Saturday,December17,20221第五節極點配置Saturday,December17,20222

假設所有的用于反饋的狀態變量都是可觀測的。可以證明：如果所考慮的系統的狀態是可控的，那末可通過一個適當的狀態反饋增益矩陣的狀態反饋方法，將閉環系統的極點配置到任意期望的位置。一、極點配置設計：

使用極點配置的方法可以確定所有的閉環極點。當然，這是有代價的，因為配置所有的極點需要有效地測量所有的狀態變量。否則需要在系統中增加狀態觀測器。此外，將系統的閉環極點配置到任意位置，需要系統的狀態完全可控。考慮系統：式中：（先討論單輸入系統）……(9-1)Saturday,December17,20223狀態方程結構圖：圖a取時的狀態方程結構圖：圖b帶有狀態反饋的動態方程結構圖：圖cSaturday,December17,20224選取控制信號為：。這意味著控制信號由瞬時狀態確定。該方法稱為狀態反饋法。維矩陣K稱為狀態反饋增益矩陣。

上頁圖a畫出了狀態方程的結構圖；因為沒有將狀態反饋到控制信號u中，所以是開環控制系統。圖b畫出了具有狀態反饋的系統；因為將狀態反饋到了控制信號中，所以是閉環控制系統。圖c畫出了具有狀態反饋的動態系統的結構圖。考慮圖b系統。有：該方程的解為：。式中：是外部干擾引起的初始狀態。

系統的穩態響應和瞬態響應特性由矩陣的特征值決定。如果矩陣選取適當，則可使矩陣構成一個漸進穩定矩陣，并且對所有的，當t趨于無窮大時，都可使趨于零。Saturday,December17,20225

狀態反饋陣K的引入，并不增加系統的階數，但是可通過K陣的選擇自由的改變閉環系統的特征值。從而將閉環系統的極點配置在S平面上期望的位置。獲得希望的動態性能。這就是極點配置問題。二、任意配置極點的充要條件：系統的動態方程為：簡寫為：選取控制信號為：，則狀態方程的解為注意：矩陣的特征值就是所期望的閉環極點。Saturday,December17,20226[定理]：采用狀態反饋對系統進行極點任意配置的充要條件是：完全能控。

證明略。[說明]：進行極點任意配置的就是要確定狀態反饋陣。上述極點配置定理對MIMO系統也適用。只不過狀態反饋陣在SISO系統中是唯一的，而在MIMO系統中則不唯一。狀態反饋不改變SISO系統的零點，但影響MIMO系統的零點，零點的多變性使得MIMO系統按極點配置的設計問題復雜化。經過狀態反饋后，系統不改變能控性。但不能保持系統的能觀測性。Saturday,December17,20227三、極點配置的設計步驟：

設系統是由定義的，并且控制信號由給出，那末可由下列步驟確定使的特征值為（期望值）的反饋矩陣。步驟一：檢驗系統的可控性條件；如果系統狀態完全可控，則可按下列步驟繼續。步驟二：從矩陣的特征多項式來確定的值。步驟三：確定使系統狀態方程變為可控標準型的變換矩陣。步驟四：利用所期望的閉環極點（特征值），寫出期望的特征多項式。并確定出的值。步驟五：狀態反饋增益矩陣為Saturday,December17,20228

若系統的階次較低（n<=3），則將矩陣K直接代入期望的特征多項式，可能更為簡便。例如，n=3時，狀態反饋矩陣K可以寫成：將該矩陣K代入期望的特征多項式，使其等于，即

由于該特征方程的兩端均為s的多項式，所以可以通過使等號兩端的s同次冪系數相等，來確定k1，k2，k3的值。

該方法適用于n<=3的場合，否則，計算可能非常繁瑣。Saturday,December17,20229[例9-1]一個三階系統的微分方程為：希望該系統有小的超調量，調整時間小于1秒。試確定狀態反饋陣K，以滿足上述要求。

選擇希望的特征方程為：因為要求小的超調量，所以可以取，那么調整時間為：取：，所以，希望的特征方程為：將系統的微分方程改寫為狀態方程：選擇相變量為狀態變量，令，有：Saturday,December17,202210