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2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺——教育因你我而變好教育云平臺——教育因你我而變8.5橢圓[知識梳理]1.橢圓的定義(1)定義:在平面內到兩定點F1,F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓.這兩定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做(2)集合語言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,且2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0注:當2a>|F1F2|時,軌跡為橢圓;當2a=|F1F2|時,軌跡為線段F1F2;當2a2.橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)圖形續表3.直線與橢圓位置關系的判斷直線與橢圓方程聯立方程組,消掉y,得到Ax2+Bx+C=0的形式(這里的系數A一定不為0),設其判別式為Δ:(1)Δ>0?直線與橢圓相交;(2)Δ=0?直線與橢圓相切;(3)Δ<0?直線與橢圓相離.4.弦長公式(1)若直線y=kx+b與橢圓相交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|.(2)焦點弦(過焦點的弦):最短的焦點弦為通徑長eq\f(2b2,a),最長為2a.5.必記結論(1)設橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上任意一點P(x,y),則當x=0時,|OP|有最小值b,P點在短軸端點處;當x=±a時,|OP|有最大值a,P點在長軸端點處.(2)已知過焦點F1的弦AB,則△ABF2的周長為4a

[診斷自測]1.概念思辨(1)平面內與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓.()(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)表示的曲線是橢圓.()(3)橢圓上一點P與兩焦點F1,F2構成△PF1F2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距).(4)eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)的焦距相同.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2.教材衍化(1)(選修A1-1P35例3)已知橢圓的方程是eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,25)=1(a>5),它的兩個焦點分別為F1,F2,且F1F2=8,弦AB過點F1,則△ABF2的周長為()A.10 B.20C.2eq\r(41) D.4eq\r(41)答案D解析因為a>5,所以橢圓的焦點在x軸上,所以a2-25=42,解得a=eq\r(41).由橢圓的定義知△ABF2的周長為4a=4eq\r(41).故選D.(2)(選修A1-1P42A組T6)已知點P是橢圓eq\f(x2,5)+eq\f(y2,4)=1上y軸右側的一點,且以點P及焦點F1,F2為頂點的三角形的面積等于1,則點P的坐標為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2),1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2),-1))解析設P(x,y),由題意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,則F1(-1,0),F2(1,0),由題意可得點P到x軸的距離為1,所以y=±1,把y=±1代入eq\f(x2,5)+eq\f(y2,4)=1,得x=±eq\f(\r(15),2),又x>0,所以x=eq\f(\r(15),2),∴P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2),1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2),-1)).3.小題熱身(1)(2014·大綱卷)已知橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點為F1,F2,離心率為eq\f(\r(3),3),過F2的直線l交C于A,B兩點.若△AF1B的周長為4eq\r(3),則C的方程為()A.eq\f(x2,3)+eq\f(y2,2)=1 B.eq\f(x2,3)+y2=1C.eq\f(x2,12)+eq\f(y2,8)=1 D.eq\f(x2,12)+eq\f(y2,4)=1答案A解析由題意及橢圓的定義知4a=4eq\r(3),則a=eq\r(3),又eq\f(c,a)=eq\f(c,\r(3))=eq\f(\r(3),3),∴c=1,∴b2=2,∴C的方程為eq\f(x2,3)+eq\f(y2,2)=1,故選A.(2)橢圓Γ:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=eq\r(3)(x+c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________.答案eq\r(3)-1解析由已知得直線y=eq\r(3)(x+c)過M,F1兩點,所以直線MF1的斜率為eq\r(3),所以∠MF1F2=60°,則∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°,則MF1=c,MF2=eq\r(3)c,由點M在橢圓Γ上知:c+eq\r(3)c=2a,故e=eq\f(c,a)=eq\r(3)-1.題型1橢圓的定義及應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))已知橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1上一點P到橢圓一個焦點F1的距離為3,則P到另一個焦點F2的距離為()A.2 B.3C.5 D.7應用橢圓的定義.答案D解析根據橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a=10,得|PF2|=7,故選[條件探究]若將典例中的條件改為“F1,F2分別為左、右焦點,M是PF1的中點,且|OM|=3”,求點P解由M為PF1中點,O為F1F2中點,易得|PF2|=6,再利用橢圓定義易知|PF1|=eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(2018·漳浦縣校級月考)橢圓eq\f(x2,4)+y2=1上的一點P與兩焦點F1,F2所構成的三角形稱為焦點三角形.(1)求eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最大值與最小值;(2)設∠F1PF2=θ,求證:S△F1PF2=taneq\f(θ,2).(1)利用向量數量積得到目標函數,利用二次函數求最值;(2)利用余弦定理、面積公式證明.解(1)設P(x,y),∴F1(-eq\r(3),0),F2(eq\r(3),0),則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=(-eq\r(3)-x,-y)·(eq\r(3)-x,-y)=x2+y2-3=eq\f(3,4)x2-2,∵x2∈[0,4],∴eq\f(3,4)x2-2∈[-2,1].∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最大值為1,最小值為-2.(2)證明:由橢圓的定義可知||PF1|+|PF2||=2a|F1F2|=2c,設∠F1PF2=在△F1PF2中,由余弦定理可得:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|(1+cosθ),可得4c2=4a2-2|PF1|·|PF2|(1+cosθ)?|PF1|·|PF2|=eq\f(2b2,1+cosθ),即有△F1PF2的面積S=eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=b2·eq\f(sinθ,1+cosθ)=b2taneq\f(θ,2)=taneq\f(θ,2).方法技巧橢圓定義的應用技巧1.橢圓定義的應用主要有兩個方面:一是判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率等.2.通常定義和余弦定理結合使用,求解關于焦點三角形的周長和面積問題.見典例2.沖關針對訓練已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0)),B是圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))2+y2=4(F為圓心)上一動點,線段AB的垂直平分線交BF于點P,則動點P的軌跡方程為________.答案x2+eq\f(4,3)y2=1解析如圖,由題意知|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2.所以|PA|+|PF|=2且|PA|+|PF|>|AF|,即動點P的軌跡是以A,F為焦點的橢圓,a=1,c=eq\f(1,2),b2=eq\f(3,4).所以動點P的軌跡方程為x2+eq\f(4,3)y2=1.題型2橢圓的標準方程及應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(2018·湖南岳陽模擬)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為坐標原點,F1、F2為它的兩個焦點,離心率為eq\f(\r(2),2),過F1的直線l交橢圓C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么橢圓C的方程為________.在未明確焦點的具體位置時,應分情況討論.答案eq\f(x2,16)+eq\f(y2,8)=1或eq\f(x2,8)+eq\f(y2,16)=1解析由橢圓的定義及△ABF2的周長知4a=16,則a=4,又eq\f(c,a)=eq\f(\r(2),2),所以c=eq\f(\r(2),2)a=2eq\r(2),所以b2=a2-c2=16-8=8.當焦點在x軸上時,橢圓C的方程為eq\f(x2,16)+eq\f(y2,8)=1;當焦點在y軸上時,橢圓C的方程為eq\f(y2,16)+eq\f(x2,8)=1.綜上可知,橢圓C的方程為eq\f(x2,16)+eq\f(y2,8)=1或eq\f(x2,8)+eq\f(y2,16)=1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(2017·江西模擬)橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),F1,F2為橢圓的左、右焦點,且焦距為2eq\r(3),O為坐標原點,點P為橢圓上一點,|OP|=eq\f(\r(2),4)a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數列,求橢圓的方程.用待定系數法,根據已知列出方程組.解設P(x,y),則|OP|2=x2+y2=eq\f(a2,8),由橢圓定義,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4a又∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|∴|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c|PF1|2+|PF2|2+8c2=4a∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2+8c2=4a2,整理得x2+y2+5c2=即eq\f(a2,8)+5c2=2a2,整理得eq\f(c2,a2)=eq\f(3,8),又∵2c=2eq\r(3),∴c=eq\r(3),∴a2=8,b2=5.所求橢圓的方程為eq\f(x2,8)+eq\f(y2,5)=1.方法技巧求橢圓標準方程的步驟1.判斷橢圓焦點位置.2.設出橢圓方程.3.根據已知條件,建立方程(組)求待定系數,注意a2=b2+c2的應用.4.根據焦點寫出橢圓方程.見典例1,2.提醒:當橢圓焦點位置不明確時,可設為eq\f(x2,m)+eq\f(y2,n)=1(m>0,n>0,m≠n),也可設為Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).可簡記為“先定型,再定量”.沖關針對訓練已知橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2.P為橢圓上的一點,PF1與y軸相交于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4))),且M為PF1的中點,S△PF1F2=eq\f(\r(3),2).求橢圓的方程.解設P(x0,y0)∵M為PF1的中點,O為F1F2∴x0=c,y0=eq\f(1,2).PF2∥y軸,△PF1F2是∠PF2F1=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c2,a2)+\f(\f(1,4),b2)=1,,\f(1,2)·2c·\f(1,2)=\f(\r(3),2),,a2=b2+c2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=4,,b2=1.))所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)+y2=1.題型3橢圓的幾何性質eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))F1,F2是橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點,若橢圓上存在點P,使∠F1PF2=90°,則橢圓的離心率的取值范圍是________.由∠F1PF2=90°,求出xeq\o\al(2,0)=eq\f(a2c2-b2,c2)后,利用xeq\o\al(2,0)∈[0,a2]求解.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),1))解析設P(x0,y0)為橢圓上一點,則eq\f(x\o\al(2,0),a2)+eq\f(y\o\al(2,0),b2)=1.eq\o(PF1,\s\up6(→))=(-c-x0,-y0),eq\o(PF2,\s\up6(→))=(c-x0,-y0),若∠F1PF2=90°,則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=xeq\o\al(2,0)+yeq\o\al(2,0)-c2=0.∴xeq\o\al(2,0)+b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(x\o\al(2,0),a2)))=c2,∴xeq\o\al(2,0)=eq\f(a2c2-b2,c2).∵0≤xeq\o\al(2,0)≤a2,∴0≤eq\f(c2-b2,c2)≤1.∴b2≤c2,∴a2≤2c2,∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.[條件探究]將典例2中條件“∠F1PF2=90°”改為“∠F1PF2為鈍角”,求離心率的取值范圍.解橢圓上存在點P使∠F1PF2為鈍角?以原點O為圓心,以c為半徑的圓與橢圓有四個不同的交點?b<c,如圖,由b<c,得a2-c2<c2,即a2<2c2,解得e=eq\f(c,a)>eq\f(\r(2),2),又0<e<1,故橢圓C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),1)).方法技巧求解橢圓離心率(或其范圍)常用的方法1.若給定橢圓的方程,則根據橢圓方程確定a2,b2,進而求出a,c的值,從而利用公式e=eq\f(c,a)直接求解.2.若橢圓的方程未知,則根據條件及幾何圖形建立關于a,b,c的齊次等式(或不等式),化為關于a,c的齊次方程(或不等式),進而化為關于e的方程(或不等式)進行求解.見典例.沖關針對訓練(2015·重慶高考)如圖,橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+eq\r(2),|PF2|=2-eq\r(2),求橢圓的標準方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+eq\r(2))+(2-eq\r(2))=4,故a=2.設橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F=eq\r(|PF1|2+|PF2|2)=eq\r(2+\r(2)2+2-\r(2)2)=2eq\r(3),即c=eq\r(3),從而b=eq\r(a2-c2)=1.故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)+y2=1.(2)連接QF1,由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=eq\r(2)|PF1|,因此,4a-2|PF1|=eq\r(2)|PF1|.|PF1|=2(2-eq\r(2))a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-eq\r(2))a=2(eq\r(2)-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)因此e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(|PF1|2+|PF2|2),2a)=eq\r(2-\r(2)2+\r(2)-12)=eq\r(9-6\r(2))=eq\r(6)-eq\r(3).題型4直線與橢圓的綜合問題角度1利用直線與橢圓的位置關系研究橢圓的標準方程及性質eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2014·全國卷Ⅱ)設F1,F2分別是橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4),求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.本題(2)用代入法列出方程,用方程組法求解.解(1)根據c=eq\r(a2-b2)及題設知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c,\f(b2,a))),2b2=3ac將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得eq\f(c,a)=eq\f(1,2)或eq\f(c,a)=-2(舍去).故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意,得原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故eq\f(b2,a)=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設N(x1,y1),由題意知y1<0,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-c-x1=c,,-2y1=2,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1=-\f(3,2)c,,y1=-1.))代入C的方程,得eq\f(9c2,4a2)+eq\f(1,b2)=1.②將①及c=eq\r(a2-b2)代入②得eq\f(9a2-4a,4a2)+eq\f(1,4a)=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2eq\r(7).角度2利用直線與橢圓的位置關系研究直線及弦的問題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2014·全國卷Ⅰ)已知點A(0,-2),橢圓E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2),F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為eq\f(2\r(3),3),O為坐標原點.(1)求E的方程;(2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求l的方程.直線與橢圓構成方程組,用設而不求的方法求弦長,再求△OPQ的面積.解(1)設F(c,0),由條件知,eq\f(2,c)=eq\f(2\r(3),3),得c=eq\r(3).又eq\f(c,a)=eq\f(\r(3),2),所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為eq\f(x2,4)+y2=1.(2)當l⊥x軸時不合題意,故設l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入eq\f(x2,4)+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>eq\f(3,4)時,x1,2=eq\f(8k±2\r(4k2-3),4k2+1).從而|PQ|=eq\r(k2+1)|x1-x2|=eq\f(4\r(k2+1)·\r(4k2-3),4k2+1).又點O到直線PQ的距離d=eq\f(2,\r(k2+1)),所以△OPQ的面積S△OPQ=eq\f(1,2)d·|PQ|=eq\f(4\r(4k2-3),4k2+1).設eq\r(4k2-3)=t,則t>0,S△OPQ=eq\f(4t,t2+4)=eq\f(4,t+\f(4,t)).因為t+eq\f(4,t)≥4,當且僅當t=2,即k=±eq\f(\r(7),2)時等號成立,且滿足Δ>0,所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為y=eq\f(\r(7),2)x-2或y=-eq\f(\r(7),2)x-2.方法技巧直線與橢圓相交時有關弦問題的處理方法1.合理消元,消元時可以選擇消去y,也可以消去x.見角度1典例.2.利用弦長公式、點到直線的距離公式等將所求量表示出來.3.構造基本不等式或利用函數知識求最值.見角度2典例.4.涉及弦中點的問題常用“點差法”解決.沖關針對訓練(2015·陜西高考)已知橢圓E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為eq\f(1,2)c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=eq\f(5,2)的一條直徑,若橢圓E經過A,B兩點,求橢圓E的方程.解(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到該直線的距離d=eq\f(bc,\r(b2+c2))=eq\f(bc,a),由d=eq\f(1,2)c,得a=2b=2eq\r(a2-c2),解得離心率eq\f(c,a)=eq\f(\r(3),2).(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.①依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=eq\r(10).易知,AB與x軸不垂直,設其方程為y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-eq\f(8k2k+1,1+4k2),x1x2=eq\f(42k+12-4b2,1+4k2).由x1+x2=-4,得-eq\f(8k2k+1,1+4k2)=-4,解得k=eq\f(1,2).從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)|x1-x2|=eq\f(\r(5),2)eq\r(x1+x22-4x1x2)=eq\r(10b2-2).由|AB|=eq\r(10),得eq\r(10b2-2)=eq\r(10),解得b2=3.故橢圓E的方程為eq\f(x2,12)+eq\f(y2,3)=1.1.(2017·浙江高考)橢圓eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1的離心率是()A.eq\f(\r(13),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,9)答案B解析∵橢圓方程為eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1,∴a=3,c=eq\r(a2-b2)=eq\r(9-4)=eq\r(5).∴e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(5),3).故選B.2.(2017·河北衡水中學二調)設橢圓eq\f(x2,16)+eq\f(y2,12)=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,且滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=9,則|PF1|·|PF2|的值為()A.8 B.10C.12 D.15答案D解析由橢圓方程eq\f(x2,16)+eq\f(y2,12)=1,可得c2=4,所以|F1F2|=2c=4,而eq\o(F1F2,\s\up6(→))=eq\o(PF2,\s\up6(→))-eq\o(PF1,\s\up6(→)),所以|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|=|eq\o(PF2,\s\up6(→))-eq\o(PF1,\s\up6(→))|,兩邊同時平方,得|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2=|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2-2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))+|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2,所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2+|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2=|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2+2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=16+18=34,根據橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=8,所以34+2|PF1||PF2|=64,所以|PF1|·|PF2|=15.故選D.3.(2018·武漢調研)已知直線MN過橢圓eq\f(x2,2)+y2=1的右焦點F,與橢圓交于M,N兩點.直線PQ過原點O且與直線MN平行,直線PQ與橢圓交于P,Q兩點,則eq\f(|PQ|2,|MN|)=________.答案2eq\r(2)解析解法一:由題意知,直線MN的斜率不為0,設直線MN:x=my+1,則直線PQ:x=my.設M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=my+1,,\f(x2,2)+y2=1))?(m2+2)y2+2my-1=0?y1+y2=-eq\f(2m,m2+2),y1y2=-eq\f(1,m2+2).∴|MN|=eq\r(1+m2)|y1-y2|=2eq\r(2)·eq\f(m2+1,m2+2).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=my,,\f(x2,2)+y2=1))?(m2+2)y2-2=0?y3+y4=0,y3y4=-eq\f(2,m2+2).∴|PQ|=eq\r(1+m2)|y3-y4|=2eq\r(2)eq\r(\f(m2+1,m2+2)).故eq\f(|PQ|2,|MN|)=2eq\r(2).解法二:取特殊位置,當直線MN垂直于x軸時,易得|MN|=eq\f(2b2,a)=eq\r(2),|PQ|=2b=2,則eq\f(|PQ|2,|MN|)=2eq\r(2).4.(2015·安徽高考)設橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為eq\f(\r(5),10).(1)求E的離心率e;(2)設點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點,點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為eq\f(7,2),求E的方程.解(1)由題設條件知,點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a,\f(1,3)b)),又kOM=eq\f(\r(5),10),從而eq\f(b,2a)=eq\f(\r(5),10),進而得a=eq\r(5)b,c=eq\r(a2-b2)=2b,故e=eq\f(c,a)=eq\f(2\r(5),5).(2)由題設條件和(1)的計算結果可得,直線AB的方程為eq\f(x,\r(5)b)+eq\f(y,b)=1,點N的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)b,-\f(1,2)b)).設點N關于直線AB的對稱點S的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1,\f(7,2))),則線段NS的中點T的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),4)b+\f(x1,2),-\f(1,4)b+\f(7,4))).又點T在直線AB上,且kNS·kAB=-1,從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\f(\r(5)b,4)+\f(x1,2),\r(5)b)+\f(-\f(1,4)b+\f(7,4),b)=1,,\f(\f(7,2)+\f(1,2)b,x1-\f(\r(5),2)b)=\r(5),))解得b=3.所以a=3eq\r(5),故橢圓E的方程為eq\f(x2,45)+eq\f(y2,9)=1.

[重點保分兩級優選練]A級一、選擇題1.(2018·江西五市八校模擬)已知正數m是2和8的等比中項,則圓錐曲線x2+eq\f(y2,m)=1的焦點坐標為()A.(±eq\r(3),0) B.(0,±eq\r(3))C.(±eq\r(3),0)或(±eq\r(5),0) D.(0,±eq\r(3))或(±eq\r(5),0)答案B解析因為正數m是2和8的等比中項,所以m2=16,則m=4,所以圓錐曲線x2+eq\f(y2,m)=1即為橢圓x2+eq\f(y2,4)=1,易知其焦點坐標為(0,±eq\r(3)),故選B.2.(2017·湖北荊門一模)已知θ是△ABC的一個內角,且sinθ+cosθ=eq\f(3,4),則方程x2sinθ-y2cosθ=1表示()A.焦點在x軸上的雙曲線B.焦點在y軸上的雙曲線C.焦點在x軸上的橢圓D.焦點在y軸上的橢圓答案D解析因為(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=eq\f(9,16),所以sinθcosθ=-eq\f(7,32)<0,結合θ∈(0,π),知sinθ>0,cosθ<0,又sinθ+cosθ=eq\f(3,4)>0,所以sinθ>-cosθ>0,故eq\f(1,-cosθ)>eq\f(1,sinθ)>0,因為x2sinθ-y2cosθ=1可化為eq\f(y2,-\f(1,cosθ))+eq\f(x2,\f(1,sinθ))=1,所以方程x2sinθ-y2cosθ=1表示焦點在y軸上的橢圓.故選D.3.(2018·湖北八校聯考)設F1,F2為橢圓eq\f(x2,9)+eq\f(y2,5)=1的兩個焦點,點P在橢圓上,若線段PF1的中點在y軸上,則eq\f(|PF2|,|PF1|)的值為()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,13)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)答案B解析由題意知a=3,b=eq\r(5),c=2.設線段PF1的中點為M,則有OM∥PF2,∵OM⊥F1F2,∴PF2⊥F1F2,∴|PF2|=eq\f(b2,a)=eq\f(5,3).又∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=eq\f(13,3),∴eq\f(|PF2|,|PF1|)=eq\f(5,3)×eq\f(3,13)=eq\f(5,13),故選B.4.(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)答案A解析由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑為a又直線bx-ay+2ab=0與圓相切,∴圓心到直線的距離d=eq\f(2ab,\r(a2+b2))=a,解得a=eq\r(3)b,∴eq\f(b,a)=eq\f(1,\r(3)),∴e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(a2-b2),a)=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)=eq\f(\r(6),3).故選A.5.已知橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)與雙曲線eq\f(x2,m2)-eq\f(y2,n2)=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案C解析因為橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)與雙曲線eq\f(x2,m2)-eq\f(y2,n2)=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因為c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=eq\f(c4,a2),n2=eq\f(c4,a2)+eq\f(c2,2),所以eq\f(2c4,a2)+eq\f(c2,2)=c2,化為eq\f(c2,a2)=eq\f(1,4),所以e=eq\f(c,a)=eq\f(1,2).故選C.6.(2017·荔灣區期末)某宇宙飛船運行的軌道是以地球中心為一焦點的橢圓,測得近地點距地面m千米,遠地點距地面n千米,地球半徑為r千米,則該飛船運行軌道的短軸長為()A.2eq\r(m+rn+r)千米 B.eq\r(m+rn+r)千米C.2mn千米 D.mn千米答案A解析∵某宇宙飛船的運行軌道是以地球的中心F2為一個焦點的橢圓,設長半軸長為a,短半軸長為b,半焦距為c,則近地點A距地心為a-c,遠地點B距地心為a+c.∴a-c=m+r,a+c=n+r,∴a=eq\f(m+n,2)+r,c=eq\f(n-m,2).又∵b2=a2-c2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m+n,2)+r))2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n-m,2)))2=mn+(m+n)r+r2=(m+r)(n+r).∴b=eq\r(m+rn+r),∴短軸長為2b=2eq\r(7.(2017·九江期末)如圖,F1,F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩個焦點,A和B是以O為圓心,以|OF1|為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個交點,且△F2AB是等邊三角形,則該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)-1 D.eq\f(\r(2),2)答案C解析連接AF1,∵F1F2是圓O的直徑,∴∠F1AF2=90°即F1A⊥AF2又∵△F2AB是等邊三角形,F1F2⊥AB∴∠AF2F1=eq\f(1,2)∠AF2B=30°,因此,在Rt△F1AF2中,|F1F2|=2|F1A|=eq\f(1,2)|F1F2|=c,|F2A|=eq\f(\r(3),2)|F1F2|=eq\r(3)c.根據橢圓的定義,得2a=|F1A|+|F2A|=(1+eq\r(3))c,解得a=eq\f(1+\r(3),2)c,∴橢圓的離心率為e=eq\f(c,a)=eq\r(3)-1.故選C.8.(2018·鄭州質檢)橢圓eq\f(x2,5)+eq\f(y2,4)=1的左焦點為F,直線x=a與橢圓相交于點M,N,當△FMN的周長最大時,△FMN的面積是()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(6\r(5),5)C.eq\f(8\r(5),5) D.eq\f(4\r(5),5)答案C解析設橢圓的右焦點為E,由橢圓的定義知△FMN的周長為L=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2eq\r(5)-|ME|)+(2eq\r(5)-|NE|).因為|ME|+|NE|≥|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|≤0,當直線MN過點E時取等號,所以L=4eq\r(5)+|MN|-|ME|-|NE|≤4eq\r(5),即直線x=a過橢圓的右焦點E時,△FMN的周長最大,此時S△FMN=eq\f(1,2)×|MN|×|EF|=eq\f(1,2)×eq\f(2×4,\r(5))×2=eq\f(8\r(5),5),故選C.9.如圖所示,內外兩個橢圓的離心率相同,從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC,BD,設內層橢圓方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),若直線AC與BD的斜率之積為-eq\f(1,4),則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,4)答案C解析設外層橢圓方程為eq\f(x2,ma2)+eq\f(y2,mb2)=1(a>b>0,m>1),則切線AC的方程為y=k1(x-ma),切線BD的方程為y=k2x+mb,則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k1x-ma,,bx2+ay2=a2b2,))消去y,得(b2+a2keq\o\al(2,1))x2-2ma3keq\o\al(2,1)x+m2a4keq\o\al(2,1)-a2b2=0.因為Δ=(2ma3keq\o\al(2,1))2-4(b2+a2keq\o\al(2,1))(m2a4keq\o\al(2,1)-a2b2)=0,整理,得keq\o\al(2,1)=eq\f(b2,a2)·eq\f(1,m2-1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k2x+mb,,bx2+ay2=a2b2,))消去y,得(b2+a2keq\o\al(2,2))x2+2a2mbk2x+a2m2b2-a2b2=0,因為Δ2=(2a2mbk2)2-4×(b2+a2keq\o\al(2,2))(a2m2b2-a2b2)=0,整理,得keq\o\al(2,2)=eq\f(b2,a2)·(m2-1).所以keq\o\al(2,1)·keq\o\al(2,2)=eq\f(b4,a4).因為k1k2=-eq\f(1,4),所以eq\f(b2,a2)=eq\f(1,4),e2=eq\f(c2,a2)=eq\f(a2-b2,a2)=eq\f(3,4),所以e=eq\f(\r(3),2),故選C.10.(2018·永康市模擬)設橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)和圓x2+y2=b2,若橢圓C上存在點P,使得過點P引圓O的兩條切線,切點分別為A,B,滿足∠APB=60°,則橢圓的離心率e的取值范圍是()A.0<e≤eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)≤e<1C.eq\f(\r(3),2)<e<1 D.eq\f(\r(3),2)≤e<1答案D解析由橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)焦點在x軸上,連接OA,OB,OP,依題意,O,P,A,B四點共圓,∵∠APB=60°,∠APO=∠BPO=30°,在直角三角形OAP中,∠AOP=60°,∴cos∠AOP=eq\f(b,|OP|)=eq\f(1,2),∴|OP|=eq\f(b,\f(1,2))=2b,∴b<|OP|≤a,∴2b≤a,∴4b2≤a2,由a2=b2+c2,即4(a2-c2)≤a2,∴3a2≤4c2,即eq\f(c2,a2)≥eq\f(3,4),∴e≥eq\f(\r(3),2),又0<e<1,∴eq\f(\r(3),2)≤e<1,∴橢圓C的離心率的取值范圍是eq\f(\r(3),2)≤e<1.故選D.二、填空題11.(2017·湖南東部六校聯考)設P,Q分別是圓x2+(y-1)2=3和橢圓eq\f(x2,4)+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是________.答案eq\f(7\r(3),3)解析依據圓的性質可知,P,Q兩點間的最大距離可以轉化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加上圓的半徑eq\r(3),設Q(x,y),則圓心(0,1)到橢圓上點的距離為d=eq\r(x2+y-12)=eq\r(-3y2-2y+5)=eq\r(-3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(1,3)))2+\f(16,3)),∵-1≤y≤1,∴當y=-eq\f(1,3)時,d取最大值eq\f(4\r(3),3),所以P,Q兩點間的最大距離為dmax+eq\r(3)=eq\f(7\r(3),3).12.(2018·廣州二測)已知中心在坐標原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),點F關于直線y=eq\f(1,2)x的對稱點在橢圓C上,則橢圓C的方程為________.答案eq\f(5x2,9)+eq\f(5y2,4)=1解析設F(1,0)關于直線y=eq\f(1,2)x的對稱點為(x,y),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0+y,2)=\f(1,2)×\f(1+x,2),,\f(y-0,x-1)×\f(1,2)=-1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(3,5),,y=\f(4,5),))由于橢圓的兩個焦點為(-1,0),(1,0),所以2a=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)-1))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)+eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)+1))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)=eq\f(6\r(5),5),a=eq\f(3\r(5),5),又c=1,所以b2=a2-c2=eq\f(9,5)-1=eq\f(4,5),所以橢圓C的方程為eq\f(\a\vs4\al(x2),\f(9,5))+eq\f(\a\vs4\al(y2),\f(4,5))=1,即eq\f(5x2,9)+eq\f(5y2,4)=1.13.(2018·江西五市聯考)已知橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),A,B為橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,5),0)),則橢圓的離心率e的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5),1))解析設A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1-\f(a,5)))2+y\o\al(2,1)=\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2-\f(a,5)))2+y\o\al(2,2),,\f(x\o\al(2,1),a2)+\f(y\o\al(2,1),b2)=1,,\f(x\o\al(2,2),a2)+\f(y\o\al(2,2),b2)=1,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,5)x1-x2=x\o\al(2,1)-x\o\al(2,2)+y\o\al(2,1)-y\o\al(2,2),,y\o\al(2,1)=b2-\f(b2,a2)x\o\al(2,1),,y\o\al(2,2)=b2-\f(b2,a2)x\o\al(2,2),))所以eq\f(2a,5)(x1-x2)=eq\f(a2-b2,a2)(xeq\o\al(2,1)-xeq\o\al(2,2)),所以eq\f(2a3,5a2-b2)=x1+x2.又-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2,所以-2a<x1+x2<2a,則eq\f(2a3,5a2-b2)<2a,即eq\f(b2,a2)<eq\f(4,5),所以e2>eq\f(1,5).又0<e<1,所以eq\f(\r(5),5)<e<1.14.(2016·江蘇高考)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦點,直線y=eq\f(b,2)與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是________.答案eq\f(\r(6),3)解析由已知條件易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),2)a,\f(b,2))),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a,\f(b,2))),F(c,0),∴eq\o(BF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c+\f(\r(3),2)a,-\f(b,2))),eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c-\f(\r(3),2)a,-\f(b,2))),由∠BFC=90°,可得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))=0,所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c-\f(\r(3),2)a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c+\f(\r(3),2)a))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2)))2=0,c2-eq\f(3,4)a2+eq\f(1,4)b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=所以eq\f(c2,a2)=eq\f(2,3),則e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(6),3).B級三、解答題15.(2018·安徽合肥三校聯考)已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為eq\f(\r(2),2),且橢圓經過圓C:x2+y2-4x+2eq\r(2)y=0的圓心C.(1)求橢圓的方程;(2)設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切,求直線l的方程.解(1)圓C方程化為(x-2)2+(y+eq\r(2))2=6,圓心C(2,-eq\r(2)),半徑r=eq\r(6).設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)+\f(2,b2)=1,,1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2=\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2,))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=8,,b2=4.))所以所求的橢圓方程是eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1.(2)由(1)得橢圓的左、右焦點分別是F1(-2,0),F2(2,0),|F2C|=eq\r(2-22+0+\r(2)2)=eq\r(2)<r=eq\r(6).F2在圓C內,故過F2沒有圓C的切線,所以直線l過焦點F1.設l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,點C(2,-eq\r(2))到直線l的距離為d=eq\f(|2k+\r(2)+2k|,\r(1+k2)),由d=eq\r(6),得eq\f(|2k+\r(2)+2k|,\r(1+k2))=eq\r(6).化簡,得5k2+4eq\r(2)k-2=0,解得k=eq\f(\r(2),5)或k=-eq\r(2).故l的方程為eq\r(2)x-5y+2eq\r(2)=0或eq\r(2)x+y+2eq\r(2)=0.16.(2018·陜西咸陽模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)過點P(2,1),且離心率e=eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程;(2)直線l的斜率為eq\f(1,2),直線l與橢圓C交于A,B兩點.求△PAB面積的最大值.解(1)∵e2=eq\f(c2,a2)=eq\f(a2-b2,a2)=eq\f(3,4),∴a2=4b2.又橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)過點P(2,1),∴eq\f(4,a2)+eq\f(1,b2)=1.∴a2=8,b2=2.故所求橢圓方程為eq\f(x2,8)+eq\f(y2,2)=1.(2)

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