證明參考復旦《數值逼近》五、最佳一致逼近/*BestUniformApproximation*/

設給定函數 ，則對，存在一多項式，使得對所有一致成立。Bernstein給出了一種構造性證明.Bernstein多項式：注：

Bernstein多項式具有良好的一致逼近性質；如果要求精度很高，Bernstein多項式次數會很高，即它的收斂速度很慢；Chebyshev方法：在所有次數不超過固定次數n的多項式中尋找一個最精確地逼近函數的多項式。故稱之為最佳一致逼近（最佳一致逼近的定義）和的偏差設函數 ，集合如果存在，滿足其中則稱為的n次最佳一致逼近多項式，簡稱n次最佳逼近多項式。稱為的n次最佳逼近或最小偏差幾何意義（Chebyshev交錯點組/*Groupof

AlternatingPoints*/）假設，若存在n個點：滿足

且則稱為在上的Chebyshev

交錯點組。（Chebyshev定理）

設函數，則是的最佳一致逼近多項式的充要條件是：在區間上存在一個至少有n+2個點組成的交錯點組。Chebyshev定理給出了最佳一致逼近多項式滿足的性質僅證充分性，必要性見文獻[3]證明：設在區間上存在交錯點組：則如果不是最佳一致逼近多項式，則存在不妨假設由零點定理同理可知：在點上交錯變號在區間上至少存在n+1個根而（存在唯一性）

設函數，則在中，有唯一的最佳一致逼近多項式。證明：僅證唯一性，存在性見文獻[7]設在中存在兩個不同的最佳一致逼近多項式：和令也是的一個最佳一致逼近多項式由Chebyshev定理在區間上存在交錯點組：不妨假設同理可證因此，不超過n次的多項式有n+2個根時類似可證唯一性成立（最佳一致逼近多項式的一種求法）設在上有n+2階導數，在上不變號，是的最佳一致逼近多項式，則：的端點屬于的交錯點組。證明：設或不屬于的交錯點組反證法則在內至少有n+1個交錯點組：滿足反復利用Rolle定理:矛盾！例1：求函數在上的一次最佳一致逼近多項式。解：設所求的一次最佳一致逼近多項式為：由Th3.10知，和設的交錯點組為：由交錯點組的性質得到相應的方程組為解之得一次最佳一致逼近多項式為：最佳一致逼近多項式求解過程總結設在中所求的最佳一致逼近多項式為：的n+2個交錯點組為：則有n+2個方程，2n+4個未知數當交錯點在區間內部時滿足求最佳一致逼近多項式最終歸結為求解非線性方程組性質4（最佳逼近性質）在區間[-1,1]上，n次首1的Chebyshev多項式是零函數的最佳一致逼近證明：反證法如果存在滿足：則函數在點集上的函數值符號交錯多項式至少有n個零點矛盾！證明見性質4六、Chebyshev近似最佳逼近求法以Chebyshev多項式的零點為節點構造L—插值：引例：取n+1次Chebyshev多項式的n+1個零點為插值節點，則其中由引例知：以Chebyshev零點為節點構造的Lagrange插值余項具有下列性質：性質說明了以Chebyshev零點為節點構造的Lagrange插值多項式可以作為最佳一致逼近多項式的近似插值余項具有最小上界例2：求函數在上的三次近似最佳一致逼近多項式。解：首先作區間轉換本題中n=3，按照上述公式計算出相應節點計算節點值：三次近似最佳一致逼近多項式為：利用Chebyshev多項式縮短冪級數方法（不再詳述）構造Lagrange插值殘量七、離散的最佳逼近問題問題的提法：已知在的函數表是區間上的一個線性無關函數系尋求函數使得在一定意義下達到最小。m=n且時即為插值問題習題三（6）