HL判定三角形全等判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理（HL）在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.注意：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.題型1：用HL判定三角形全等1.如圖，AD、BC相交于點O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求證：△ACB≌△BDA．【答案】證明：∵∠C=∠D=90°，∴△ACB和△BDA都是直角三角形，在Rt△ACB和RtAB=BA∴Rt△ACB≌【解析】【分析】先求出△ACB和△BDA都是直角三角形，再利用HL證明三角形全等即可。【變式1-1】已知：如圖，∠A=∠D=90°，BE=EC.求證：△ABC≌△DCB.【答案】證明：在△ABE和△DCE中∠A=∠D∴△ABE≌△DCE（AAS）∴AB=DC∵∠A=∠D=90°∴在Rt△ABC和Rt△DCB中AB=DC∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）【解析】【分析】先由等腰三角形的性質得出∠ACB=∠DBC，再由AAS證明△ABE≌△DCE得到AB=DC，再由HL證明△ABC≌△DCB即可.【變式1-2】已知：如圖，點C、D，在線段AB上，且AC=BD，AE=BF，ED⊥AB，FC⊥AB．求證：AE∥BF．【答案】∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠DEA＝∠FCB＝90°，又∵AC＝BD，∴AD＝BC，在Rt△AED和Rt△BFC中，AE=BFAD=BC∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL）∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.【解析】【分析】先由HL證明兩直角三角形全等，對應角相等，再由內錯角相等兩直線平行即可得證.題型2：全等的判定條件選擇2.如圖，AC⊥BE于點C，DF⊥BE于點F，BC＝EF，如果添加一個條件后，可以直接利用“HL”來證明△ABC≌△DEF，則這個條件應該是（）A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．∠B=∠E【答案】C【解析】【解答】由題意可知，一對直角邊相等，即BC＝EF，根“HL”定理，證明Rt△ABC≌Rt△DEF，還需補充一對斜邊相等，即AB＝DE.故答案為C.【分析】先求出BC＝EF，再根據全等三角形的判定方法判斷求解即可。【變式2-1】如圖所示，在下列條件中，不能判斷△ABD≌△BAC的條件是（）A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．BD=AC，∠BAD=∠ABCC．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC D．AD=BC，BD=AC【答案】B【解析】【解答】解：A、符合AAS，能判斷兩個三角形全等，故該選項不符合題意；B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是兩條邊的夾角，不能判斷兩個三角形全等，故該選項符合題意；C、符合AAS，能判斷兩個三角形全等，故該選項不符合題意；D、符合SSS，能判斷兩個三角形全等，故該選項不符合題意；故答案為：B．【分析】根據全等三角形的判定方法判斷即可。【變式2-2】如圖，在△ABC和△DEC中，已知CB=CE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（）A．AC=DC，AB=DE B．AC=DC，∠A=∠DC．AB=DE，∠B=∠E D．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E【答案】B【解析】【解答】解：由題知：CB=CE；A選項，AC=DC、AB=DE、CB=CE，滿足定理：SSS，使ΔABC?ΔEDC，故A選項正確；B選項，AC=DC、∠A=∠D、CB=CE，不滿足定理，使ΔABC?ΔEDC，故B選項不正確；C選項，AB=DE、∠B=∠E、CB=CE，滿足定理：SAS，使ΔABC?ΔEDC，故C選項正確；D選項，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE、∠B=∠E、CB=CE，滿足定理：ASA，使ΔABC?ΔEDC，故D選項正確.故答案為：B.【分析】要使△ABC≌△DEC，已知CB=CE，可根據SSS、SAS、ASA進行逐一判斷即可.題型3：直角三角形全等的判定與求度數3.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度數．【答案】（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠ABC=∠CBF=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CFAB=CB∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∵∠CAE=25°，∴∠BAE=45°-25°=20°，∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=20°，∴∠BFC=90°-20°=70°．【解析】【分析】（1）根據題目條件，由兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊對應相等，即可證明兩個直角三角形全等。（2）在直角三角形CBA中，根據題意可得，∠BAC=45°，即可求得∠BAE=20°，根據（1）中證明的Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠FCB=20°，在直角三角形BFC中，根據三角形的內角和為180°，即可求得∠BFC的度數。【變式3-1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC交BC于點D，點D到AB、AC的距離相等，且∠B=70°，求【答案】解：如下圖，過點D分別作AB、AC的垂線交于點E、F，∵點D到AB、AC的距離相等，∴DE=DF，又∵∠AED=∠AFD=90°，AD是△ADE與△ADF的公共邊，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠CAD=∠BAD，對于Rt△ABD，∠BAD=90°-∠B=20°，∴∠CAD=20°.【解析】【分析】根據點D到AB、AC的距離相等，可得AD是∠BAC的角平分線，然后根據三角形的內角和公式可求得∠BAD，繼而求得∠CAD.【變式3-2】如圖，點C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求證：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度數．【答案】（1）證明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC=∠BED=90°，在△ABC和△BED中，?∴△ABC≌△BED（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△BED，∴∠DBE=∠CAB，∵∠ABC=90°，∴∠CAB+∠ACB=90°．∴∠DBE+∠ACB=90°．∴在△BFC中，∠BFC=90°．【解析】【分析】（1）在兩個直角三角形中，已知的條件有：AB=BE、BC=DE、∠ABC=∠E=90°，即可由SAS判定兩個三角形全等．（2）根據（1）題證得的全等三角形，可得到∠DBE=∠A，由于∠A、∠BCF互余，所以∠FBC、∠BCF互余，即∠BFC是直角．題型4：直角三角形全等的判定與求長度4.如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，點P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D，E，已知DC=2，求BE的長．【答案】解：∵∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°，AC=BC，∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ACD和△CEB中，?∴△ACD≌△CEB（AAS），∴BE=CD=2．【解析】【分析】已知了CD的長，求BE的長，可通過證明三角形BEC和ACD全等來得出．這兩個三角形中已知的條件只有一組直角，根據∠ABC=∠BAC=45°，因此∠ACB=90°，AC=BC，我們發現∠DAC和∠BCE同為∠ACD的余角，因此∠DAC=∠BCE，這樣就構成了三角形ACD和BCE全等的條件，兩三角形全等．這樣就能求出BE、CD的關系就能得出BE的長．【變式4-1】如圖，∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延長線于F，且BC=DC.（1）BE與DF是否相等？請說明理由；（2）若DF=1cm，AD=3cm，則AB的長為cm.【答案】（1）解：BE=DF，理由是：∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△CEB和Rt△CFD中，BC=DC∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴BE=DF；（2）5【解析】【解答】解：（2）在Rt△AFC和Rt△AEC中，AC=AC，CF=CE∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AE=AF，∵AD=3cm，DF=1cm，∴AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，∴AB=AE+BE=5cm.故答案為：5.【分析】（1）根據角平分線的性質可得CE=CF，然后利用HL證明△CEB≌△CFD，據此可得結論；（2）易證△AFC≌△AEC，得到AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，然后根據AB=AE+BE進行計算.【變式4-2】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）若AD=12，DE=7，請直接寫出BE的長．【答案】（1）證明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD=90°，∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE（2）解：BE=5【解析】【解答】（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE，BE=CD，∴BE=CD=AD?DE=5．【分析】（1）根據等角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，再利用∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC，可證明△ACD≌△CBE；（2）根據全等三角形的性質可得BE=CD，CE=AD=12，再利用線段的和差計算出CD=CE-DE即可。題型5：直角三角形全等的判定與證明5.如圖，在△ABC中，AC=BC，直線l經過點C，過A、B兩點分別作直線l的垂線AE、BF，垂足分別為E、F，AE=CF，求證：∠ACB=90°【答案】證明：在Rt△ACE和Rt△CBF中，AC=BCAE=CF∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）∴∠EAC=∠BCF∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACB=180°-90°=90°.【解析】【分析】先證出Rt△ACE≌Rt△CBF，得出∠EAC=∠BCF，從而得出∠ACE+∠BCF=90°，即可得出∠ACB的度數.【變式5-1】如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB【答案】證明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝ADCD＝DE∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∴△DEB的周長=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∴△DEB的周長等于AB的長.【解析】【分析】根據AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性質得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，從而得出△DEB的周長，即可得出結論。【變式5-2】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,AE⊥BC于點E,AF⊥CD交CD的延長線于點F,BE=DF．求證：點A在∠BCD的平分線上．【答案】證明：在Rt△AEB和Rt△AFD中，AB=ADBE=DF∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF．∵AE⊥BC于點E，AF⊥CD交CD的延長線于點F，∴點A在∠BCD的平分線上．【解析】【分析】由HL判定Rt△AEB≌Rt△AFD，再根據角平分線的判定定理即可得出結論．題型6：直角三角形全等的判定與求探究6.（1）問題原型：如圖1，在銳角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于點D，在AD上取點E，連接BE，使BE=AC．求證：DE=CD；（2）問題拓展：如圖2，在問題原型的條件下，F為BC的中點，連接EF并延長至點M，使FM=EF，連接CM．判斷線段AC與CM的大小關系，井說明理由；（3）問題延伸：在上述問題原型和問題拓展條件及結論下，在圖②中，若連接AM，則△ACM為三角形．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90，∴∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴∠ABC=∠BAD，∴AD=BD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BD=AD∴△BDE≌△ADC（HL），∴DE=CD；（2）AC=CM，理由：∵點F是BC中點，∴BF=CF在△BEF和△CMF中，BF=CF∴△BEF≌△CMF（SAS），∴BE=CM；由（1）知，BE=AC，∴AC=СM；（3）等腰直角三角形【解析】【解答】解：（3）如圖②連接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，∴∠BED=∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，∴∠EBF=∠BCM，∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°，∵AC=CM，∴△ACM為等腰直角三角形．【分析】（1）利用HL證出△BDE≌△ADC，即可得出結論；（2）利用SAS證出△BEF≌△CMF，由（1）知，BE=AC，即可得出結論；（3）連接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，得出∠BED=∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，得出∠EBF=∠BCM，再根據∠ACM=∠ACD+∠BCM即可得出答案。【變式6-1】如圖①，C、F分別為線段AD上的兩個動點，BC⊥AD，垂足為C，EF⊥AD，垂足為F，且AB==DE，AF=CD，點G是AD與BE的交點.（1）求證∶BG=EG;（2）當C、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結論能否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明：∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，∴AC＝DF，在Rt△ABC和Rt△DFE中，AB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），∴BC＝EF∵BC⊥AD，EF⊥AD∴BC//EF∴∠FEG=∠CBG在△EFG和△BCG中∠FEG=∠CBG∴△EFG≌△BCG（ASA）∴EG＝BG（2）解：成立.證明如下：∵BC⊥AD，EF⊥AD∴∠ACB＝∠DFE＝90°∵AF＝CD∴AF－FC＝CD－FC∴AC＝DF在Rt△ABC和Rt△DFE中AB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）∴∠A＝∠D在△DEG和△ABG中∠D=∠A∴△DEG≌△ABG（AAS）∴EG＝BG【解析】【分析】（1）由HL證明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由ASA證明出△EFG≌△BCG（ASA）得出EG＝BG；（2）由HL證明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由AAS證明出△DEG≌△ABG（AAS）得出EG＝BG.【變式6-2】已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AC=CE，BC=DE．（1）試猜想線段AC與CE的位置關系，并證明你的結論．（2）若將CD沿CB方向平移至圖2情形，其余條件不變，結論AC（3）若將CD沿CB方向平移至圖3情形，其余條件不變，結論AC【答案】（1）解：AC⊥CE理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△CDE中AC=CE∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL)，∴∠A=∠DCE∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠ACE=180°?(∠DCE+∠ACB)=90°，∴AC⊥CE（2）解：成立，理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABC1和Rt△C∴Rt△ABC∴∠A=∠DC∵∠B=90°，∴∠A+∠AC∴∠DC在△C1F∴A（3）解：成立，理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠AB在Rt△ABC1和Rt△C∴Rt△ABC∴∠A=∠DC∵∠ABC∴∠A+∠AC在△C1F∴A【解析】【分析】（1）先求出，再利用HL證明三角形全等，求出，最后進行證明求解即可；（2）先求出，再證明Rt△ABC1≌Rt△C（3）先求出，再證明Rt△ABC1≌Rt△C2DE(HL)，一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，則下列結論，一定成立的是（）A．BD＝AD B．∠B＝∠CC．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD【答案】B【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB與Rt△ADC中，AD=ADAB=AC∴Rt△ADB?Rt△ADC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=CD，故答案為：B.【分析】根據HL證明Rt△ADB?Rt△ADC，利用全等三角形的性質進行判斷即可.2．如圖，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，則∠2=（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°∴△ABC和△ADC均為直角三角形在Rt△ABC和Rt△ADC中∵CB=CD∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)∴∠1=∠CAD∵∠2+∠CAD+∠D=180°∴∠2=180°?90°?30°=60°故答案為：D．【分析】利用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ADC可得∠1=∠CAD，再利用三角形的內角和求出∠2=180°?90°?30°=60°即可。3．如圖，在等腰RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點D，DE⊥BC，若BC=10cm，則△DEC的周長為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD，在Rt△ABD和Rt△EBD中，∵BD=BDAD=DE∴RtΔABD≌RtΔEBD(∴AB=BE，∴△DEC的周長=DE+CD+CE=AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，∵BC=10cm，∴△DEC的周長是10cm．故答案為：B．【分析】先利用“HL”證明RtΔABD≌RtΔEBD，可得AB=BE，再利用三角形的周長公式可得△DEC的周長=DE+CD+CE=BC，再結合BC=10，即可得到答案。4．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內角∠ABC的平分線BE交于點E，若∠BEC=40°，則∠CAE的度數為（）A．65° B．60° C．55° D．50°【答案】D【解析】【解答】解：如圖，過點E作EF⊥BA交BA延長線于點F，EM⊥AC于點M，EN⊥BC交BC延長線于點N，設∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=x°，EM=EN，∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠EBC，EF=EN，∴EF=EM，∵∠BEC=40°，∴∠ABE=∠EBC=∠ECD–∠BEC=（x-40）°，∴∠BAC=∠ACD–∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM=EF，∴Rt△EFA≌Rt△EMA（HL），∴∠FAE=∠EAC=50°．故答案為：D【分析】先求出EF=EM，再利用全等三角形的判定與性質求解即可。5．如圖，E是正方形ABCD的邊DC上一點，過點A作FA＝AE交CB的延長線于點F，若AB＝4，則四邊形AFCE的面積是（）A．4 B．8 C．16 D．無法計算【答案】C【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD∴∠ABF=∠ABC=90°∵AF=AE∴Rt△AFB≌Rt△AED(HL)∴∴∵AB＝4，∴∴故答案為：C【分析】先利用“HL”證明Rt△AFB≌Rt△AED，再利用全等的性質可得S△AFB=S6．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結論中正確的個數（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】【解答】解：①過點P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴CP平分∠ACF，故①符合題意；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，PM=PDPA=PA∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合題意；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝12∴∠ACB＝2∠APB，③符合題意；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合題意，故答案為：D．【分析】①過點P作PD⊥AC于D，由角平分線的性質可得PM＝PN＝PD，根據角平分線的判定即證CP平分∠ACF，故正確；②證明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四邊形內角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正確；③利用角平分線的定義及三角形外角的性質可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝12∠ABC+∠APB，從而得出∠ACB＝2∠APB，故正確；④利用全等三角形的性質可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN7．如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD=PE，則直接判定△APD與△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【答案】D【解析】【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ADP和Rt△AEP中PD=PEAP=AP∴Rt△ADP?Rt△AEP(HL)，故答案為：D．【分析】根據題意可得：∠ADP=∠AEP=90°，再結合PD=PE，AP=AP，可利用“HL”證明全等。8．如圖，點E是BC的中點，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列結論：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③【答案】A【解析】【解答】解：過E作EF⊥AD于F，如圖，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，過E作EF⊥AD于F，∴BE=EF，AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而點E是BC的中點，∴EC＝EF＝BE，所以③錯誤；∵EC＝EF，ED=ED，∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正確；∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正確；∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝12∠BEC＝90°，所以①綜上：①②④正確，故答案為：A【分析】利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可證得BE=EF，AE=AE，利用HL證明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的對應邊和對應角相等，可證得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由線段中點的定義可證得EC＝EF＝BE，可對③作出判斷；利用HL證明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性質可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可對②作出判斷；同時可推出AD＝AB＋DC，可對④作出判斷；然后求出∠AED的度數，可對①作出判斷；綜上所述可得到正確結論的序號.二、填空題9．如圖所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，若AB＝13cm，則△DBE的周長為.【答案】13cm【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∵∠C=∠DEA=90∴△CAD?△EAD(HL)，∴AC=AE，∵AC=BC，∴BC=AE，AB＝13cm，∴△DBE的周長=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=13cm.故答案為：13cm.【分析】由角平分線的性質可得DE=DC，證明△CAD≌△EAD，得到AC=AE，結合AC=BC可得BC=AE，然后將△DBE的周長轉化為AB，據此解答.10．如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，則∠EDF＝．【答案】55°【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE與△Rt△CFD中，BE=CDBD=CF∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF=180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【分析】先利用HL得出Rt△BDE≌△Rt△CFD，再由全等三角形的對應角相等得出∠BED=∠CDF，根據∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD的度數，得出∠BED的度數，即可求出∠EDF的度數。11．如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，則∠EDF＝．【答案】55°【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE與△Rt△CFD中，BE=CDBD=CF∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF=180°-90°-35°=55°．故答案是：55°．【分析】根據∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD=35°，根據“HL”證明Rt△BDE≌△Rt△CFD，再利用全等三角形的性質求解即可。三、解答題12．如圖，在三角形ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點D，DB＝BC，求證：AC=AE+DE．【答案】證明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB=∠C=90°，在Rt△BED和Rt△BEC中，BD=BCBE=BE∴Rt△BED≌Rt△BE