--PAGE7-§5.2中心極限定理自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們就發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布例如，一位操作員使用機(jī)床加工機(jī)械軸，其直徑要符合規(guī)定的標(biāo)總是受到許多不可控制的隨機(jī)因素的影響，比如在機(jī)床方面機(jī)床振動與轉(zhuǎn)速的影響在刀具方面有裝配和磨損的影響在鋼材方面有鋼材的成分、產(chǎn)地的影響在操作員方面有注意力、情緒的影響在測量方面有量具誤差、測量技術(shù)的影響在環(huán)境方面有車間的溫度、濕度、工作電壓的影響差。若將這個誤差記為Yn

，那么Yn

是隨機(jī)變量，可以將此隨機(jī)變量視為很多徽小波動X,X , ,X 的和，即1 2 nY X Xn 1 2

Xn當(dāng)n很大時，Yn

的分布或近似分布是什么？在概率論及數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，確定多個隨機(jī)變量之和尤其是獨(dú)立隨機(jī)變量的和Yn

X X1

Xn

的概率分布也是常遇到的問題。除少數(shù)場合，這個概率分布都會相當(dāng)復(fù)雜，以至于即使求出來了也不方便使n時，Yn

的方差一般也會趨于無窮，其分布極不穩(wěn)定，因而應(yīng)考慮Yn

的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量nnVar(Y)nY nnVar(Y)n在n時的極限分布。中心極限定理就是研究隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的極限分布在什么條件下為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。歷史上最早的中心極限定理是1716棣p

1的二項分布的極限分布，而后拉普拉斯把它推廣到2一般的二項分布。這個結(jié)果稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。現(xiàn)在我們可把這個定理看成為獨(dú)立同分布中心極限定理（林德伯格-列維中心極限定理然后再給出棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，最后簡要地介紹在更一般條件下的中心極限定理。獨(dú)立同分布的中心極限定理（）{X

}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)n變量序列，且E(Xi

)，Var(Xi

)2（02，前n個隨機(jī)變量之和Yn

X X1

Xn

的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為記Y E(Y)nnVar(Y)nnnVar(Y)nn

Xininn則Y*n

(x*x弱收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)n n(x)，即對xR，有n XinlimP(in

x)

1

t22e2dt2n 只要nn個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，即

n Xinin

近似服從

N

。或者把

n個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和當(dāng)作正態(tài)變量，即Xii1

近似服從

N(n,n2)。例一個天文學(xué)家要測量遙遠(yuǎn)的恒星到地球之間的距離（單位：光年。天文學(xué)家知道，由于大氣條件及儀器的誤差等因素，每次測量XX,,X獨(dú)立同分1 2 n布，且E(X)d（d為距離真值，Var(X)4，那么要重復(fù)測量多少1 1次才能有95%的把握達(dá)到0.5光年的精度?解:由中心極限定理n X ndiii12 n近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,因此 P(|1n n i1

d|0.5)P(

|n Xi2 ni2 n

nd

n n )2( )14 4測量次數(shù)n應(yīng)滿足2(從而

)10.95n4nn1.96,即n61.47,所以應(yīng)作62n4二項分布的正態(tài)近似定理（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）設(shè)Xn（n,,，則對xR，有

～B(n,p)(0plimP(

x)

1

t2。e 2dt。n證明：注意到Xn

YY1

Yn

nnpq2，其中Ynnpq21 2

, ,Yn

獨(dú)立同分布于,p限定理。該中心極限定理是專門針對二項分布的，因此稱為“二項分布的p似效果更佳，而在np50及p)50時，用正態(tài)近似較好。npqX～B(n,p)(0p，在nXnpq

近似服從標(biāo)準(zhǔn)正npqX近似服從正態(tài)分布N(npnpq算時應(yīng)作些修正以提高精度。npqP(Xk)(

k0.5np)npqP(Xk)(npq

k0.5np)PXk)k0.5npk0.5np。npq npq例將一骰子擲100次,求點(diǎn)數(shù)620300400(300400)解:(1

為點(diǎn)數(shù)6

～1),由中心極限定理知X近似服從正態(tài)分布N(100,500),所以6 36P(X20)1P(X20)1(

19.51006 )1(0.76)10.77640.223650036(2)記Y為點(diǎn)數(shù)之,并記Y表示第i次的點(diǎn),i,則iY100Yi

,E(Y)350,Var(Y)

3500,12i1由中心極限定理知Y近似服從正態(tài)分布N(350,3500),所以12P(300Y400)(400.5350)(299.5350)10.997.3500 350012 12p，調(diào)查公司在調(diào)查對象中收看此節(jié)目的頻率?作為收視率p估計?與真實的收視率p的絕對誤差不超過2%的概率至少為95%，問至少要調(diào)查個對象？(假定對象足夠多)解:設(shè)共調(diào)查n個對象，并設(shè)調(diào)查的n個對象中收看此節(jié)目的對象數(shù)為X?

XX～B(n,p),由中心nXN(npnpqn

近似服從正態(tài)分N

pqnP(|Xp|0.02)2(0.02

)1nn pqn由題意,有n2(0.02npq

)10.95,從而n0.02n

pq1.96pq即n982pq,又由于ppq

1,所以只要n9824

2401就可達(dá)到要求.獨(dú)立不同分布下的中心極限定理在實際問題中說諸變量Xi

相互獨(dú)立，在許多場合是可以接受的，但說

“同分布”則會很牽強(qiáng)。正如前面提到的測量誤差的產(chǎn)生是i由大量的微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi

疊加而成的，則諸變量X相i互獨(dú)立但不一定同分布。那么在什么條件下獨(dú)立但不同分布的隨機(jī)變量和的極限分布也是正態(tài)分布。下面給出一個定理。（李雅普諾夫中心極限定理）{X

}相互獨(dú)立，n它們具有數(shù)學(xué)期望和方差，E(Xi0，使得

)i

,D(Xi

2i