二十九平面向量的數量積及應用基礎落實練? 3()分鐘60分一、單選題(每小題5分，共20分)(2021?武漢模擬)已知平面向量a=(l,-3),b=(4,-2),若4a—6與6垂直，則4=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】選D.由已知得/a—b=(八一4,—3兒+2),因為4a—b與6垂直，所以(4a—6)*b=0,即(4一4,一34+2)?(4,—2)=0,所以44一16+64-4=0,解得4=2.(2020?全國卷HI)已知向量a,2＞滿足/&/=5,/?/=6,a? 6,則cos〈a,a+b)=()13 19 17 19A.-35一記C-35D-35【解析】選D.由a?(a+b)=/a/2+a?力=25—6=19,又|a+b|=7#+2a?b+6=7,z,ma-(a+b) 19 19所以cos〈a,a+b〉=-|a||a+b|=藥=記.(2021?長沙模擬)已知向量a,6滿足〃/=2/a/=2,a與b的夾角為120°,則—2引=()A.gB.①C.13D.21【解析】選B.由題意知/a/=l,〃/=2,a,b=l,所以/a—2b/=、(a—2b)?=yj1ali-4a?b+41bli .已知在矩形4靦中，46=4,AD=2,若E,6分別為48,8C的中點，則龐?房=( )A.8B.10C.12D.14【解析】選B.方法一：（定義法）根據題意，得龐-DF=（DA+窟）?（應'+中）=而-DC+DA?CF+AE?DC+AE?CF=0+2XlXcos0+2X4Xcos0+0=10.方法二：（坐標法）

以點4為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.則/(0,0),8(4,0),。(4,2),〃(0,2).因為其6分別為48,%的中點，所以￡(2,0),網4,1).因為龐=(2,-2),為=(4,—1),所以龐?DF=2X4+(-2)X(-1)=10.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)(2022保定模擬)已知向量a=(/,1),b=(cos0,sin。)，則下列說法正確的是( )A.存在〃G(0,3,使得a_L力B.存在0 ,使得C.對于任意(0，—,a, (1,2]D.對于任意°e(0, ,\a-b\^[\,小)【解析】選BCD.對A：a?b=y[3cos0+sin0=2sin[。+勺)，若&，力，則2sin(夕+號)=°，因為3,此時。無解，故A錯誤；對B：若a〃b,則(sin。-cos0=0,因為。e(0,—|,JT所以好不，故B正確;因為夕￡(0,4(因為夕￡(0,4對C：a?b=2sinI鄉+彳ji(兀5、所以。+可《可，R,

則sin 小所以a,6=2sinfG(1,2],故C正確;對D：|a-b\="\/(-\/3—cos—。)'+11—sin—9)J=\5-4cos(0一至j，因為0G所以cos（，一高/1,則|a—6|w[l,y[i）,故D正確.（2022?珠海模擬）已知是邊長為2的等邊三角形，D,E分別是4?的中點，BD與應交于點0,則下列說法正確的是（）AB-CE=-1B.BD=^BC+}:BAC.=0C.=07D-前在比方向上的投影數量氣【解析】選BC.依題意可知，。是等邊三角形力比'的重心.A選項，1BLCE,AB-CE=0,A錯誤.B選項，BD=1（BC+BA） 反'+）及I,B正確.乙 乙 乙C選項，|游+辦I■笳I=I20E+0c\=I0I=o，c正確.D選項，|應J=*T=小,ZECB=^,所以初在度方向上的投影數量為EC?cos看二小X乎=|,D錯誤.三、填空題（每小題5分，共10分）.已知單位向量a,b的夾角為45°,松一6與a垂直，則在=.【解析】由題意，得a?b=/a/?"/cos45°=多.因為向量4a—6與a垂直，所以(Aa—力)?a—ka-a?b—k~~=0,解得仁坐.答案:當.已知正方形4用力的邊長為2,點P滿足力=；(AB+AC)，則|協|=；PB?協【解析】方法一：如圖，在正方形力靦中，由9(法+而)得點尸為比的中點,所以I協=#,PB>Pb=麗*(PC+CD)=磅?PC+PB?CD=磅?PC=1X1Xcos180°=-l.方法二：因為力(AB+AC),所以P為6。的中點.以力為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意知力(0,0),8(2,0),C(2,2),〃(0,2),尸(2,D，所以口(2-0)2+(1-2)2=#，或=(0,-1),~PD=(-2,1),所以磅'PD=(0,-1)?(-2,1)=-1,答案：鄧-1四、解答題(每小題10分，共20分).在平面直角坐標系X以中，點力(一1,—2),5(2,3),。(一2,-1).⑴求以線段力。為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長.(2)設實數t滿足(宓-tOC)?充=0,求力的值.【解析】(1)由已知費=(3,5),衣=(-1,1),則AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以I拔+AC|=2、/歷，\AB-AC|=4*.所以所求的兩條對角線的長分別為，2?.(2)由已知，OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2力，5+)由(宓-t充)?充=0得(3+235+力?(-2,-1)=0,所以5￡=—11,10.在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點力(1,0)和點6(—1,0),|充|=1,且=x,其中。為坐標原點.Q冗(1)若*=丁，設點〃為線段的上的動點，求|%+必I的最小值.n~| 一(2)若0,—,向量勿=6。，n=(1—cosx,sinx—2cosx),求必?〃的最小值及對應的X值.【解析】⑴設〃(t,0)(0W1WD,當戶牛時,可得《一平‘用,所以應'+ob=(—乎+3乎］，所以國+應「=，—陰 (OWtWl),

所以當k平時，|充+應「取得最小值為T,故|%+勿I的最小值為多.(2)由題意得C(cosx,sinx),m=BC=(cosx+1,sinx),則m?〃=l—cos'x+sir?x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1—y[2sin[刀+彳).ji因為0,—,ji n5nTOC\o"1-5"\h\z所以下《2x+二 .4 4 4n ji ji所以當2x+丁=—,即x——時，4 / om?n=l—取sin(2*+1)取得最小值1一第，所以卬的最小值為1—m,此時*=看.素養提升練 20分鐘4（）分1.已知非零向量1.已知非零向量a,6滿足|a=2b,且（a—，）_L6,則a與b的夾角＜?為（C.D.5C.D.5ji~6【解析】選B.因為(a—b)_L6,所以(a—b)?b=a?b—萬=0,所以a?b=6,f-rpi ,,a'b _1所以cose=\a,\b=可而=2'所以a與b的夾角為g.2.（多選題）（2022?廣州模擬）已知e,a是兩個單位向量，入￡1?時，|3+46」的最小值

,則下列結論正確的是（）Ji 2nA.e”。的夾角是7 B.e”色的夾角是飛-C.I61+02I 0.I61+ftI=1【解析】選ABD.因為e，⑨是兩個單位向量，且必+乂員|的最小值為手,所以（e,+人金尸的最小值為,，3（61+兒8）：=,a+1的最小值為牙，即A+2461?比+:=0在兒GR上有唯 個解,所以/=（2良?段）2—1=0,所以6?a=土），所以61與仇的夾角為《或等，所以A,B乙 OO正確，所以I6+a|2=1或3,所以ledal=1或，5,所以D正確.幽畫【加練備選】（2021?承德模擬）已知△46。中，AB=2,47=1,AB?AC=1,。為△46。所在平面內一點，且9+208+3OC=0,則而?BC的值為（ ）A.-1B.1C.4D.-4【解析】選A.因為湯+2OB+WC=0,所以9+2（湯+布）+3（而+而）=0,所以油衣衣

*成_6

一成1-3

-2而1-2.若向量a=（〃，3）,6=（1,4）,c=（2,1）,已知2a—36與c的夾角為鈍角，則A的取值范圍是.【解析】因為2a—3b與c的夾角為鈍角，所以（2a—36）?c<0,即（24—3,-6）-（2,1）

<0,2A-—3 Q所以44—6—6V0,所以〃V3.若2a—3人與c反向共線，則一--=—6,解得力=一弓，此乙 乙時夾角不是鈍角，綜上所述，女的取值范圍是一8U3時夾角不是鈍角，綜上所述，女的取值范圍是一8U3H【加練備選】(2021?威海模擬)己知向量a=(2,-6),b=(3,ni),若/a+6/=/a-b/,則/=.【解析】方法一：因為a=(2,-6),b—(3,ni),所以a+6=(5,/zz—6),a-b—(—1,—m—6),由|a+b/=/a-/>/得5°+(加一6尸=(-1)'+(一/一6尸，解得勿=1.方法二：由/a+b/=/a—b/,兩邊平方得a?/>=(),因為a=(2,-6),b=(3,血，所以2X3+(—6)X勿=0,解得/=1.答案：1.如圖，已知等腰△月肉中，AB=AC=3,BC=\,點P是邊宛上的動點，則9?(AB+AC)【解析】取比1的中點。，易知而+AC=2AD,^.ADLBC.所以力?(AB+AC)=2AP?AD=2AD2.又AB=AC=?>,BC=4,所以AD=y/32-22=^5.故力?(AB+AC)=2AD-=10.答案：10皿1【加練備選】已知平面向量a,6滿足/a/=l,㈤=2,1a+b\ ，則a在6方向上的投影等于.【解析】因為|a1=l,b\=2,\a+b\=^/3,所以(a+6)=a-+b\2+2a*Z>=5+2a?b=3,所以a?b=l,所以a在b方向上的投影為若=-1.答案：6.（2022?重慶模擬）已知平面直角坐標系中，向量a=（V,1）,b=（-2,1+x）.⑴若al.by求x\（2）當x>0時，求;a—b的最小值.【解析】⑴因為a_L6,所以a?6=0,Bp—2x2+l+^=0,解得x=l或x=-g；(2)a—A=(x+2,—x),則[a—51//2?c、2?; lx+5x+4=-q(、+2)+(-X)-=yjp—=q.+[+5 =3(x>0),4 L當且僅當片=,即x=*時取等號，故最小值為3.6.（能力挑戰題）如圖，正方形力用刀的邊長為6,點￡,b分別在邊力〃，BC上,豆DE=2AE,CF=2BF.若有入G（7,16）,則在正方形的四條邊上，求使得庵?用'=4成立的點〃的個數.【解析】以〃為坐標原點，〃。所在直線為*軸，%所在直線為y軸，建立平面直角坐標系,如圖，則￡（0,4）,尸（6,4）,①若P在Q?上，設P(x,0),0W后6,所以庵=(—x,4),PF=(6—x,4),所以庵?序' -6x+16=(x-3￥+7,因為xG[0,6],所以7W庵?PF^16,PE?PF=A,4G(7,16)成立的P點有2個；②若P在上，設P(0,y),0<j<6,所以庵=(0,4—y),PF=(6,4—y),所以距?PF=(4一力2,因為(KK6,所以0《詼?PF<16,PE?PF=A,兒W(7,16)的夕點有1個；③若夕在45上，設P(x,6),0<后6,詼