..三角形"四心"概念及性質重心垂心外心內心定義三角形的三條______的交點。三角形的三條_____的交點。三角形的______的圓心,也就是三角形三邊的______的交點。三角形的______的圓心,也就是三角形三內角的______的交點。圖形性質三角形的重心分中線比為______。三角形的外心到_____距離相等。三角形的內心到______距離相等。與三角形的位置關系必在三角形的_______。銳角三角形在_____,鈍角三角形在____,直角三角形在_____。銳角三角形在____,鈍角三角形在_____,直角三角形在_____。必在三角形的______。

〔學生填表時,教師巡視,看到有的學生不會填"四心"位置,啟發他們多畫幾個不同形狀的三角形試試,讓學生會從特殊到一般的思想方法。

師：三角形的重心有什么性質？

生甲：分中線為1:2。

生乙：分中線為3:1。

師：應當把重心看成中線的內分點,即頂點到重心與重心到對邊中點的距離之比是2:1。三角形的垂心性質,課本上沒有明確提出過,不必填上。但如果題中有兩條以上的高線,就應想到"四點共圓"。如圖1,H是垂心,有幾組四點共圓？〔學生回答略。

師：外心與內心各有什么性質？〔學生回答略。[通過上述問題的討論,讓學生從對比中認識點到點的距離與點直線距離的區別,從而更好地理解概念,加深印象。]

〔教師在黑板上畫一個直角三角形,一個鈍角三角形,讓學生上黑板作垂心,然后歸納總結。

師：銳角三角形的垂心必在形內,鈍角三角形的垂心必在形外,直角三角形的垂心就是直角頂點。[通過實際畫圖,強化垂心可能在形外的情況,練一遍勝過背幾遍。]

師：至于外心,請同學們課后用同樣的方法畫幾個不同形狀的三角形來驗證結論的正確性。

上面,我們歸納了"四心"中每個"心"與三角形的相對位置關系。下面,我們再考慮"四心"在同一三角形中的位置有什么關系？先考慮在等腰三角形中"四心"的位置關系。

生：都在同一條直線上。

師：在哪一條直線上？

生：在底邊上的中線或底邊上的高或頂角的平分線上。

師：對！三線合一,"四心"在三角形的對稱軸上。

師：等邊三角形的"四心"位置又有什么關系呢？

生：都重合成一個點了。

師：這"四心"共點,這個點叫什么名稱？

生："中心",

師：等邊三角形叫做正三角形。正三角形的重心、內心、垂心、外心重合成一個點,就是正三角形的"中心"。"中心"是正多邊形所特有的,不是正多邊形就沒有中心。因此三角形中只有等邊三角形才有中心,其他三角形都沒有中心。[把課本中學過的幾個"心"都串起來了,揭示出其內在的聯系,讓學生能夠系統地掌握知識。]二、練習

師：我們先做下面的練習：已知三角形的三邊長分別為5、12、13,那么垂心到外心的距離是多少？

生：6.5。

師：怎么得到的？

生：如圖2,因為已知三角形是直角三角形,外心是斜邊的中點,垂心是直角頂點,所以,此兩"心"距離是斜邊中點到頂點的距離,利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半的性質,便可得出已知三角形的垂心到外心的距離為。

師：為什么已知三角形是直角三角形呢？

生甲：根據勾股定理得出。

師：對不對？

〔生甲一時回答不出。

生乙：不對,應是根據勾股定理的逆定理。

師：對！回答推理根據時,要弄清是勾股定理還是勾股定理的逆定理。

〔教師讓學生敘述勾股定理還是勾股定理的,分析其區別與聯系。

師：重心到垂心的距離是多少？

生：。

師：為什么乘以？

生：根據重心性質。

師：性質是2:1,而現在是2:3,其中有什么關系？請大家觀察圖3進行思考。[提出這個問題的目的,是為了幫助中、下程度的學生進一步理解線段比的變化,明白解題的道理。]

師：垂心到最大邊的距離是多少？先請同學們思考一下,這距離應是圖2中哪條線段的長度？

生甲：是斜邊上的高。

師：怎樣計算斜邊上的高呢？

生甲：可以用相似形計算。

師：有沒有更簡便的辦法？

生乙：利用面積計算。

∵S△,

師：利用面積解題是一種常用的辦法,同學們應對此引起足夠的重視,靈活地加以運用。

重心到最長邊的距離是多少？

生：如圖4,重心到最長邊的距離是指GH的長,通過兩線平行,對應線段成比例的性質,可計算出GH的長為即,結果是。

師：對！這里同樣也到了重心的性質。[反復運用重心性質,有利于學生記憶和靈活應用。]

師：外心到最短邊的距離是多少？

生：如圖5,外心到最短的距離為。

〔反應快的學生脫口而出是6,教師追問其理由,并順便復習有關定理。

師：內心到重心的距離是多少？

〔學生交頭接耳,紛紛討論解題的方法,教師簡要地指出解題的關鍵。

師：問題的關鍵是求出內切圓半徑r,然后,等腰直角三角形DIC中,求出內心到垂心的距離CI,那么怎樣來求出r呢？請同學們思考一下。

生：根據我們以前在課堂練習中所做的題目,知道。

師：對！這是直角三角形的重要性質之一,希望同學們牢記結論并學會運用。

對于這道練習題的結論,我已換了不少問法,也就是從一個問題演變出其他一些問題,這種"一題多變"與我們以前介紹過的"一題多解"方法一樣都是些好的學習方法。同學們做好題目后,可以思考一下,是否有其他解法——這就是"一題多解"；還可以思考一下,能否把已知條件或求解結論"變"一下——這就是"一題多變"。請大家模仿我剛才的做法試著變變看。當然,有的題目改變以后,可能超過你們現有的知識范圍,解不出來,這不要緊,同學們可以互相討論或者問老師來加以解決。另外,剛才我是通過改變題目的結論來實現一題多變的,還可以改變題目的條件。譬如,剛才的知識水平,編不等邊三角形的題目比較難做,直角三角形的我已編過,你們可以編等腰三角形的試試看,并說出解題的基本思想。[要使學生學好數學,不僅要求學生能一題多解,還要學生能"一題多變",這樣才能真正掌握概念,活學學活。教學中通過對命題結論的更改,引出新命題,可以培養學生思維的多發性；通過對命題條件的更改,引出新命題,可以培養學生思維探索性；通過特殊到一般及一般到特殊的聯想,可以培養學生思維的深刻性,跳躍性。所以說,"一題多變"是培養學生思維的一種有效手段。]

生丙：三角形三邊長為6、6、5,求：〔1三角形外心到重心的距離；〔2三角形外心到最短邊的距離。

這道題的關鍵是求外接圓半徑R,用三角形面積公式S△很方便,也可以用正弦定理。

生丁：三角形三邊長為10、10、。求：〔1三角形外心到重心的距離？〔2三角形內心到最長邊的距離？

這道題實際上是兩個三邊長為的直角三角形拼成的等腰三角形。第〔2小題是求此等腰三角形的內切圓半徑,如圖7,可用面積公式S△=rs求,即；還可以利用等腰三角形三線合一,設內切圓半徑為r,列出方程來解。

師：好！具體如何解這兩道題,留給大家作課外練習,答案明天公布在黑板報上。小結

師：三角形的主要線段——中線、高、內角平分線及各邊的垂直平分線各交于一點,這是客觀規律。人們掌握了這一規律后,為了斜述方便,給它們取了名字——三角形的重心、垂心、內心、外心。這"四心"不要混淆,中線是"重心"〔"中"與"重"諧音,高線是垂心〔高與垂直有關,外接圓圓心是外心,因它到三角形三頂點距離相等,故必是三邊垂直平分線的交點。內切圓圓心是內心,因它到三角形三邊距離相等,所以它必在三內角的平分線上。[這小結不是簡單的重復,而是告訴學生"四心"的來歷及記憶辦法,對學得差的學生尤有幫助。]

師："四心"在同一三角形中的位置關系是：等腰三角形中"四心"共線,在對稱軸上。等邊三角形中"四心"共點,稱為"中心"。

師：任意三角形中"四心"又有什么位置關系呢？同學們可以畫圖試試看,是否有三"心"在一直線上。然后設法自己證明一下你的結論。[其實從例題中就可以看出,直角三角形的外心、垂心在一直線上,故可以猜想任意三角形的此三"心"共線,這樣給學有余力的學生留下了一道結論未確定的半開放性習題。]

師："一題多變"是一種好的學習辦法。同學們解好題后要多思、多回味,養成"一題多變"的思考習慣。"一題多變"可以變題目的結論,也可以變題目的條件,你們經常這樣訓練自己,就可以從被動的做習題變為主動的想問題,就能真正做到舉一反三,靈活運用。作業布置：略。教案說明

這是一堂復習課。我們是怎樣想到設計這一堂課的呢？

一是調查了學生的學習情況。覺得"四心"在課本中是分散在幾個章節里講解的,相當一部分學生對"四心"概念的理解是混淆不清,因此有必要花一堂課幫助學生歸納整理。

二是從教學目的上考慮到數學教學的目的不僅僅是向學生傳授知識,還必須培養學生的能力。學生從初一到初三,隨著年齡、知識的增長,思維能力已有一定的提高。但還未達到質的飛躍。大部分學生為解題而解題,解完題后不善于思索,回味,不善于總結經驗,思維是"被動型"的。為了培養學生的創造性思維,我們覺得有必要在以前講過的"一題多解"的基礎上,向學生介紹"一題多變"的學習方法,變"被動型"思維為"主動型"思維。

三是從課的類型及內容上看,復習課如果光列些條頭糕式的概念,學生聽起來沒勁,教學效果也不會好。于是便想到邊講概念邊練習、邊總結的辦法。在講例題的時候,避免了東一榔頭,西一棒子地讓學生做些題目的做法,而是采用"一題多變"的方法把一道題搞深搞透,即由5,12,13這一組勾股數引出一系列的變化,構造出各類不同的問題,在"變"中求"深"。

四是從教育學、心理學角度看,初中學生注意力集中的時間不會太長,尤其是復習課,如果把它上成"炒冷飯"課,沒有什么新東西,就會使學生更容易感到厭倦。因此,在備課時,就要開動腦筋,如何充分利用45分鐘,想方設法吸引學生的注意力,活躍他們的思維。到最后課快結束時,也就是學生容易疲勞的時候,我卻剛把課引到了高潮,讓學生自己編題。大部分學生躍躍欲試,非常興奮,