浙教版九年級上冊二次函數知識點總結及典型例題浙教版九年級上冊二次函數知識點總結及典型例題浙教版九年級上冊二次函數知識點總結及典型例題浙教版九年級上冊二次函數知識點總結及典型例題編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:浙教版九年級上冊二次函數知識點總結及典型例題知識點一、二次函數的概念和圖像1、二次函數的概念一般地，如果特，特別注意a不為零，那么y叫做x的二次函數。叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像二次函數的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數圖像的畫法--------五點作圖法：（1）先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數的圖像。【例1】、已知函數y=x2-2x-3，（1）寫出函數圖象的頂點、圖象與坐標軸的交點，以及圖象與y軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點。然后畫出函數圖象的草圖；（2）求圖象與坐標軸交點構成的三角形的面積：（3）根據第（1）題的圖象草圖，說出x取哪些值時，①y=0；②y<0；③y>0知識點二、二次函數的解析式二次函數的解析式有三種形式：口訣-----一般兩根三頂點（1）一般一般式：（2）兩根當拋物線與x軸有交點時，即對應的一元二次方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。a的絕對值越大，拋物線的開口越小。（3）三頂點頂點式：當題目中告訴我們拋物線的頂點時，我們最好設頂點式，這樣最簡潔。【例1】、拋物線與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，且過（-1，16），求拋物線的解析式。【例2】、如圖，拋物線與x軸的一個交點A在點（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內部）的一個動點，則（1）abc0（＞或＜或=）（2）a的取值范圍是 【例3】、下列二次函數中，圖象以直線x=2為對稱軸，且經過點(0，1)的是()A．y=(x?2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x?2)2?3D．y=(x+2)2?3知識點三、二次函數的最值如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。OO-1OxOy1323如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，，當時，。OO-1OxOy1323【例1】、已知二次函數的圖像（0≤x≤3）如圖所示,關于該函數在所給自變量取值范圍內,下列說法正確的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1,有最大值0C．有最小值－1,有最大值3 D．有最小值－1,無最大值【例2】、某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天l80元時，房間會全部住滿．當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用．根據規定，每個房間每天的房價不得高于340元．設每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數倍)．（1）設一天訂住的房間數為y，直接寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；（2）設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數關系式；（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大最大利潤是多少元知識點四、二次函數的性質1、二次函數的性質函數二次函數圖像a>0a<0y0xy0x性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x≤時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當x≥時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x≤時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x≥時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，2、二次函數中，的含義：表示開口方向：>0時，拋物線開口向上<0時，拋物線開口向下與對稱軸有關：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，）3、二次函數與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點橫坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點。當>0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；當<0時，圖像與x軸沒有交點。【例1】、拋物線y=x2-2x-3的頂點坐標是.【例2】、二次函數有()A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【例3】、由二次函數，可知（）A．其圖象的開口向下B．其圖象的對稱軸為直線C．其最小值為1D．當時，y隨x的增大而增大【例4】、已知函數的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是()A. B. C.且 D.且【例5】、下列函數中,當x>0時y值隨x值增大而減小的是（）．A．y=x2 B．y=x－１ C．y=eq\f(3,4)x D．y=eq\f(1,x)【例6】、若二次函數．當≤l時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（）A．=lB．>lC．≥lD．≤l知識點五、二次函數圖象的平移①對于拋物線y=ax2+bx+c的平移通常先將一般式轉化成頂點式，再遵循左加右減，上加下減的的原則化為頂點式有兩種方法：配方法，頂點坐標公式法。在用頂點坐標公式法求出頂點坐標后，在寫頂點式時，要減去頂點的橫坐標，加上頂點的縱坐標。②沿軸平移：向上（下）平移（m＞0）個單位，變成（或）③當然，對于拋物線的一般式平移時，也可以不把它化為頂點式：向左（右）平移（m＞0）個單位，變成（或）【例1】、將拋物線向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是()A．B．C．D．【例2】、將拋物線y=x2－2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是_______.【例3】、拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過程正確的是()A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位知識點六、拋物線中，a、b、c的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.口訣---左同，右異（a、b同號，對稱軸在y軸左側）（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.【例1】、如圖為拋物線的圖像，A、B、C為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關系中正確的是()A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b<2aD．ac<0【例2】、已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結論中正確的是()A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0xxy-11O1【例3】、如圖所示的二次函數的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你認為其中錯誤的有()A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【例4】、如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為，下列結論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正確的個數是（）A.1B.2C.3D.4【例5】、如圖，是二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-2b+c＞0．其中正確的命題是．（只要求填寫正確命題的序號）【例6】、如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關系正確的是（）A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h知識點七、中考二次函數壓軸題中常用到的公式（浙教版教材上沒講過，但是非常有用，一定要理解性地記憶）APBO1、兩點間距離公式：如圖：點A坐標為（x1，y1），點B坐標為（x2，y2），則AB間的距離，即線段AB的長度為（這實際上是根據APBO2、中點坐標公式：如圖，在平面直角坐標系中，、兩點的坐標分別為，，中點的坐標為．由，得，同理，所以的中點坐標為．3、兩平行直線的解析式分別為：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是說當我們知道一條直線的k值，就一定能知道與它平行的另一條直線的k值。4、兩垂直直線的解析式分別為：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是說當我們知道一條直線的k值，就一定能知道與它垂直的另一條直線的k值。（對于這一條，只要能靈活運用就行，不需要理解）以上四條，我稱它們為坐標系中的“四大金剛”【例1】、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A．B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．（1）求直線AC的解析式及B．D兩點的坐標；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線l∥AC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A．P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．（3）請在直線AC上找一點M，使△BDM的周長最小，求出M點的坐標．【例2】、如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數關系式；（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．【例3】、如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右邊），與y軸交于C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過P作x軸的垂線l交拋物線于點Q。（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N。試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使⊿BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由。練習1、平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是1．5m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示)()A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m2、已知函數，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．33.二次函數的圖象如圖所示，則反比例函數與一次函數在同一坐標系中的大致圖象是（）.4.如圖，已知二次函數的圖象經過點（－1，0），（1，－2），當隨的增大而增大時，的取值范圍是．5.在平面直角坐標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉180°，所得拋物線的解析式是（）．A．B．C．D．6.已知二次函數的圖像如圖，其對稱軸，給出下列結果①②③④⑤，則正確的結論是（）A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤7．拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，下列說法中正確的是．（填寫序號）①拋物線與軸的一個交點為（3,0）；②函數的最大值為6；③拋物線的對稱軸是；④在對稱軸左側，隨增大而增大．8.如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（－2，4），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，連結OA．(1)求△OAB的面積；(2)若拋物線經過點A．①求c的值；②將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△OAB的內部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）．9、“已知函數的圖象經過點A（c，－2），，這個二次函數圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。（1）根據已知和結論中現有的信息，你能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數圖象；若不能，請說明理由。10、如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（-1，0），B(-1，2)，D(3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線y=ax2+bx+c經過點D、M、N．（1）求拋物線的解