第六章狀態反饋和狀態觀測器

6.1狀態反饋的定義及其性質6.2極點配置6.3應用狀態反饋實現解耦控制6.4狀態觀測器第六章狀態反饋和狀態觀測器

6.1狀態反饋的定義及其性16.1狀態反饋的定義及其性質則閉環系統的結構如圖6.1.1所示。給定系統在系統中引入反饋控制律6.1狀態反饋的定義及其性質則閉環系統的結構如圖6.1.2的狀態空間表達式為：圖6.1.1的狀態空間表達式為：圖6.1.13狀態反饋性質(1)時，為單純的狀態變量反饋。若，則，狀態反饋就等價于輸。出反饋。若，則狀態反饋性質(1)時，為單純的狀態變量反饋。若，則，狀態反4①利用矩陣運算直接可推出（見書）(2)D=0時，可以求得閉環系統的傳遞函數陣②在圖6.1.1中令并改用圖6.1.2表示①利用矩陣運算直接可推出（見書）(2)D=0時，可以求得閉5圖6.1.2圖6.1.26

和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數矩陣。輸出反饋傳遞函數陣的公式求出，不難用(為單位矩陣)圖中a和b之間的部分，可以看成是由系統和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數矩陣。輸出反饋傳遞函數陣7于是，從到的傳遞函數矩陣即為于是，從到的傳遞函數矩陣即為8證注意到系統和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線性組合表示。

定理6.1.1對于任何實常量矩陣，系統完全能控的充要條件是系統完全能控。證注意到系統和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以9

的列向量可以由()的的線性組合表示。列向量依此類推，不難看出≤的線性組合表示。這意味著的列向量可以由的列向量的列向量可以由()的的線性組合表示。列向量依此類推，不難10系統也可看成是由系統經過狀態反饋而獲得的，因此，同理有于是定理得證。所以系統的能控性等價于系統的能控性，系統也可看成是由系統經過狀態反饋而獲得的，因此，同理有11

完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統12

：不難判斷，系統仍然是能控的，但已不再能觀測。則閉環系統的狀態空間表達式為：不難判斷，系統仍然是能控的，但已不再能觀測。則閉環系統13

定理6.2.1給定系統通過狀態反饋任意配置極點的充完全能控。要條件6.2.1極點配置定理6.2極點配置定理6.2.1給定系統通過狀態反饋任意配置極點的充完全能14證:只就單輸入系統的情況證明本定理充分性：因為給定系統能控，故通過等價變換必能將它變為能控標準形

這里，為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有，證:只就單輸入系統的情況證明本定理充分性：因為給定系統15對式(6.2.2)引入狀態反饋則閉環系統的狀態空間表達式為對式(6.2.2)引入狀態反饋則閉環系統的狀態空間表達式為16

其中，顯然有系統的閉環特征方程為其中，顯然有系統的閉環特征方程為17同時，由指定的任意個期望閉環極點可求得期望的閉環特征方程通過比較系數，可知同時，由指定的任意個期望閉環極點可求得期望的閉環特征方程18由此即有又因為所以由此即有又因為所以19

且對任意，有非奇異變換陣使系統結構分解必要性：采用反證法，設不完全能控，則必且對任意，有非奇異變換陣使系統結構分解必要性：采用反20解：因為例6.2.1給定系統的狀態空間表達式為求狀態反饋增益陣，使反饋后閉環特征值為系統是狀態完全能控，通過狀態反饋控制律能配置閉環特征值。任意解：因為例6.2.1給定系統的狀態空間表達式為求狀態反饋211)由得2)由得3)1)由得2)由得3)224)5)4)5)236)算法2：直接配置1)將帶入系統狀態方程，求得閉環系統的特征多項式

其中,是反饋矩陣的函數6)算法2：直接配置1)將帶入系統狀態方程，242)計算理想特征多項式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求例6.2.2同例6.2.1。解：設所需的狀態反饋增益矩陣k為因為經過狀態反饋后，閉環系統特征多項式為的2)計算理想特征多項式3)列方程組25根據要求的閉環期望極點，可求得閉環期望特征多項式為根據要求的閉環期望極點，可求得閉環期望特征多項式為26比較兩多項式同次冪的系數，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態反饋增益矩陣為:

與例6.2.1的結果相同6.2.3討論狀態反饋不改變系統的維數，但是閉環傳遞函數的階次可能會降低，這是由分子分母的公因子被對消所致。(1)比較兩多項式同次冪的系數，有：8,812,4232121127對于單輸入單輸出系統，狀態反饋不會移動系統傳遞函數的零點。(2)若系統是不完全能控的，可將其狀態方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。(4)系統綜合往往需要將不穩定的極點，移到

s平面的左半部，這一過程稱為系統鎮定。

只有的全部特征值都具有負實部時，系統才能穩定。對于單輸入單輸出系統，狀態反饋不會移動系統傳遞函數的零點。(286.3應用狀態反饋實現解耦控制6.3.1問題的提出考慮MIMO系統

(6.3.1)6.3應用狀態反饋實現解耦控制6.3.1問題的提出考慮M29式(6.3.2)可寫為在的條件下，輸出與輸入之間的關系，可用傳遞函數描述：(6.3.2)式(6.3.2)可寫為在的條件下，輸出與輸入之間的關系，可30每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們稱這種交互作用的現象為耦合。一般說來，控制多輸入多輸出系統是頗為困的。例如,要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入的控制，這必將大大的簡化控制實現這樣的。控制稱為解耦控制，或者簡稱為解耦。每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們312)狀態反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的圖6.3.1+-1)即系統的輸出個數等于輸入個數；三個基本假定：2)狀態反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的32解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態反饋增益矩陣對,使得系統的傳遞函數陣顯然，經過解耦的系統可以看成是由個獨立單變量子系統所組成。解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態反饋,使得系統的傳遞33圖

6.3.2圖6.3.2346.3.2實現解耦控制的條件和主要結論定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質。1)已知傳遞函數陣其中都是嚴格真的有理分式(或者為零)。令是的分母的次數與分子的次數之差6.3.2實現解耦控制的條件和主要結論定義兩個特征量并簡要35此處的表示的第行。不難看出

由

所唯一確定的

(2)若A,B,C已知，則狀態反饋不改變此處的表示的第行。不難看出由所唯一確定的(2)36例6.3.1給定系統其中:例6.3.1給定系統其中:37其傳遞函數矩陣為:得到:其傳遞函數矩陣為:得到:38因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。39定理6.3.1前面系統在狀態反饋下實現解耦控制的充要條件是為非奇異。其中，定理6.3.1前面系統在狀態反饋下實現解耦控制的充要條件40證：對等式兩邊分別求導，根據和的定義可知證：對等式兩邊分別求導，根據和的定義可知41當且僅當矩陣為非奇異時，由方程組可唯一確定出和在狀態反饋下,有:當且僅當矩陣為非奇異時，由方程組可唯一確定出42輸出僅與輸入有關,且僅能控制。定理得證在狀態反饋下，系統的狀態空間表達式為:輸出僅與輸入有關,且僅能控制。定理得證43

其傳遞函數矩陣為:其傳遞函數矩陣為:446.3.3算法和推論

算法：1)求出系統的2)構成矩陣，若非奇異，則可實現狀態反饋解耦；否則，不能狀態反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態反饋控制律。6.3.3算法和推論算法：2)構成矩陣，若非45例6.3.2給定系統試求使其實現解耦控制的狀態反饋控制律和解耦后的傳遞函數矩陣。例6.3.2給定系統試求使其實現解耦控制的狀態反饋控制律46解：1)在例6.3.1中已求得

2)因為為非奇異的,所以可狀態反饋解耦.3)因為所以有解：1)在例6.3.1中已求得47于是4)反饋后，對于閉環系統有于是4)反饋后，對于閉環系統有48推論：1)能否態反饋實現解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統的傳遞函數矩陣即可確定。3)系統解耦后，每個SISO系統的傳遞函數均為重積分形式。須對它進一步施以極點配置。4)要求系統能控，或者至少能鎮定否則不能。保證閉環系統的穩定性。推論：1)能否態反饋實現解耦控制取決于和。2)496.4狀態觀測器問題的實質就是構造一個新的系統(或者說裝置)，利用原系統中可直接測量的輸入量和輸出量作為它的輸入信號，并使其輸出信號滿足6.4.1狀態觀測器的存在條件定理6.4.1給定線性系統6.4狀態觀測器問題的實質就是構造一個新的系統(或者說50證:因為證:因為51即所以,只有當時，上式中的才能有唯一解即只有當系統是狀態完全能觀測時,狀態向量才能由以及它們的各階導數的線性組合構造出來。即所以,只有當時，上式中的才能有唯一解即526.4.2全維狀態觀測器開環狀態估計器：構造一個與原系統完全相同的模擬裝置(1)6.4.2全維狀態觀測器開環狀態估計器：構造一個與原系統完53圖6.4.1圖6.4.154從所構造的這一裝置可以直接測量。這種開環狀態估計器存在如下缺點：每次使用必須重新確定原系統的初始狀態并對估計器實施設置；①②在

有正實部特征值時，最終總要趨向無窮大。(2)閉環全維狀態觀測器。狀態觀測器的動態方程可寫為：從所構造的這一裝置可以直接測量。這種開環狀態估計器存在如下缺55因為

其解為若,則有由于,觀測器中的特征值配置問題等價與對偶系統中極點配置問題。定理6.4.2若n維線性定常系統是狀態完能觀，則存在狀態觀測器因為其解為若,則有由于56其估計誤差滿足在負共軛特征值成對出現的條件下，可選擇矩陣來任意配置的特征值。例6.4.1為例6.2.1的系統設計一個全維狀態觀測器，并使觀測器的極點為，。解:系統完全能觀測的，可構造任意配置特征值全維狀態觀測器。1)由,得；其估計誤差滿足在負共軛特征值成對出現572)觀測器的期望特征多項式為得；3)4)2)觀測器的期望特征多項式為3)4)585)6)5)6)59得全維狀態觀測器得全維狀態觀測器60其模擬結構如圖為圖6.4.2返回其模擬結構如圖為圖6.4.2返回61第六章狀態反饋和狀態觀測器

6.1狀態反饋的定義及其性質6.2極點配置6.3應用狀態反饋實現解耦控制6.4狀態觀測器第六章狀態反饋和狀態觀測器

6.1狀態反饋的定義及其性626.1狀態反饋的定義及其性質則閉環系統的結構如圖6.1.1所示。給定系統在系統中引入反饋控制律6.1狀態反饋的定義及其性質則閉環系統的結構如圖6.1.63的狀態空間表達式為：圖6.1.1的狀態空間表達式為：圖6.1.164狀態反饋性質(1)時，為單純的狀態變量反饋。若，則，狀態反饋就等價于輸。出反饋。若，則狀態反饋性質(1)時，為單純的狀態變量反饋。若，則，狀態反65①利用矩陣運算直接可推出（見書）(2)D=0時，可以求得閉環系統的傳遞函數陣②在圖6.1.1中令并改用圖6.1.2表示①利用矩陣運算直接可推出（見書）(2)D=0時，可以求得閉66圖6.1.2圖6.1.267

和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數矩陣。輸出反饋傳遞函數陣的公式求出，不難用(為單位矩陣)圖中a和b之間的部分，可以看成是由系統和輸出反饋所組成從到b的傳遞函數矩陣。輸出反饋傳遞函數陣68于是，從到的傳遞函數矩陣即為于是，從到的傳遞函數矩陣即為69證注意到系統和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線性組合表示。

定理6.1.1對于任何實常量矩陣，系統完全能控的充要條件是系統完全能控。證注意到系統和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以70

的列向量可以由()的的線性組合表示。列向量依此類推，不難看出≤的線性組合表示。這意味著的列向量可以由的列向量的列向量可以由()的的線性組合表示。列向量依此類推，不難71系統也可看成是由系統經過狀態反饋而獲得的，因此，同理有于是定理得證。所以系統的能控性等價于系統的能控性，系統也可看成是由系統經過狀態反饋而獲得的，因此，同理有72

完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統73

：不難判斷，系統仍然是能控的，但已不再能觀測。則閉環系統的狀態空間表達式為：不難判斷，系統仍然是能控的，但已不再能觀測。則閉環系統74

定理6.2.1給定系統通過狀態反饋任意配置極點的充完全能控。要條件6.2.1極點配置定理6.2極點配置定理6.2.1給定系統通過狀態反饋任意配置極點的充完全能75證:只就單輸入系統的情況證明本定理充分性：因為給定系統能控，故通過等價變換必能將它變為能控標準形

這里，為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有，證:只就單輸入系統的情況證明本定理充分性：因為給定系統76對式(6.2.2)引入狀態反饋則閉環系統的狀態空間表達式為對式(6.2.2)引入狀態反饋則閉環系統的狀態空間表達式為77

其中，顯然有系統的閉環特征方程為其中，顯然有系統的閉環特征方程為78同時，由指定的任意個期望閉環極點可求得期望的閉環特征方程通過比較系數，可知同時，由指定的任意個期望閉環極點可求得期望的閉環特征方程79由此即有又因為所以由此即有又因為所以80

且對任意，有非奇異變換陣使系統結構分解必要性：采用反證法，設不完全能控，則必且對任意，有非奇異變換陣使系統結構分解必要性：采用反81解：因為例6.2.1給定系統的狀態空間表達式為求狀態反饋增益陣，使反饋后閉環特征值為系統是狀態完全能控，通過狀態反饋控制律能配置閉環特征值。任意解：因為例6.2.1給定系統的狀態空間表達式為求狀態反饋821)由得2)由得3)1)由得2)由得3)834)5)4)5)846)算法2：直接配置1)將帶入系統狀態方程，求得閉環系統的特征多項式

其中,是反饋矩陣的函數6)算法2：直接配置1)將帶入系統狀態方程，852)計算理想特征多項式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求例6.2.2同例6.2.1。解：設所需的狀態反饋增益矩陣k為因為經過狀態反饋后，閉環系統特征多項式為的2)計算理想特征多項式3)列方程組86根據要求的閉環期望極點，可求得閉環期望特征多項式為根據要求的閉環期望極點，可求得閉環期望特征多項式為87比較兩多項式同次冪的系數，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態反饋增益矩陣為:

與例6.2.1的結果相同6.2.3討論狀態反饋不改變系統的維數，但是閉環傳遞函數的階次可能會降低，這是由分子分母的公因子被對消所致。(1)比較兩多項式同次冪的系數，有：8,812,4232121188對于單輸入單輸出系統，狀態反饋不會移動系統傳遞函數的零點。(2)若系統是不完全能控的，可將其狀態方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。(4)系統綜合往往需要將不穩定的極點，移到

s平面的左半部，這一過程稱為系統鎮定。

只有的全部特征值都具有負實部時，系統才能穩定。對于單輸入單輸出系統，狀態反饋不會移動系統傳遞函數的零點。(896.3應用狀態反饋實現解耦控制6.3.1問題的提出考慮MIMO系統

(6.3.1)6.3應用狀態反饋實現解耦控制6.3.1問題的提出考慮M90式(6.3.2)可寫為在的條件下，輸出與輸入之間的關系，可用傳遞函數描述：(6.3.2)式(6.3.2)可寫為在的條件下，輸出與輸入之間的關系，可91每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們稱這種交互作用的現象為耦合。一般說來，控制多輸入多輸出系統是頗為困的。例如,要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入的控制，這必將大大的簡化控制實現這樣的。控制稱為解耦控制，或者簡稱為解耦。每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們922)狀態反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的圖6.3.1+-1)即系統的輸出個數等于輸入個數；三個基本假定：2)狀態反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的93解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態反饋增益矩陣對,使得系統的傳遞函數陣顯然，經過解耦的系統可以看成是由個獨立單變量子系統所組成。解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態反饋,使得系統的傳遞94圖

6.3.2圖6.3.2956.3.2實現解耦控制的條件和主要結論定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質。1)已知傳遞函數陣其中都是嚴格真的有理分式(或者為零)。令是的分母的次數與分子的次數之差6.3.2實現解耦控制的條件和主要結論定義兩個特征量并簡要96此處的表示的第行。不難看出

由

所唯一確定的

(2)若A,B,C已知，則狀態反饋不改變此處的表示的第行。不難看出由所唯一確定的(2)97例6.3.1給定系統其中:例6.3.1給定系統其中:98其傳遞函數矩陣為:得到:其傳遞函數矩陣為:得到:99因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。100定理6.3.1前面系統在狀態反饋下實現解耦控制的充要條件是為非奇異。其中，定理6.3.1前面系統在狀態反饋下實現解耦控制的充要條件101證：對等式兩邊分別求導，根據和的定義可知證：對等式兩邊分別求導，根據和的定義可知102當且僅當矩陣為非奇異時，由方程組可唯一確定出和在狀態反饋下,有:當且僅當矩陣為非奇異時，由方程組可唯一確定出103輸出僅與輸入有關,且僅能控制。定理得證在狀態反饋下，系統的狀態空間表達式為:輸出僅與輸入有關,且僅能控制。定理得證104

其傳遞函數矩陣為:其傳遞函數矩陣為:1056.3.3算法和推論

算法：1)求出系統的2)構成矩陣，若非奇異，則可實現狀態反饋解耦；否則，不能狀態反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態反饋控制律。6.3.3算法和推論算法：2)構成矩陣，若非106例6.3.2給定系統試求使其實現解耦控制的狀態反饋控制律和解耦后的傳遞函數矩陣。例6.3.2給定系統試求使其實現解耦控制的狀態反饋控制律107解：1)在例6.3.1中已求得

2)因為為非奇異的,所以可狀態反饋解耦.3)因為所以有解：1)在例6.3.1中已求得108于是4)反饋后，對于閉環系統有于是4)反饋后，對于閉環系統有109推論：1)能否態反饋實現解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統的傳遞函數矩陣即可確定。3)系統解耦后，每個SISO系統的傳遞函數均為重積分形式。須對它進一步施以極點配置。4)要求系統能控，或者至少能鎮定否則不能。保證閉環系統的穩定性。推論：1)能否態反饋實現解