王元方開泰中國科學院數學研究所中國科學院應用數學研究所12/§7.1均勻設計表

7.1.1均勻設計概述

例7.1為了研究環境污染對人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響，考察老鼠體內某種細胞的死亡率。將每一種重金屬看成一個因子，每一因子取17個水平。試驗如何設計？如果采用正交設計，那么至少要進行172=289次試驗。如果采用二次回歸正交設計那么也至少要進行26-1+2×6+1=45次試驗，試驗次數都較多。能否減少試驗次數？均勻設計便是針對這種情況提出的一種設計方法。12/25/20224§7.1均勻設計表12/19/20224

均勻設計是用均勻設計表安排試驗，而用回歸分析進行數據分析的一種試驗設計方法。基本想法是要使試驗點在因子空間中具有較好的均勻分散性。均勻設計同正交設計一樣，也是部分因子設計的只要方法之一，是一種穩健試驗設計。

適用范圍：試驗因子多、因子取值范圍大、因子水平多（一般不少于5），而試驗次數相對較少的情況。12/25/20225均勻設計是用均勻設計表安排試驗，而用回歸分析進行數據分析7.1.2均勻設計表均勻設計表是均勻設計的基本工具，它是用數論方法編制的。1.均勻設計表Un(qm)均勻設計表用代號Un(qm)表示，U表示均勻設計表，它有n行，m列，每列的水平數為q。

12/25/202267.1.2均勻設計表12/19/20226均勻設計表U7(76)該表的每一列都是的一個特定排列。

12/25/20227均勻設計表U7(76)該表的每一列都是

該表的特點是：（1）對任意的n都可以構造均勻設計表，并且行數n與水平數q相同，因此試驗次數少；（2）列數可按下面規則給出：

當n為素數時，列數最多等于n-1；譬如上面n=7，所以列數最多為n-1=6列；

當n是合數時，設，其中為素數，為正整數，那么列數為

譬如n=9，由于9=32，所以列數為列。

12/25/20228該表的特點是：12/19/202282.另一類均勻設計表

對于n為合數的表，一般列數較少，不太適用。譬如n=6時，由于n=2×3，經計算，所以列數只有2列。因為均勻設計表U7(76)最后一行全是“7”組成的，故劃去這一行，相當于減少一個水平。所以建議用U7(76)劃去最后一行的方法得到，為區別起見，記為12/25/202292.另一類均勻設計表12/19/20229§7.2均勻設計的使用表7.2.1均勻設計表的使用在用均勻設計表安排試驗時，因為任意兩列的均勻性是不同的，用哪些列是有講究的。譬如用安排兩個因子時，用1,3列與用1,6列的均勻性是不同的，試驗點在平面上的分布見圖7.2.1。前者分布比較均勻。7.2.112/25/202210§7.2均勻設計的使用表7.2.112/19/202217.2.2“均勻性”的度量通常用“偏差”來度量均勻性，偏差愈小均勻性愈好。（1）把均勻設計表Un(nm)中每一行看成m維空間中的一個點，其m個坐標必是集合中的某個數。（2）用線性變換將均勻地變換到區間[0，1]中的某個數。此線性變換為：

Un(nm)中n個試驗點變換成Cm=[0，1]m中的n個點。考慮Un(nm)中n個試驗點的均勻性等價于考慮在[0，1]m中的均勻性。12/25/2022117.2.2“均勻性”的度量12/19/202211

（3）設是[0，1]m中任一點，則

為多維矩形的體積，且。（4）記為n個點落在多維矩形的個數，則表示有多少比例的點落在矩形中。若此n個點在[0，1]m中均勻散布，則與該多維矩形的體積相差不大。（5）設是[0，1]m中的n個點，則稱

為點集{}在[0，1]m中的偏差(D)，或星偏差。12/25/202212（3）設是[0，1]m中任一點偏差(D)的缺點用（星）偏差來度量均勻性的缺點之一是不夠靈敏，有時明顯不同的兩個均勻設計會出現相同的偏差；缺點之二是與原點有關，所有矩形都從原點開始。為了克服上述偏差的缺點，人們有研究出很多其它的偏差度量方法。其它的偏差

CD2——中心化L2偏差

WD2——可卷的L2偏差

MD2——修正的L2偏差

SD2——對稱化L2偏差其中，用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后來方開泰教授新研制的均勻設計表大都基于最小的CD2偏差。12/25/202213偏差(D)的缺點12/19/2022137.2.3

使用均勻設計表偏差D可對任一均勻設計表或中任意二列、任意三列、…進行計算，從中選出使D達到最小的列作為使用列，從而形成使用表。如下表就是的使用表，s表示因子數。均勻設計表的使用表若從中選出5列使用，就會使偏差D過大，故建議不使用，把使用表中不出現的列剔去，并重新編號，可以得到及其使用表。12/25/2022147.2.3使用均勻設計表12/19/202214均勻設計表及其使用表

使用表說明：當安排兩個因子時，第1、3列是最佳的選擇，若安排4個因子，第1、2、3、4是最佳選擇。

12/25/202215均勻設計表及其使用表使用表說明：當安排兩

均勻設計表U7(74)與的使用表

由表上的D值可知，在表上加“*”的比不加“*”的均勻，因此在實際中我們首先使用加“*”的均勻設計表。但是可安排的因子較少。對于各因子不等水平的均勻設計，可以直接采用混合水平均勻設計表，或者采用擬水平法設計。12/25/202216均勻設計表U7(74)與的使用表7.2.4新均勻設計表由于基于CD2偏差和WD2偏差的均勻設計表具有更好的均勻性，方開泰教授在2000年左右研制了2580多張新的均勻設計表。參見本章提供給大家的附件文件夾“第七章均勻設計表UniformDesign”。或登錄方開泰教授的“均勻設計網站”：.hk/UniformDesign/查詢。12/25/2022177.2.4新均勻設計表12/19/202217§7.3均勻設計數據分析均勻設計的試驗數據的處理通常采用回歸分析的方法，回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性回歸模型，可以通過逐步回歸的方法篩選變量。下面通過一個例子來說明均勻設計及其數據的分析步驟。

例7.1

為了研究環境污染對人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響，為此考察老鼠體內某種細胞的死亡率，為了了解誤差，每一水平組合重復三次。12/25/202218§7.3均勻設計數據分析12/19/2022187.3.1

試驗設計1．明確試驗目的：了解六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響。

2．明確試驗指標：老鼠體內某種細胞的死亡率。3．確定因子與水平：這里因子都是定量的。水平可以是等間隔的，也可以是不等間隔的。

本例中有六種重金屬可看作六個因子，每一因子取17個水平，其水平值均為：（單位：ppm）0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14,16，18，20注意：水平必須按順序排列12/25/2022197.3.1試驗設計12/19/202219

4．選擇均勻設計表，利用使用表進行表頭設計由于這里考察六個因子，每一因子取17個水平，可以用表U17（1716），六個因子按使用表的規定分別置于1，2，3，5，7，8列上，得到試驗計劃（見表7.3.6），表中括號內的數據是水平編號，括號外的數據是水平取值。7.3.2

進行試驗，獲得試驗結果本例在每一水平組合下進行三次重復試驗，試驗結果列在表7.3.6的最后三列上。12/25/2022204．選擇均勻設計表，利用使用表進行表頭設計12/197.3.612/25/2022217.3.612/19/2022217.3.3

數據分析對均勻設計所得到的試驗結果通常采用回歸分析方法，建立回歸方程。設在一個試驗中有p個因子。若只考慮y關于的線性關系，則可用多元線性回歸方法建立回歸方程，并對每一系數作顯著性檢驗，然后逐個刪去不顯著的變量，直到所有系數顯著為止。若考慮y關于的二次回歸，除每一變量的線性項外，還要考慮變量間的二次項、乘積項，那么回歸系數就有

在本例中p=6，回歸系數有28個，超過試驗次數n=17，這時只能用逐步回歸方法從中選出顯著的項建立回歸方程。12/25/2022227.3.3數據分析12/19/202222在本例中，根據背景知識，認為死亡率與含量的對數有關，因此先將含量進行變換（這里將六個自變量分別取對數），并考慮其的二次項、交叉乘積項等，用逐步回歸方法，在顯著性水平0.05上挑選變量，所建立的方程如下：12/25/202223在本例中，根據背景知識，認為死亡率與含量的對數有關，因此對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下：6.3.7在顯著性水平0.05下，Flf=1.24<F0.95(6,34)=2.40，失擬檢驗的結果是上述方程是合適的，又F=72.83>F0.95(10,40)=2.10，因而此回歸方程是顯著的。12/25/202224對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下：6.3.7

對每一項回歸系數的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。所以上面所得到的方程是可信的。此方程對應的誤差標準差的估計為，決定系數是0.948。此方程反映了該種細胞的死亡率與六種重金屬的關系。從方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加會增加該種細胞的死亡率，Zn與Cd、Ni、Cr、Pb的結合對該種細胞的死亡率有較大影響。若要尋找最優的工藝參數，可通過求極值的方法獲得。12/25/202225對每一項回歸系數的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。7.3.4

SAS回歸分析Datasasuser.DOE346;InputCdCuZnNiCrPbY;CdCu=Cd*Cu;CdZn=Cd*Zn;CdNi=Cd*Ni;CdCr=Cd*Cr;CdPb=Cd*Pb;CuZn=Cu*Zn;CuNi=Cu*Ni;CuCr=Cu*Cr;CuPb=Cu*Pb;ZnNi=Zn*Ni;12/25/2022267.3.4SAS回歸分析12/19/2022267.3.4

SAS回歸分析ZnCr=Zn*Cr;ZnPb=Zn*Pb;NiCr=Ni*Cr;NiPb=Ni*Pb;CrPb=Cr*Pb;Cd2=Cd*Cd;Cu2=Cu*Cu;Zn2=Zn*Zn;Ni2=Ni*Ni;Cr2=Cr*Cr;Pb2=Pb*Pb;12/25/2022277.3.4SAS回歸分析12/19/2022277.3.4

SAS回歸分析Cards;…；ProcRegdata=sasuser.DOE346;ModelY=CdCuZnNiCrPbCdCuCdZnCdNiCdCrCdPbCuZnCuNiCuCrCuPbZnNiZnCrZnPbNiCrNiPbCrPbCd2Cu2Zn2Ni2Cr2Pb2/selection=stepwisesls=0.05sle=0.05;Run;12/25/2022287.3.4SAS回歸分析12/19/2022287.3.4

SAS回歸分析

在本例中R2=0.9479

模型：F=72.83，P<0.0001可得回歸方程（取對數后值）：Y=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*Ni-0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr+0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd+0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni經SAS或Lingo求極小值得到：

Cd=0.00，Cu=0.00，Ni=0.00，Zn=3.00Cr=3.00，Pb=0.00時，Ymin=24.286112/25/2022297.3.4SAS回歸分析12/19/202229§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）前面講了單形格子設計和單形重心設計，但是這些方法都存在一些缺陷：一、眾多個試驗點都被安排在試驗區域的頂點或者邊界上，這樣的試驗相當于缺少幾種混料成分，不是真正的混料試驗；二、試驗點在試驗區域內部的分布十分不均勻，影響混料效果。特別是在生物化學反應試驗中，缺少某些混料成分，化學反應可能不會進行，或者生成了其它產物。為此，人們提出了均勻混料設計。所謂均勻混料設計，就是在均勻設計中使所有試驗點在試驗區域內盡可能均勻地散布。12/25/202230§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

均勻混料設計的主要步驟如下：（1）給定試驗因子p和試驗次數n，選用合適的均勻設計表Un(np-1)，用ukj記表中第k行第j列的元素。（2）對于每個k和j，計算（3）計算12/25/202231§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）（4）計算（5）計算（6）計算12/25/202232§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

例7.2：對p=3,n=11的均勻設計，生成均勻混料設計UM11(113)的過程。此時上述公式可以簡化為：12/25/202233§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

結果見下表UM11(113)試驗u1u2c1c2x1x2x31141/227/220.7870.1450.0682293/2217/220.6310.0840.2853375/2213/220.5230.1950.2824417/221/220.4360.5390.02655119/2221/220.3600.0290.61166311/225/220.2930.5460.16177613/2211/220.2310.3840.38488815/2215/220.1740.2630.56399217/223/220.1210.7590.12010101019/2219/220.0710.1270.8031111521/229/220.0230.5770.40012/25/202234§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

均勻混料設計UM11(113)單形重心設計可以看到均勻混料設計試驗點的相當均勻的分布在單形內，試驗完成后，同樣采用回歸分析。回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性模型。12/25/202235§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe

例7.3在一個新金屬材料研制中，含三種金屬成分，擬采用均勻混料設計UM15(153)。NOx1x2x3YNOx1x2x3Y10.81740.10350.07918.225690.24720.17570.577110.136220.68380.05270.26358.7794100.20420.76930.02659.376030.59180.36740.04089.5115110.16330.25100.585710.277240.51700.17710.30599.5619120.12440.55450.32119.865250.45230.41990.12789.9145130.08710.09130.821610.102260.39450.02020.58539.5526140.05130.79060.15819.179270.34170.32910.32929.9481150.01680.42610.55719.956580.29290.49500.212110.124112/25/202236例7.3在一個新金屬材料研制中，含三種金屬成分，擬逐步回歸分析（SAS）Datasasuser.fang147;Inputx1-x3Y;x12=x1*x2;x13=x1*x3;x23=x2*x3;Cards;……;ProcRegdata=sasuser.fang147;ModelY=x1-x3x12x13x23/nointselection=stepwisesls=0.1sle=0.1;Run;12/25/202237逐步回歸分析（SAS）Datasasuser.fang14回歸分析結果在本例中R2=0.9997回歸模型：F=7961.6，P<0.0001各回歸系數顯著性VariableParameterSSFPx17.359636.0756822.86<.0001x28.577649.65101132.50<.0001x310.9838161.71973688.71<.0001x127.92081.693838.63<.0001可得回歸方程：Y=7.3596*x1+8.5776*x2+10.9838*x3+7.9208*x1*x212/25/202238回歸分析結果12/19/202238混料設計中注意的問題1.如果試驗方案處理數比較少時，容易接近于飽和設計，以致誤差項自由度過小，可適當設置重復。處理數較多時，誤差項自由度較大，可以少設或者不設置重復。2.因子水平數與試驗處理數同步增加，如果水平數太多不便于實施或致使水平間效應差異過小，易于被誤差掩蓋，可以適當減少水平數，可以采用擬水平法，或采用Un(qs)均勻表。12/25/202239混料設計中注意的問題1.如果試驗方案處理數比較少時，容易接近ClassisOverThankYouClassisOverThankYou第七章均勻設計

§7.1均勻設計表§7.2均勻設計的使用表§7.3均勻設計的數據分析§7.4均勻混料設計12/25/202241第七章均勻設計§7.1均勻設計表12/19/20221前言

均勻設計(UniformDesign)是由中國數學家王元和方開泰于1978年首次提出的,采用均勻設計表來安排試驗的方法。其最初在我國導彈設計中應用，經過20多年的發展和推廣，均勻設計已在我國有較廣泛的普及，并在醫藥、生物、化工、航天、電子、軍事工程等諸多領域中使用，取得了顯著的經濟和社會效益。與均勻設計幾乎同期出現在西方流行的“拉丁超立方體抽樣”與均勻設計在本質上是一致的。12/25/202242前言12/19/20222王元方開泰中國科學院數學研究所中國科學院院士中國科學院應用數學研究所北京師范大學－香港浸會大學聯合國際學院美國數理統計科學院終身院士美國統計學會終身院士12/25/202243王元方開泰中國科學院數學研究所中國科學院應用數學研究所12/§7.1均勻設計表

7.1.1均勻設計概述

例7.1為了研究環境污染對人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響，考察老鼠體內某種細胞的死亡率。將每一種重金屬看成一個因子，每一因子取17個水平。試驗如何設計？如果采用正交設計，那么至少要進行172=289次試驗。如果采用二次回歸正交設計那么也至少要進行26-1+2×6+1=45次試驗，試驗次數都較多。能否減少試驗次數？均勻設計便是針對這種情況提出的一種設計方法。12/25/202244§7.1均勻設計表12/19/20224

均勻設計是用均勻設計表安排試驗，而用回歸分析進行數據分析的一種試驗設計方法。基本想法是要使試驗點在因子空間中具有較好的均勻分散性。均勻設計同正交設計一樣，也是部分因子設計的只要方法之一，是一種穩健試驗設計。

適用范圍：試驗因子多、因子取值范圍大、因子水平多（一般不少于5），而試驗次數相對較少的情況。12/25/202245均勻設計是用均勻設計表安排試驗，而用回歸分析進行數據分析7.1.2均勻設計表均勻設計表是均勻設計的基本工具，它是用數論方法編制的。1.均勻設計表Un(qm)均勻設計表用代號Un(qm)表示，U表示均勻設計表，它有n行，m列，每列的水平數為q。

12/25/2022467.1.2均勻設計表12/19/20226均勻設計表U7(76)該表的每一列都是的一個特定排列。

12/25/202247均勻設計表U7(76)該表的每一列都是

該表的特點是：（1）對任意的n都可以構造均勻設計表，并且行數n與水平數q相同，因此試驗次數少；（2）列數可按下面規則給出：

當n為素數時，列數最多等于n-1；譬如上面n=7，所以列數最多為n-1=6列；

當n是合數時，設，其中為素數，為正整數，那么列數為

譬如n=9，由于9=32，所以列數為列。

12/25/202248該表的特點是：12/19/202282.另一類均勻設計表

對于n為合數的表，一般列數較少，不太適用。譬如n=6時，由于n=2×3，經計算，所以列數只有2列。因為均勻設計表U7(76)最后一行全是“7”組成的，故劃去這一行，相當于減少一個水平。所以建議用U7(76)劃去最后一行的方法得到，為區別起見，記為12/25/2022492.另一類均勻設計表12/19/20229§7.2均勻設計的使用表7.2.1均勻設計表的使用在用均勻設計表安排試驗時，因為任意兩列的均勻性是不同的，用哪些列是有講究的。譬如用安排兩個因子時，用1,3列與用1,6列的均勻性是不同的，試驗點在平面上的分布見圖7.2.1。前者分布比較均勻。7.2.112/25/202250§7.2均勻設計的使用表7.2.112/19/202217.2.2“均勻性”的度量通常用“偏差”來度量均勻性，偏差愈小均勻性愈好。（1）把均勻設計表Un(nm)中每一行看成m維空間中的一個點，其m個坐標必是集合中的某個數。（2）用線性變換將均勻地變換到區間[0，1]中的某個數。此線性變換為：

Un(nm)中n個試驗點變換成Cm=[0，1]m中的n個點。考慮Un(nm)中n個試驗點的均勻性等價于考慮在[0，1]m中的均勻性。12/25/2022517.2.2“均勻性”的度量12/19/202211

（3）設是[0，1]m中任一點，則

為多維矩形的體積，且。（4）記為n個點落在多維矩形的個數，則表示有多少比例的點落在矩形中。若此n個點在[0，1]m中均勻散布，則與該多維矩形的體積相差不大。（5）設是[0，1]m中的n個點，則稱

為點集{}在[0，1]m中的偏差(D)，或星偏差。12/25/202252（3）設是[0，1]m中任一點偏差(D)的缺點用（星）偏差來度量均勻性的缺點之一是不夠靈敏，有時明顯不同的兩個均勻設計會出現相同的偏差；缺點之二是與原點有關，所有矩形都從原點開始。為了克服上述偏差的缺點，人們有研究出很多其它的偏差度量方法。其它的偏差

CD2——中心化L2偏差

WD2——可卷的L2偏差

MD2——修正的L2偏差

SD2——對稱化L2偏差其中，用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后來方開泰教授新研制的均勻設計表大都基于最小的CD2偏差。12/25/202253偏差(D)的缺點12/19/2022137.2.3

使用均勻設計表偏差D可對任一均勻設計表或中任意二列、任意三列、…進行計算，從中選出使D達到最小的列作為使用列，從而形成使用表。如下表就是的使用表，s表示因子數。均勻設計表的使用表若從中選出5列使用，就會使偏差D過大，故建議不使用，把使用表中不出現的列剔去，并重新編號，可以得到及其使用表。12/25/2022547.2.3使用均勻設計表12/19/202214均勻設計表及其使用表

使用表說明：當安排兩個因子時，第1、3列是最佳的選擇，若安排4個因子，第1、2、3、4是最佳選擇。

12/25/202255均勻設計表及其使用表使用表說明：當安排兩

均勻設計表U7(74)與的使用表

由表上的D值可知，在表上加“*”的比不加“*”的均勻，因此在實際中我們首先使用加“*”的均勻設計表。但是可安排的因子較少。對于各因子不等水平的均勻設計，可以直接采用混合水平均勻設計表，或者采用擬水平法設計。12/25/202256均勻設計表U7(74)與的使用表7.2.4新均勻設計表由于基于CD2偏差和WD2偏差的均勻設計表具有更好的均勻性，方開泰教授在2000年左右研制了2580多張新的均勻設計表。參見本章提供給大家的附件文件夾“第七章均勻設計表UniformDesign”。或登錄方開泰教授的“均勻設計網站”：.hk/UniformDesign/查詢。12/25/2022577.2.4新均勻設計表12/19/202217§7.3均勻設計數據分析均勻設計的試驗數據的處理通常采用回歸分析的方法，回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性回歸模型，可以通過逐步回歸的方法篩選變量。下面通過一個例子來說明均勻設計及其數據的分析步驟。

例7.1

為了研究環境污染對人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響，為此考察老鼠體內某種細胞的死亡率，為了了解誤差，每一水平組合重復三次。12/25/202258§7.3均勻設計數據分析12/19/2022187.3.1

試驗設計1．明確試驗目的：了解六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響。

2．明確試驗指標：老鼠體內某種細胞的死亡率。3．確定因子與水平：這里因子都是定量的。水平可以是等間隔的，也可以是不等間隔的。

本例中有六種重金屬可看作六個因子，每一因子取17個水平，其水平值均為：（單位：ppm）0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14,16，18，20注意：水平必須按順序排列12/25/2022597.3.1試驗設計12/19/202219

4．選擇均勻設計表，利用使用表進行表頭設計由于這里考察六個因子，每一因子取17個水平，可以用表U17（1716），六個因子按使用表的規定分別置于1，2，3，5，7，8列上，得到試驗計劃（見表7.3.6），表中括號內的數據是水平編號，括號外的數據是水平取值。7.3.2

進行試驗，獲得試驗結果本例在每一水平組合下進行三次重復試驗，試驗結果列在表7.3.6的最后三列上。12/25/2022604．選擇均勻設計表，利用使用表進行表頭設計12/197.3.612/25/2022617.3.612/19/2022217.3.3

數據分析對均勻設計所得到的試驗結果通常采用回歸分析方法，建立回歸方程。設在一個試驗中有p個因子。若只考慮y關于的線性關系，則可用多元線性回歸方法建立回歸方程，并對每一系數作顯著性檢驗，然后逐個刪去不顯著的變量，直到所有系數顯著為止。若考慮y關于的二次回歸，除每一變量的線性項外，還要考慮變量間的二次項、乘積項，那么回歸系數就有

在本例中p=6，回歸系數有28個，超過試驗次數n=17，這時只能用逐步回歸方法從中選出顯著的項建立回歸方程。12/25/2022627.3.3數據分析12/19/202222在本例中，根據背景知識，認為死亡率與含量的對數有關，因此先將含量進行變換（這里將六個自變量分別取對數），并考慮其的二次項、交叉乘積項等，用逐步回歸方法，在顯著性水平0.05上挑選變量，所建立的方程如下：12/25/202263在本例中，根據背景知識，認為死亡率與含量的對數有關，因此對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下：6.3.7在顯著性水平0.05下，Flf=1.24<F0.95(6,34)=2.40，失擬檢驗的結果是上述方程是合適的，又F=72.83>F0.95(10,40)=2.10，因而此回歸方程是顯著的。12/25/202264對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下：6.3.7

對每一項回歸系數的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。所以上面所得到的方程是可信的。此方程對應的誤差標準差的估計為，決定系數是0.948。此方程反映了該種細胞的死亡率與六種重金屬的關系。從方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加會增加該種細胞的死亡率，Zn與Cd、Ni、Cr、Pb的結合對該種細胞的死亡率有較大影響。若要尋找最優的工藝參數，可通過求極值的方法獲得。12/25/202265對每一項回歸系數的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。7.3.4

SAS回歸分析Datasasuser.DOE346;InputCdCuZnNiCrPbY;CdCu=Cd*Cu;CdZn=Cd*Zn;CdNi=Cd*Ni;CdCr=Cd*Cr;CdPb=Cd*Pb;CuZn=Cu*Zn;CuNi=Cu*Ni;CuCr=Cu*Cr;CuPb=Cu*Pb;ZnNi=Zn*Ni;12/25/2022667.3.4SAS回歸分析12/19/2022267.3.4

SAS回歸分析ZnCr=Zn*Cr;ZnPb=Zn*Pb;NiCr=Ni*Cr;NiPb=Ni*Pb;CrPb=Cr*Pb;Cd2=Cd*Cd;Cu2=Cu*Cu;Zn2=Zn*Zn;Ni2=Ni*Ni;Cr2=Cr*Cr;Pb2=Pb*Pb;12/25/2022677.3.4SAS回歸分析12/19/2022277.3.4

SAS回歸分析Cards;…；ProcRegdata=sasuser.DOE346;ModelY=CdCuZnNiCrPbCdCuCdZnCdNiCdCrCdPbCuZnCuNiCuCrCuPbZnNiZnCrZnPbNiCrNiPbCrPbCd2Cu2Zn2Ni2Cr2Pb2/selection=stepwisesls=0.05sle=0.05;Run;12/25/2022687.3.4SAS回歸分析12/19/2022287.3.4

SAS回歸分析

在本例中R2=0.9479

模型：F=72.83，P<0.0001可得回歸方程（取對數后值）：Y=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*Ni-0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr+0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd+0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni經SAS或Lingo求極小值得到：

Cd=0.00，Cu=0.00，Ni=0.00，Zn=3.00Cr=3.00，Pb=0.00時，Ymin=24.286112/25/2022697.3.4SAS回歸分析12/19/202229§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）前面講了單形格子設計和單形重心設計，但是這些方法都存在一些缺陷：一、眾多個試驗點都被安排在試驗區域的頂點或者邊界上，這樣的試驗相當于缺少幾種混料成分，不是真正的混料試驗；二、試驗點在試驗區域內部的分布十分不均勻，影響混料效果。特別是在生物化學反應試驗中，缺少某些混料成分，化學反應可能不會進行，或者生成了其它產物。為此，人們提出了均勻混料設計。所謂均勻混料設計，就是在均勻設計中使所有試驗點在試驗區域內盡可能均勻地散布。12/25/202270§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

均勻混料設計的主要步驟如下：（1）給定試驗因子p和試驗次數n，選用合適的均勻設計表Un(np-1)，用ukj記表中第k行第j列的元素。（2）對于每個k和j，計算（3）計算12/25/202271§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）（4）計算（5）計算（6）計算12/25/202272§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

例7.2：對p=3,n=11的均勻設計，生成均勻混料設計UM11(113)的過程。此時上述公式可以簡化為：12/25/202273§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDe§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

結果見下表UM11(113)試驗u1u2c1c2x1x2x31141/227/220.7870.1450.0682293/2217/220.6310.0840.2853375/2213/220.5230.1950.2824417/221/220.4360.5390.02655119/2221/220.3600.0290.61166311/225/220.2930.5460.16177613/2211/220.2310.3840.384