剛體的概念及特點剛體（rigidbody）：假如質點組中任何兩質點間的距離都不會因力的作用而改變，我們就稱該質點組為剛體。屬理想模型。現實中沒有真正的剛體，但當物體的大小和形狀變化可以忽略不計時，通常便把它看作剛體。作用在剛體上的力可以剛性傳遞，為滑移矢量。剛體特點：各質點間無相對位移，因此也無相對速度，無內力作功。剛體的概念及特點剛體（rigidbody）：假如質點組中任剛體運動的分類和描述平動：剛體中的任意兩點的連線始終保持方向不變的運動。特點：剛體上所有質點都具有相同的速度和加速度；等同于質點運動；剛體平動的描述需三個獨立變量。定軸轉動：剛體中兩點始終保持不動，兩點連線外的其它部分繞這兩點確定的軸線作圓周運動。剛體定軸轉動的描述需一個獨立變量。平面平行運動（平面運動）：剛體中所有點始終保持平行于某一固定面的運動。相當于“平面平動＋定軸轉動”。剛體平面運動的描述需三個獨立變量。定點轉動：剛體中只有一點固定不動，其它部分繞該點的瞬時軸轉動。剛體定點轉動的描述需三個獨立變量（歐拉角）。一般運動：自由剛體的運動。可以分解為平動和定點轉動。剛體定點轉動的描述需六個獨立變量。剛體運動的分類和描述平動：剛體中的任意兩點的連線始終保持方向有限轉動與無限小轉動1有限轉動不滿足矢量對易律，不是矢量。圖象參見教材P159。無限小轉動是否滿足對易律，是否是矢量？角坐標：角位移：大小：方向：右手螺旋法則。有限轉動與無限小轉動1有限轉動不滿足矢量對易律，不是矢量。圖有限轉動與無限小轉動2無限小轉動是否滿足對易律，是否是矢量？？對線位移比較了解，故先尋求角位移與線位移間的關系：有限轉動與無限小轉動2無限小轉動是否滿足對易律，是否是矢量？有限轉動與無限小轉動3線位移：線位移：有限轉動與無限小轉動3線位移：線位移：有限轉動與無限小轉動4線位移滿足：！有限轉動與無限小轉動4線位移滿足：！角速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向：沿t時刻的轉軸，即轉動瞬軸線速度：又：角速度與線速度關系單位：角速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向補充_歐勒公式&泊松公式&矢量運算一個轉動的定長矢量對于時間的變化率，等于該矢量轉動的角速度矢乘該矢量本身。判斷對錯泊松公式歐勒公式補充_歐勒公式&泊松公式&矢量運算一個轉動的定長矢量對于時間角加速度角加速度（Angularacceleraton）：方向：轉動瞬軸的改變方向單位：線加速度：又：向軸加速度轉動加速度角加速度角加速度（Angularacceleraton）：角量與線量的關系對于圖示運動有：角量與線量的關系對于圖示運動有：力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產生的力學效果，決定于力的大小、方向和作用線的地位，與力的作用點在作用線上的地位無關。剛體上的力可沿作用線滑移，故稱滑移矢量，但不能隨意改變作用線位置，否則力的作用效果將改變！力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產生的力學效果，決定于力系的簡化1對于共點力：利用平行四邊形法則進行矢量合成；對于不共點但作用線相交的力，可以都滑移到交點處，再利用共點力合成。？力系的簡化1對于共點力：利用平行四邊形法則進行矢量合成；？力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相反、又不在同一直線的兩個力稱力偶。力偶的合力為0：力偶面：力偶所在的平面。力偶對于力偶面內任意一點P的力矩:兩力間的垂直距離：力偶臂力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學效果。垂直于力偶面，遵從右手螺旋法則。為自由矢量，可以作用在力偶面內的任意一點。多個共面力偶可以進行力偶矩合成，不受作用點限制！（與力有別）？力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學效果力系的簡化2作用在剛體上的每個力，都可化為經過任意一點P的一個力和一個力偶。因此不論多復雜的力系都可以求得一個合力和一個合力偶。P點稱為簡化中心；合力稱為主矢；力偶矩矢量和（合力偶）稱為主矩。力系的簡化2作用在剛體上的每個力，都可化為經過任意一點P的一力系的簡化3力系的簡化中心可以任意選取，選取原則是簡化問題的研究。通常以質心為剛體力系的簡化中心。主矢將使剛體質心的平動狀態發生變化；主矩將使剛體繞通過質心的軸線的轉動狀態發生變化。在對剛體力系做了簡化后，就可以討論描述剛體運動的微分方程了。對于不同的簡化中心，主矢和主矩是否相同？如果不同，會不會影響剛體的運動？思考力系的簡化3力系的簡化中心可以任意選取，選取原則是簡化問題的剛體運動微分方程1剛體質心C的運動微分方程：剛體質量質心加速度主矢剛體在質心動系中的動量矩定理：對質心的主矩質心系中對質心的總動量矩六個獨立變量六個運動微分方程剛體運動可唯一描述！剛體運動微分方程1剛體質心C的運動微分方程：剛體質量質心加速剛體運動微分方程2（1）它的質心好象一個具有質量m的質點，而所有外力作用在此質點上，且此時動量對時間的微商等于所有外力的矢量和。（2）剛體在相對于隨質心平動的動坐標系的運動中，對質心C的動量矩對時間的微商，等于所有外力對C的力矩的矢量和。（當轉動對于固定系的某定點而言時，也有類似結果）。有時也可用動能定理來代替以上得到的某個運動微分方程。絕對元位移由前面結果可知，對于自由剛體，假如在多個外力作用下在空間運動，則有：剛體運動微分方程2（1）它的質心好象一個具有質量m的質點，而剛體平衡方程只有當剛體受力的矢量和為零，并且受力對于任意一點力矩的矢量和也為零時，剛體才會處于平衡狀態。剛體平衡方程：共面（xy）力系：共點（O）力系：共面（xy）共點（O）力系：共線（x）力系：剛體平衡方程只有當剛體受力的矢量和為零，并且受力對于任意一點剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P，長為2l。將其一端置于粗糙地面，而C點靠在離地面h高的墻上。當棍子與地面的角度為最小值時，棍子在上述位置仍處于平衡狀態，求棍子與地面的摩擦系數。解：根據題意畫出受力圖，在如圖所示的坐標系中，有平衡方程：即：剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體的動量矩1剛體的動量矩：剛體的動量矩1剛體的動量矩：剛體的動量矩2剛體的動量矩2剛體的動量矩和轉動慣量令：以上為軸轉動慣量以上為慣量積剛體的動量矩和轉動慣量令：以上為軸轉動慣量以上為慣量積剛體的動量矩和慣量張量剛體動量矩在各坐標軸上的投影：該矩陣稱剛體對O點的慣量張量，矩陣中的各元素（軸轉動慣量和慣量積）稱慣量張量的組元，也叫慣量系數。剛體的動量矩和慣量張量剛體動量矩在各坐標軸上的投影：該矩陣稱剛體的轉動動能1剛體對定點O的轉動動能：剛體的轉動動能1剛體對定點O的轉動動能：剛體的轉動動能2剛體對定點O的轉動動能也可寫為：轉動慣量是物體轉動時慣性的量度。其大小取決于剛體質量分布、形狀和轉軸的位置。注意剛體繞轉動瞬軸的轉動慣量剛體的轉動動能2剛體對定點O的轉動動能也可寫為：轉動慣量是物轉動慣量1只要計算出剛體的三個軸轉動慣量和三個慣量積，再代入轉軸的方向余弦，就可求得剛體相對于該轉軸的轉動慣量I了。轉動慣量1只要計算出剛體的三個軸轉動慣量和三個慣量積，再代入轉動慣量2具有質量分布的剛體的轉動慣量，可等效于集所有質量于一身的一個質點的轉動慣量，該等效質點離軸線的垂直距離為k，稱為剛體對該軸線的回轉半徑。平行軸定理：剛體對于某軸線的轉動慣量，等于它對通過質心并與該軸平行的軸線的轉動慣量，外加剛體質量與兩軸間垂直距離的平方的乘積。即：練習1：自行證明該定理！正交軸定理：當剛體的質量為面分布時，剛體對該平面內任意兩個正交軸線的轉動慣量之和，等于它對過交點的另一正交軸的轉動慣量。如果質量分布在xoy平面內則有：練習2：自行證明該定理！轉動慣量2具有質量分布的剛體的轉動慣量，可等效于集所有質量于轉動慣量3求質量按規律分布，且形狀規則的剛體的轉動慣量，求和變積分：轉動慣量矩陣表達：轉動慣量3求質量按規律分布，且形狀規則的剛體的轉動慣量，求和慣量橢球1通過剛體上的某定點O的軸線可以有無數條，剛體對于各條都有一個轉動慣量，現考慮將各軸的轉動慣量I大小反應為幾何量。做法：在轉軸上截取一點Q，使它到O點的線段長度滿足：Q點的坐標為：將其代入轉動慣量方程：此為一橢球方程，由反映各軸慣量大小的線段端點構成的，稱為O點的慣量橢球。慣量橢球1通過剛體上的某定點O的軸線可以有無數條，剛體對于各慣量橢球2剛體上的每個點都對應一個慣量橢球。質心所對應的慣量橢球稱為中心慣量橢球。已知慣量橢球，可以由某軸上矢徑的長度求出剛體繞該軸轉動時的轉動慣量；反之，已知剛體對三坐標軸的轉動慣量和它們的慣量積，便可以寫出坐標原點的慣量橢球方程。選擇合適的坐標軸可以消去慣量積。每個慣量橢球都有三條相互垂直的主軸，稱為慣量主軸。設其長度分別為a，b，c。若把它們分別取為x，y，z軸，則該慣量橢球的方程可表示為：慣量橢球2剛體上的每個點都對應一個慣量橢球。每個慣量橢球都有慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標選擇下，慣量積項已經被消去了。僅剩三個主轉動慣量項，無需雙下標，故通常記為：剛體動量矩：剛體轉動動能：慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標選擇下，慣量積項已經被消去慣量主軸求法如果剛體具有對稱面，那么對稱面中任意一點的垂線必為過該點的一條慣量主軸。如果剛體具有對稱軸，那么對稱軸必為軸上任意一點的慣量主軸。對于一個質量對稱分布或者具有幾何對稱性的質量均勻的剛體，在求慣量主軸時，有下列簡便的幾何法則：慣量主軸求法如果剛體具有對稱面，那么對稱面中任意一點的垂線必例題_轉動慣量的求法直接根據定義用積分來求先計算慣量張量中的各組元，和轉軸的方向余弦，再代入公式求繞軸的轉動慣量I。先找出慣量轉軸，取慣量主軸為坐標軸，再作計算。例題（參見教材P182）附加問題：寫出該長方形薄片定點及質心處的慣量橢球方程。該問題是“薄片”問題，不必考慮厚度。例題_轉動慣量的求法直接根據定義用積分來求例題（參見教材P1剛體的平動剛體平動時可用質心的運動來代表。由于剛體平動時，剛體其它部分與質心作類似運動，無相對于質心的轉動。所以存在剛體相對于質心的力矩平衡：但實際中，作平動的剛體通常受到約束，即上式的F表達式中包含未知的約束力，所以還需要附加方程。質心的運動微分方程：1、平動剛體的運動規律2、約束反作用力騎自行車時，為何不能急剎前閘？思考剛體的平動剛體平動時可用質心的運動來代表。由于剛體平動時，剛剛體定軸轉動1對于定軸轉動的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上的各點軌道都是一個平行于xoy平面，且以z軸上的垂足為圓心的圓圈。剛體上的各點間不同的量：剛體上的各點間相同的量：相互關系1：剛體定軸轉動1對于定軸轉動的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上剛體定軸轉動2相互關系2：剛體定軸轉動2相互關系2：剛體定軸轉動3動量矩定理定軸轉動剛體的動量矩定理剛體定軸轉動的動力學方程求解動力學方程便得描述剛體轉動的運動方程：定軸轉動剛體的動能：若所受外力皆為保守力，則：剛體定軸轉動3動量矩定理定軸轉動剛體的動量矩定理剛體定軸轉動例題_復擺1例（教材P188）：設質量為m的復擺繞通過某點O的水平軸作微小振動，試求其運動方程及振動周期，并加以討論。單擺：數學擺復擺：物理擺剛體復擺懸于O點，其質心C距懸點O為l，它繞通過懸點且垂直于紙面的軸擺動。圖示為剛體包含質心的一個剖面。假設剛體繞該定軸的轉動慣量為I0，回旋半徑為k0，即：定軸轉動的動力學方程：例題_復擺1例（教材P188）：設質量為m的復擺繞通過某點O例題_復擺2通解例題_復擺2通解例題_復擺3復擺周期：單擺周期：單擺擺長此為該剛體的等值單擺擺長即：相當于集所有質量于O’點的一個單擺。復擺的振動中心例題_復擺3復擺周期：單擺周期：單擺擺長此為該剛體的等值單擺例題_復擺4以O為懸點的周期：以O’為懸點的周期：懸點和振動中心可以互換。應用：實驗測定重力加速度g。優于單擺方法。例題_復擺4以O為懸點的周期：以O’為懸點的周期：懸點和振動思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強的沖擊，減小疼痛？思考利用復擺測定重力加速度比單擺精確的原因？思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強的沖擊，減小疼痛補充例題_教材P228設均質棒的線密度為，可證明長為x的棒對于過其端點的垂直軸的轉動慣量為：。所以：該擺對于過O點的轉動軸的轉動慣量為：要想得角度的關系（運動方程），需解定軸轉動的動力學方程，而這首先要得到相對于定軸的轉動慣量和力矩的表達式。選夾角增大的方向(向內)為正方向，則擺對于過O點的轉動軸的力矩為：補充例題_教材P228設均質棒的線密度為，可證明長補充例題_教材P228定軸轉動的動力學方程：即：兩邊都乘以后根據初始條件積分：補充例題_教材P228定軸轉動的動力學方程：即：兩邊都乘以補充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關系，然而我們從中仍然沒有一個直觀和明了的感覺。不過我們對于這樣一個擺在平衡狀態下的夾角是很容易測得的，設為，下面我們來看一下兩者是否有一定的關系。平衡時力矩和為零：補充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關系，然而我們從補充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時夾角的兩倍。補充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時夾角定軸轉動時軸上的附加壓力1定軸轉動為非自由運動。軸對剛體具有約束作用。如何求出約束反力呢？定軸轉動剛體A、B兩點不動軸的約束A、B兩點的約束反力動量定理（3）動量矩定理（3）剛體運動規律（1）A、B處的約束反力（5）定軸轉動時軸上的附加壓力1定軸轉動為非自由運動。軸對剛體具有定軸轉動時軸上的附加壓力2動量定理：定軸轉動時軸上的附加壓力2動量定理：定軸轉動時軸上的附加壓力3定軸轉動時軸上的附加壓力3定軸轉動時軸上的附加壓力4剛體對A點的動量矩定理：定軸轉動時軸上的附加壓力4剛體對A點的動量矩定理：定軸轉動時軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉動的動力學方程對A點的動量矩定理動量定理定軸轉動時軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉動的動力學方程對定軸轉動時軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉動剛體，我們稱其達到了動平衡狀態。此時的轉軸稱為自由轉軸。剛體處于平衡狀態，A、B兩點的力稱靜力反作用力。剛體處于非平衡狀態，A、B兩點的力稱動力反作用力。靜力反作用力動力反作用力附加壓力定軸轉動時軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉動剛體，我們稱定軸轉動時軸上的附加壓力7動平衡的充要條件：即剛體的質心位于轉動軸上，且轉動軸是一慣量主軸。定軸轉動時軸上的附加壓力7動平衡的充要條件：即剛體的質心位于例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運轉物體的附加壓力遠大于靜力反作用力，且為周期性沖擊，會對軸承造成嚴重損傷。因此，保證高速運轉物體的動平衡是機器安裝的一個重要方面。注意例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運轉物體的剛體平面平行運動對于作平面平行運動的剛體，空間運動問題可以簡化為一平面運動問題。只需研究剛體內任意一個與固定平面平行的截面即可。純平動平面平行運動純轉動薄片上所有點的速度、加速度都與基點相同。任意一點的速度、加速度可由定軸轉動規律得到。AB剛體平面平行運動對于作平面平行運動的剛體，空間運動問題可以簡剛體平面平行運動_速度、加速度設基點A的速度為，而它的位矢為，則薄片中位矢為的任意一點的速度為：加速度為：方向？！剛體平面平行運動_速度、加速度設基點A的速度為，而剛體平面平行運動_轉動瞬心1轉動瞬心：當作平面運動的剛體（薄片）的角速度不為零時，在任一時刻，薄片所在的平面上總會有一個速度為零的點，該點稱為轉動瞬心，記為C。令速度為零可得轉動瞬心相對于固定系的坐標：轉動瞬心相對于A點動系的坐標：構成空間極跡（固定平面）構成本體極跡（薄片動系）剛體平面平行運動_轉動瞬心1轉動瞬心：當作平面運動的剛體（剛體的平面平行運動_轉動瞬心2若選轉動瞬心C為基點，薄片的運動會是什么情況？薄片的平面平動繞基點（轉動瞬心）的轉動如何尋找和確定轉動瞬心？對于純轉動而言，速度垂直于位矢，所以只要知道薄片上任兩點的速度，就可以找出轉動瞬心。本體極跡和空間極跡在某時刻的公切點即此時的轉動瞬心。薄片的平面平動本體極跡在空間極跡上無滑滾動轉動瞬心的速度為零，但加速度不為零!轉動瞬心不一定在薄片上，在其所在的平面！注意從基點速度矢量開始，順轉一直角的方向上，取線段剛體的平面平行運動_轉動瞬心2若選轉動瞬心C為基點，薄片的例題_尋找轉動瞬心例題_尋找轉動瞬心剛體平面平行運動_動力學基點運動學動力學任選:基點平動＋繞基點轉動質心平面平行運動質心平動繞質心的轉動相對于質心的動量矩定理質心運動定理外力包含約束反力，所以需外加約束方程。剛體平面平行運動_動力學基點運動學動力學任選:基點平動＋繞剛體平面平行運動_機械能守恒平面平行運動動能：柯尼希定理質心動能相對于質心運動的動能假如只有保守力作功，則機械能守恒：它可以代替前面動力學方程中的某一個。剛體平面平行運動_機械能守恒平面平行運動動能：柯尼希定理質心例題（P201）_平面平行運動1解：根據題意畫圖、建系、并給出受力分析。純滾動，有：約束方程圓柱體動力學方程：其中k為圓柱體對過質心垂直軸線的回轉半徑。例題（P201）_平面平行運動1解：根據題意畫圖、建系、并給例題（P201）_平面平行運動2純滾動：討論連滾帶滑：例題（P201）_平面平行運動2純滾動：討論連滾帶滑：滾動摩擦在前面例題中，若傾角為0，即在粗糙水平面滾動，則：圓柱體保持以初速的慣性運動。非絕對剛性接觸形變反作用力N不經過質心滾動摩擦力矩阻礙運動，最終靜止滾動摩擦系數滾動摩擦在前面例題中，若傾角為0，即在粗糙水平面滾動，則：圓剛體繞固定點的轉動定點轉動：剛體中只有一點固定不動，其它部分繞該點的瞬時軸轉動。剛體定點轉動的描述需三個獨立變量（歐拉角）。定點轉動章動、進動、自轉的合成一系列連續地繞轉動瞬軸的轉動轉動瞬軸：瞬時角速度所在的軸。瞬時速度為0的點組成的軸。轉動瞬軸在空間中所描繪的錐面，稱空間極面；轉動瞬軸在剛體上所描繪的錐面，稱本體極面；本體極面在在空間極面上的無滑滾動剛體繞固定點的轉動定點轉動：剛體中只有一點固定不動，其它部分歐勒（歐拉）角1歐勒角（Eulerangles）：三個獨立變化的角度，在剛體定點轉動時，以該定點作為坐標系原點，可以用這三個角來確定轉動軸的空間取向和剛體繞該軸轉過的角度。章動角ON稱為節線進動角自轉角歐勒（歐拉）角1歐勒角（Eulerangles）：三個獨立歐勒（歐拉）角2章動角進動角自轉角描述剛體可能運動狀態的歐勒角范圍：歐勒（歐拉）角2章動角進動角自轉角描述剛體可能運動狀態的歐勒歐勒運動學方程1固定坐標系中角速度與運動坐標系中角速度的關系。代表方向矢量，絕對值1。任意一角速度，可表示為：也可表示為：歐勒運動學方程1固定坐標系中角速度與運動坐標系中角速度的關系歐勒運動學方程2歐勒角與運動坐標系中角速度的關系。歐勒運動學方程2歐勒角與運動坐標系中角速度的關系。歐勒運動學方程3和對比可知：歐勒運動學方程歐勒運動學方程3和對比可知：歐勒運動學方程定點轉動角速度、速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向：沿t時刻的轉軸，即轉動瞬軸線速度：又：角速度與線速度關系單位：定點轉動角速度、速度角速度（Angularvelocity定點轉動角加速度、加速度角加速度（Angularacceleraton）：方向：轉動瞬軸的改變方向單位：線加速度：又：向軸加速度轉動加速度定點轉動角加速度、加速度角加速度（Angularaccel一般運動一般運動：自由剛體的運動。可以分解為平動和定點轉動。剛體定點轉動的描述需六個獨立變量。一般運動基點平動繞基點的轉動相對于基點的位矢一般運動一般運動：自由剛體的運動。可以分解為平動和定點轉動。例題（P207）_剛體運動速度、加速度1解：以A點為原點，水平面為xAy面建立坐標系（動系，y在切線方向）如圖：螺旋槳運動由兩部分組成：螺旋槳在xAz面內自轉隨飛機在xAy面內轉彎螺旋槳的總角速度：例題（P207）_剛體運動速度、加速度1解：以A點為原點，水例題（P207）_剛體運動速度、加速度2例題（P207）_剛體運動速度、加速度2例題（P207）_剛體運動速度、加速度3常矢變矢例題（P207）_剛體運動速度、加速度3常矢變矢例題（P207）_剛體運動速度、加速度3例題（P207）_剛體運動速度、加速度3回轉效應回轉效應：高速旋轉物體所具有的一種“反抗”外力矩“意志”的行為現象。思考生雞蛋容易立起來嗎？用什么辦法能夠快速地做到這一點？回轉儀：能夠繞幾何對稱軸高速旋轉的剛體。目標魚雷導航:回轉效應回轉效應：高速旋轉物體所具有的一種“反抗”外力矩“意剛體的概念及特點剛體（rigidbody）：假如質點組中任何兩質點間的距離都不會因力的作用而改變，我們就稱該質點組為剛體。屬理想模型。現實中沒有真正的剛體，但當物體的大小和形狀變化可以忽略不計時，通常便把它看作剛體。作用在剛體上的力可以剛性傳遞，為滑移矢量。剛體特點：各質點間無相對位移，因此也無相對速度，無內力作功。剛體的概念及特點剛體（rigidbody）：假如質點組中任剛體運動的分類和描述平動：剛體中的任意兩點的連線始終保持方向不變的運動。特點：剛體上所有質點都具有相同的速度和加速度；等同于質點運動；剛體平動的描述需三個獨立變量。定軸轉動：剛體中兩點始終保持不動，兩點連線外的其它部分繞這兩點確定的軸線作圓周運動。剛體定軸轉動的描述需一個獨立變量。平面平行運動（平面運動）：剛體中所有點始終保持平行于某一固定面的運動。相當于“平面平動＋定軸轉動”。剛體平面運動的描述需三個獨立變量。定點轉動：剛體中只有一點固定不動，其它部分繞該點的瞬時軸轉動。剛體定點轉動的描述需三個獨立變量（歐拉角）。一般運動：自由剛體的運動。可以分解為平動和定點轉動。剛體定點轉動的描述需六個獨立變量。剛體運動的分類和描述平動：剛體中的任意兩點的連線始終保持方向有限轉動與無限小轉動1有限轉動不滿足矢量對易律，不是矢量。圖象參見教材P159。無限小轉動是否滿足對易律，是否是矢量？角坐標：角位移：大小：方向：右手螺旋法則。有限轉動與無限小轉動1有限轉動不滿足矢量對易律，不是矢量。圖有限轉動與無限小轉動2無限小轉動是否滿足對易律，是否是矢量？？對線位移比較了解，故先尋求角位移與線位移間的關系：有限轉動與無限小轉動2無限小轉動是否滿足對易律，是否是矢量？有限轉動與無限小轉動3線位移：線位移：有限轉動與無限小轉動3線位移：線位移：有限轉動與無限小轉動4線位移滿足：！有限轉動與無限小轉動4線位移滿足：！角速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向：沿t時刻的轉軸，即轉動瞬軸線速度：又：角速度與線速度關系單位：角速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向補充_歐勒公式&泊松公式&矢量運算一個轉動的定長矢量對于時間的變化率，等于該矢量轉動的角速度矢乘該矢量本身。判斷對錯泊松公式歐勒公式補充_歐勒公式&泊松公式&矢量運算一個轉動的定長矢量對于時間角加速度角加速度（Angularacceleraton）：方向：轉動瞬軸的改變方向單位：線加速度：又：向軸加速度轉動加速度角加速度角加速度（Angularacceleraton）：角量與線量的關系對于圖示運動有：角量與線量的關系對于圖示運動有：力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產生的力學效果，決定于力的大小、方向和作用線的地位，與力的作用點在作用線上的地位無關。剛體上的力可沿作用線滑移，故稱滑移矢量，但不能隨意改變作用線位置，否則力的作用效果將改變！力的可傳性力的可傳性原理：剛體上的力所產生的力學效果，決定于力系的簡化1對于共點力：利用平行四邊形法則進行矢量合成；對于不共點但作用線相交的力，可以都滑移到交點處，再利用共點力合成。？力系的簡化1對于共點力：利用平行四邊形法則進行矢量合成；？力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相反、又不在同一直線的兩個力稱力偶。力偶的合力為0：力偶面：力偶所在的平面。力偶對于力偶面內任意一點P的力矩:兩力間的垂直距離：力偶臂力偶（couple）力偶：作用在同一物體上，大小相等、方向相力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學效果。垂直于力偶面，遵從右手螺旋法則。為自由矢量，可以作用在力偶面內的任意一點。多個共面力偶可以進行力偶矩合成，不受作用點限制！（與力有別）？力偶矩力偶矩：是力與力偶臂的乘積。力偶矩是力偶唯一的力學效果力系的簡化2作用在剛體上的每個力，都可化為經過任意一點P的一個力和一個力偶。因此不論多復雜的力系都可以求得一個合力和一個合力偶。P點稱為簡化中心；合力稱為主矢；力偶矩矢量和（合力偶）稱為主矩。力系的簡化2作用在剛體上的每個力，都可化為經過任意一點P的一力系的簡化3力系的簡化中心可以任意選取，選取原則是簡化問題的研究。通常以質心為剛體力系的簡化中心。主矢將使剛體質心的平動狀態發生變化；主矩將使剛體繞通過質心的軸線的轉動狀態發生變化。在對剛體力系做了簡化后，就可以討論描述剛體運動的微分方程了。對于不同的簡化中心，主矢和主矩是否相同？如果不同，會不會影響剛體的運動？思考力系的簡化3力系的簡化中心可以任意選取，選取原則是簡化問題的剛體運動微分方程1剛體質心C的運動微分方程：剛體質量質心加速度主矢剛體在質心動系中的動量矩定理：對質心的主矩質心系中對質心的總動量矩六個獨立變量六個運動微分方程剛體運動可唯一描述！剛體運動微分方程1剛體質心C的運動微分方程：剛體質量質心加速剛體運動微分方程2（1）它的質心好象一個具有質量m的質點，而所有外力作用在此質點上，且此時動量對時間的微商等于所有外力的矢量和。（2）剛體在相對于隨質心平動的動坐標系的運動中，對質心C的動量矩對時間的微商，等于所有外力對C的力矩的矢量和。（當轉動對于固定系的某定點而言時，也有類似結果）。有時也可用動能定理來代替以上得到的某個運動微分方程。絕對元位移由前面結果可知，對于自由剛體，假如在多個外力作用下在空間運動，則有：剛體運動微分方程2（1）它的質心好象一個具有質量m的質點，而剛體平衡方程只有當剛體受力的矢量和為零，并且受力對于任意一點力矩的矢量和也為零時，剛體才會處于平衡狀態。剛體平衡方程：共面（xy）力系：共點（O）力系：共面（xy）共點（O）力系：共線（x）力系：剛體平衡方程只有當剛體受力的矢量和為零，并且受力對于任意一點剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P，長為2l。將其一端置于粗糙地面，而C點靠在離地面h高的墻上。當棍子與地面的角度為最小值時，棍子在上述位置仍處于平衡狀態，求棍子與地面的摩擦系數。解：根據題意畫出受力圖，在如圖所示的坐標系中，有平衡方程：即：剛體平衡方程_例題例（教材P172）：一根均勻的棍子，重為P剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體平衡方程_例題求解上面的方程組：剛體的動量矩1剛體的動量矩：剛體的動量矩1剛體的動量矩：剛體的動量矩2剛體的動量矩2剛體的動量矩和轉動慣量令：以上為軸轉動慣量以上為慣量積剛體的動量矩和轉動慣量令：以上為軸轉動慣量以上為慣量積剛體的動量矩和慣量張量剛體動量矩在各坐標軸上的投影：該矩陣稱剛體對O點的慣量張量，矩陣中的各元素（軸轉動慣量和慣量積）稱慣量張量的組元，也叫慣量系數。剛體的動量矩和慣量張量剛體動量矩在各坐標軸上的投影：該矩陣稱剛體的轉動動能1剛體對定點O的轉動動能：剛體的轉動動能1剛體對定點O的轉動動能：剛體的轉動動能2剛體對定點O的轉動動能也可寫為：轉動慣量是物體轉動時慣性的量度。其大小取決于剛體質量分布、形狀和轉軸的位置。注意剛體繞轉動瞬軸的轉動慣量剛體的轉動動能2剛體對定點O的轉動動能也可寫為：轉動慣量是物轉動慣量1只要計算出剛體的三個軸轉動慣量和三個慣量積，再代入轉軸的方向余弦，就可求得剛體相對于該轉軸的轉動慣量I了。轉動慣量1只要計算出剛體的三個軸轉動慣量和三個慣量積，再代入轉動慣量2具有質量分布的剛體的轉動慣量，可等效于集所有質量于一身的一個質點的轉動慣量，該等效質點離軸線的垂直距離為k，稱為剛體對該軸線的回轉半徑。平行軸定理：剛體對于某軸線的轉動慣量，等于它對通過質心并與該軸平行的軸線的轉動慣量，外加剛體質量與兩軸間垂直距離的平方的乘積。即：練習1：自行證明該定理！正交軸定理：當剛體的質量為面分布時，剛體對該平面內任意兩個正交軸線的轉動慣量之和，等于它對過交點的另一正交軸的轉動慣量。如果質量分布在xoy平面內則有：練習2：自行證明該定理！轉動慣量2具有質量分布的剛體的轉動慣量，可等效于集所有質量于轉動慣量3求質量按規律分布，且形狀規則的剛體的轉動慣量，求和變積分：轉動慣量矩陣表達：轉動慣量3求質量按規律分布，且形狀規則的剛體的轉動慣量，求和慣量橢球1通過剛體上的某定點O的軸線可以有無數條，剛體對于各條都有一個轉動慣量，現考慮將各軸的轉動慣量I大小反應為幾何量。做法：在轉軸上截取一點Q，使它到O點的線段長度滿足：Q點的坐標為：將其代入轉動慣量方程：此為一橢球方程，由反映各軸慣量大小的線段端點構成的，稱為O點的慣量橢球。慣量橢球1通過剛體上的某定點O的軸線可以有無數條，剛體對于各慣量橢球2剛體上的每個點都對應一個慣量橢球。質心所對應的慣量橢球稱為中心慣量橢球。已知慣量橢球，可以由某軸上矢徑的長度求出剛體繞該軸轉動時的轉動慣量；反之，已知剛體對三坐標軸的轉動慣量和它們的慣量積，便可以寫出坐標原點的慣量橢球方程。選擇合適的坐標軸可以消去慣量積。每個慣量橢球都有三條相互垂直的主軸，稱為慣量主軸。設其長度分別為a，b，c。若把它們分別取為x，y，z軸，則該慣量橢球的方程可表示為：慣量橢球2剛體上的每個點都對應一個慣量橢球。每個慣量橢球都有慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標選擇下，慣量積項已經被消去了。僅剩三個主轉動慣量項，無需雙下標，故通常記為：剛體動量矩：剛體轉動動能：慣量橢球3由定義知：可見在這種坐標選擇下，慣量積項已經被消去慣量主軸求法如果剛體具有對稱面，那么對稱面中任意一點的垂線必為過該點的一條慣量主軸。如果剛體具有對稱軸，那么對稱軸必為軸上任意一點的慣量主軸。對于一個質量對稱分布或者具有幾何對稱性的質量均勻的剛體，在求慣量主軸時，有下列簡便的幾何法則：慣量主軸求法如果剛體具有對稱面，那么對稱面中任意一點的垂線必例題_轉動慣量的求法直接根據定義用積分來求先計算慣量張量中的各組元，和轉軸的方向余弦，再代入公式求繞軸的轉動慣量I。先找出慣量轉軸，取慣量主軸為坐標軸，再作計算。例題（參見教材P182）附加問題：寫出該長方形薄片定點及質心處的慣量橢球方程。該問題是“薄片”問題，不必考慮厚度。例題_轉動慣量的求法直接根據定義用積分來求例題（參見教材P1剛體的平動剛體平動時可用質心的運動來代表。由于剛體平動時，剛體其它部分與質心作類似運動，無相對于質心的轉動。所以存在剛體相對于質心的力矩平衡：但實際中，作平動的剛體通常受到約束，即上式的F表達式中包含未知的約束力，所以還需要附加方程。質心的運動微分方程：1、平動剛體的運動規律2、約束反作用力騎自行車時，為何不能急剎前閘？思考剛體的平動剛體平動時可用質心的運動來代表。由于剛體平動時，剛剛體定軸轉動1對于定軸轉動的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上的各點軌道都是一個平行于xoy平面，且以z軸上的垂足為圓心的圓圈。剛體上的各點間不同的量：剛體上的各點間相同的量：相互關系1：剛體定軸轉動1對于定軸轉動的剛體，通常選該定軸為z軸。剛體上剛體定軸轉動2相互關系2：剛體定軸轉動2相互關系2：剛體定軸轉動3動量矩定理定軸轉動剛體的動量矩定理剛體定軸轉動的動力學方程求解動力學方程便得描述剛體轉動的運動方程：定軸轉動剛體的動能：若所受外力皆為保守力，則：剛體定軸轉動3動量矩定理定軸轉動剛體的動量矩定理剛體定軸轉動例題_復擺1例（教材P188）：設質量為m的復擺繞通過某點O的水平軸作微小振動，試求其運動方程及振動周期，并加以討論。單擺：數學擺復擺：物理擺剛體復擺懸于O點，其質心C距懸點O為l，它繞通過懸點且垂直于紙面的軸擺動。圖示為剛體包含質心的一個剖面。假設剛體繞該定軸的轉動慣量為I0，回旋半徑為k0，即：定軸轉動的動力學方程：例題_復擺1例（教材P188）：設質量為m的復擺繞通過某點O例題_復擺2通解例題_復擺2通解例題_復擺3復擺周期：單擺周期：單擺擺長此為該剛體的等值單擺擺長即：相當于集所有質量于O’點的一個單擺。復擺的振動中心例題_復擺3復擺周期：單擺周期：單擺擺長此為該剛體的等值單擺例題_復擺4以O為懸點的周期：以O’為懸點的周期：懸點和振動中心可以互換。應用：實驗測定重力加速度g。優于單擺方法。例題_復擺4以O為懸點的周期：以O’為懸點的周期：懸點和振動思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強的沖擊，減小疼痛？思考利用復擺測定重力加速度比單擺精確的原因？思考棒球手或壘球手怎樣打球可以避免手受到很強的沖擊，減小疼痛補充例題_教材P228設均質棒的線密度為，可證明長為x的棒對于過其端點的垂直軸的轉動慣量為：。所以：該擺對于過O點的轉動軸的轉動慣量為：要想得角度的關系（運動方程），需解定軸轉動的動力學方程，而這首先要得到相對于定軸的轉動慣量和力矩的表達式。選夾角增大的方向(向內)為正方向，則擺對于過O點的轉動軸的力矩為：補充例題_教材P228設均質棒的線密度為，可證明長補充例題_教材P228定軸轉動的動力學方程：即：兩邊都乘以后根據初始條件積分：補充例題_教材P228定軸轉動的動力學方程：即：兩邊都乘以補充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關系，然而我們從中仍然沒有一個直觀和明了的感覺。不過我們對于這樣一個擺在平衡狀態下的夾角是很容易測得的，設為，下面我們來看一下兩者是否有一定的關系。平衡時力矩和為零：補充例題_教材P228此即夾角最大值所滿足的關系，然而我們從補充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時夾角的兩倍。補充例題_教材P228即：短棒與垂線間的最大夾角為平衡時夾角定軸轉動時軸上的附加壓力1定軸轉動為非自由運動。軸對剛體具有約束作用。如何求出約束反力呢？定軸轉動剛體A、B兩點不動軸的約束A、B兩點的約束反力動量定理（3）動量矩定理（3）剛體運動規律（1）A、B處的約束反力（5）定軸轉動時軸上的附加壓力1定軸轉動為非自由運動。軸對剛體具有定軸轉動時軸上的附加壓力2動量定理：定軸轉動時軸上的附加壓力2動量定理：定軸轉動時軸上的附加壓力3定軸轉動時軸上的附加壓力3定軸轉動時軸上的附加壓力4剛體對A點的動量矩定理：定軸轉動時軸上的附加壓力4剛體對A點的動量矩定理：定軸轉動時軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉動的動力學方程對A點的動量矩定理動量定理定軸轉動時軸上的附加壓力5此為剛體繞固定軸轉動的動力學方程對定軸轉動時軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉動剛體，我們稱其達到了動平衡狀態。此時的轉軸稱為自由轉軸。剛體處于平衡狀態，A、B兩點的力稱靜力反作用力。剛體處于非平衡狀態，A、B兩點的力稱動力反作用力。靜力反作用力動力反作用力附加壓力定軸轉動時軸上的附加壓力6附加壓力為零的定軸轉動剛體，我們稱定軸轉動時軸上的附加壓力7動平衡的充要條件：即剛體的質心位于轉動軸上，且轉動軸是一慣量主軸。定軸轉動時軸上的附加壓力7動平衡的充要條件：即剛體的質心位于例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運轉物體的附加壓力遠大于靜力反作用力，且為周期性沖擊，會對軸承造成嚴重損傷。因此，保證高速運轉物體的動平衡是機器安裝的一個重要方面。注意例題_附加壓力例：(教材P192)，參看書本。高速運轉物體的剛體平面平行運動對于作平面平行運動的剛體，空間運動問題可以簡化為一平面運動問題。只需研究剛體內任意一個與固定平面平行的截面即可。純平動平面平行運動純轉動薄片上所有點的速度、加速度都與基點相同。任意一點的速度、加速度可由定軸轉動規律得到。AB剛體平面平行運動對于作平面平行運動的剛體，空間運動問題可以簡剛體平面平行運動_速度、加速度設基點A的速度為，而它的位矢為，則薄片中位矢為的任意一點的速度為：加速度為：方向？！剛體平面平行運動_速度、加速度設基點A的速度為，而剛體平面平行運動_轉動瞬心1轉動瞬心：當作平面運動的剛體（薄片）的角速度不為零時，在任一時刻，薄片所在的平面上總會有一個速度為零的點，該點稱為轉動瞬心，記為C。令速度為零可得轉動瞬心相對于固定系的坐標：轉動瞬心相對于A點動系的坐標：構成空間極跡（固定平面）構成本體極跡（薄片動系）剛體平面平行運動_轉動瞬心1轉動瞬心：當作平面運動的剛體（剛體的平面平行運動_轉動瞬心2若選轉動瞬心C為基點，薄片的運動會是什么情況？薄片的平面平動繞基點（轉動瞬心）的轉動如何尋找和確定轉動瞬心？對于純轉動而言，速度垂直于位矢，所以只要知道薄片上任兩點的速度，就可以找出轉動瞬心。本體極跡和空間極跡在某時刻的公切點即此時的轉動瞬心。薄片的平面平動本體極跡在空間極跡上無滑滾動轉動瞬心的速度為零，但加速度不為零!轉動瞬心不一定在薄片上，在其所在的平面！注意從基點速度矢量開始，順轉一直角的方向上，取線段剛體的平面平行運動_轉動瞬心2若選轉動瞬心C為基點，薄片的例題_尋找轉動瞬心例題_尋找轉動瞬心剛體平面平行運動_動力學基點運動學動力學任選:基點平動＋繞基點轉動質心平面平行運動質心平動繞質心的轉動相對于質