第二篇數(shù)學(xué)物理方程本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法和行波法.特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程．

第二篇數(shù)學(xué)物理方程本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和1數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．?dāng)?shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各2聲振動(dòng)是研究聲源與聲波場(chǎng)之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場(chǎng)之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國(guó)數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢(shì)（或電場(chǎng)）和電荷分布之間的關(guān)系定解問(wèn)題從物理規(guī)律角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題表征的是場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系．聲振動(dòng)是研究聲源與聲波場(chǎng)之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場(chǎng)之3根據(jù)分析問(wèn)題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問(wèn)題分為正向問(wèn)題和逆向問(wèn)題.不同出發(fā)點(diǎn)

正向問(wèn)題，即為已知源求場(chǎng)

逆向問(wèn)題，即為已知場(chǎng)求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容.后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容根據(jù)分析問(wèn)題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問(wèn)題分為正向問(wèn)題和逆向問(wèn)4多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問(wèn)題和擴(kuò)散問(wèn)題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波5三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方6分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)7第九章數(shù)學(xué)建模---數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題9.1數(shù)學(xué)建模----波動(dòng)方程類型的建立具有波動(dòng)方程的數(shù)理方程的建立弦的橫振動(dòng)

桿的縱振動(dòng)

討論定解條件傳輸線方程

第九章數(shù)學(xué)建模---數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題9.1數(shù)學(xué)建模---89.1.1波動(dòng)方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)考察一根長(zhǎng)為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

9.1.1波動(dòng)方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)考察一根長(zhǎng)為且兩9注意：

物理問(wèn)題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)化．?dāng)?shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)．注意：10

根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為

（9.1.1）

作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零：

(9.1.2)僅考慮微小的橫振動(dòng)，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)式有根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為（9.1.1）11注意到:故由圖9.11得這樣，(9.1.1)和(9.1.2)簡(jiǎn)化為注意到:故由圖9.11得這樣，(9.1.1)和(9.1.212因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(9.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識(shí)有下式成立

這樣，段的運(yùn)動(dòng)方程(9.1.5)就成為

(9.1.6)因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出，弦中張力不隨而變，可記為13即為

（9.1.7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)稱為弦振動(dòng)方程．

其中討論：（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(9.1.7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（9.1.8）

稱式（9.1.8）為弦的自由振動(dòng)方程即為（9.1.714(2)如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(9.1.8)應(yīng)該改寫為

(9.1.9)式中稱為力密度

，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（9.1.9）稱為弦的受迫振動(dòng)方程.(2)如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(9.1152、均勻桿的縱振動(dòng)段的運(yùn)動(dòng)方程為（9.1.10）可得

（9.1.11）

這就是桿的縱振動(dòng)方程．2、均勻桿的縱振動(dòng)段的運(yùn)動(dòng)方程為（9.1.10）可得16討論(1)對(duì)于均勻桿，和是常數(shù)，(9.１.11）可以改寫成

（9.１.12）

其中這與弦振動(dòng)方程（9.１.8）具有完全相同的形式．（2）桿的受迫振動(dòng)方程跟弦的受迫振動(dòng)方程（9.１.9）完全一樣，只是其中應(yīng)是桿的單位長(zhǎng)度上單位橫截面積所受縱向外力討論(1)對(duì)于均勻桿，和是常數(shù)，(9.１.11）可以改寫173.傳輸線方程（電報(bào)方程）

（9.1.13）

同理可得：

(9.1.14)

式（9.1.13）及（9.1.14）即為一般的傳輸線方程（或電報(bào)方程）．3.傳輸線方程（電報(bào)方程）（9.1.13）18(1)無(wú)失真線

(9.1.15)

其中(2)無(wú)損耗線（9.1.16）

(9.1.17)

具有與振動(dòng)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同(1)無(wú)失真線(9.1.15)其中(219(3)無(wú)漏導(dǎo)，無(wú)電感線

（9.1.18）

(9.1.19)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同．(3)無(wú)漏導(dǎo)，無(wú)電感線209.1.2波動(dòng)方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件

波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，它給出振動(dòng)過(guò)程中每點(diǎn)的加速度．要確定振動(dòng)狀態(tài)，需知道開(kāi)始時(shí)刻每點(diǎn)的位移和速度．波動(dòng)方程的初始條件通常是

（9.1.22）

9.1.2波動(dòng)方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件121例9．1．1一根長(zhǎng)為的弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為的位置將弦沿著橫向拉開(kāi)距離

，如圖9.5所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。

x

u

o

b

l

h

圖9.5

【解】初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

例9．1．1一根長(zhǎng)為的弦，兩端固定于和,在距離坐222.邊界條件

常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值

第二類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值

（9.1.23）

（9.1.24）

2.邊界條件常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件23第三類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值

（9.1.25）

其中是時(shí)間的已知函數(shù)，為常系數(shù)．

第三類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合249.2數(shù)學(xué)建模－熱傳導(dǎo)方程類型的建立9.2.1數(shù)學(xué)物理方程――熱傳導(dǎo)類型方程的建立

1.熱傳導(dǎo)方程

推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：

時(shí)間內(nèi)，通過(guò)面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：

（9.2.1）

式中是導(dǎo)熱系數(shù)

9.2數(shù)學(xué)建模－熱傳導(dǎo)方程類型的建立9.2.1數(shù)學(xué)物理方程25圖9.8取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖9.8表示t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABCD面流入的熱量為同樣，在時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為圖9.8取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖9.8表示t時(shí)刻物體內(nèi)26在t到時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密度和比熱，則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程或?qū)懗?/p>

(9.2.2)在t到時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密27

2.擴(kuò)散方程

(9.2.3)

其中將一維推廣到三維，即得到

(9.2.4)上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式2.擴(kuò)散方程28若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為

（9.2.5）

從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來(lái)描述.若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為（299.2.2熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件

1初始條件

熱傳導(dǎo)方程的初始條件一般為（9.2.6）

2邊界條件第一類:

已知任意時(shí)刻邊界面上的溫度分布

(9.2.7)直接給出函數(shù)u在邊界上的數(shù)值,所以是第一類邊界條件.9.2.2熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件1初始條302.第二類

已知任意時(shí)刻從外部通過(guò)邊界流入物體內(nèi)的熱量。

設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)邊界上單位面積流入的熱量為.考慮物體內(nèi)以邊界上面積元為底的一個(gè)小圓柱體，如圖9.10所示.圖9.10物體內(nèi)部通過(guò)流入小柱體的熱量為

小柱體內(nèi)溫度升高所需要的熱量隨著柱高趨于零而趨近于零

2.第二類已知任意時(shí)刻從外部通過(guò)邊界流入物體內(nèi)的熱量。31

所以當(dāng)由熱平衡方程給出:

考慮到時(shí),

則得

(9.2.8)所以當(dāng)由熱平衡方程給出:考慮到時(shí),則得323.第三類

根據(jù)牛頓冷卻定律:單位時(shí)間從周圍介質(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比,即

這里是外界媒質(zhì)的溫度.

為常數(shù)

與推導(dǎo)條件(9.2.11)相似,此時(shí)可得邊界條件

(9.2.9)其中

3.第三類根據(jù)牛頓冷卻定律:單位時(shí)間從周圍介質(zhì)傳到邊界339.3數(shù)學(xué)建模——穩(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立9.3.1數(shù)學(xué)建模——穩(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立

1靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程

直角坐標(biāo)系中泊松方程為

(9.3.1)若空間中無(wú)電荷，即電荷密度，上式成為

(9.3.2)稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.9.3數(shù)學(xué)建模——穩(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立9.3.1數(shù)學(xué)建模342.穩(wěn)定溫度分布

導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程（9.2.1)，(9.2.2)即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(9.3.3)

(9.3.4)2.穩(wěn)定溫度分布導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變359.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件

泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件.邊界條件分為三類:1、在邊界上直接給定未知函數(shù),即為第一類邊界條件．2、在邊界上給定未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值,即為第二類邊界條件．3、在邊界上給定未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的某種線性組合,即第三類邊界條件.

9.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件泊松方程和拉普36第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成

(9.3.5)其中是邊界上的變點(diǎn)；

表示物理量沿邊界外法線方向的方向?qū)?shù)；

為常數(shù)，它們不同時(shí)為零．

第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成379.4數(shù)學(xué)物理定解理論

9.4.1定解條件和定解問(wèn)題的提法

邊界條件的類型

除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界條件，銜接條件,周期性條件和無(wú)邊界條件．

9.4數(shù)學(xué)物理定解理論9.4.1定解條件和定解問(wèn)題的提389.4.2數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的適定性

(1)解的存在性

看所歸結(jié)出來(lái)的定解問(wèn)題是否有解；(2)解的唯一性

看是否只有一個(gè)解(3)解的穩(wěn)定性

當(dāng)定解問(wèn)題的自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí)，解是否相應(yīng)地只有微小的變化量定解問(wèn)題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性.9.4.2數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的適定性(1)解的存在性看39

9.4.3數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的求解方法

1.行波法；2.分離變量法；3.冪級(jí)數(shù)解法；4.格林函數(shù)法；5.積分變換法；6.保角變換法；7.變分法；8.計(jì)算機(jī)仿真解法；9.數(shù)值計(jì)算法9.4.3數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的求解方法1.行波法；409.5本章典型綜合實(shí)例

例9.5.1長(zhǎng)為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時(shí)刻時(shí)處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動(dòng)，試寫出此定解問(wèn)題.

【解】（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點(diǎn)，弦作自由（無(wú)外力）橫振動(dòng)，所以泛定方程為齊次波動(dòng)方程9.5本章典型綜合實(shí)例例9.5.1長(zhǎng)為的弦在端固定，41(2)確定邊界條件

對(duì)于弦的固定端，顯然有另一端自由，意味著其張力為零．故由式（9.1.39），則(3)確定初始條件

根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零

初始速度

(2)確定邊界條件對(duì)于弦的固定端，顯然有另一端自由，意味42綜上討論，故定解問(wèn)題為綜上討論，故定解問(wèn)題為43本章綜合習(xí)題本章綜合習(xí)題44擴(kuò)散方程課件45擴(kuò)散方程課件46擴(kuò)散方程課件47計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐48第二篇數(shù)學(xué)物理方程本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法和行波法.特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程．

第二篇數(shù)學(xué)物理方程本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和49數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．?dāng)?shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各50聲振動(dòng)是研究聲源與聲波場(chǎng)之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場(chǎng)之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國(guó)數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢(shì)（或電場(chǎng)）和電荷分布之間的關(guān)系定解問(wèn)題從物理規(guī)律角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題表征的是場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系．聲振動(dòng)是研究聲源與聲波場(chǎng)之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場(chǎng)之51根據(jù)分析問(wèn)題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問(wèn)題分為正向問(wèn)題和逆向問(wèn)題.不同出發(fā)點(diǎn)

正向問(wèn)題，即為已知源求場(chǎng)

逆向問(wèn)題，即為已知場(chǎng)求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容.后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容根據(jù)分析問(wèn)題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問(wèn)題分為正向問(wèn)題和逆向問(wèn)52多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問(wèn)題和擴(kuò)散問(wèn)題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波53三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方54分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)55第九章數(shù)學(xué)建模---數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題9.1數(shù)學(xué)建模----波動(dòng)方程類型的建立具有波動(dòng)方程的數(shù)理方程的建立弦的橫振動(dòng)

桿的縱振動(dòng)

討論定解條件傳輸線方程

第九章數(shù)學(xué)建模---數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題9.1數(shù)學(xué)建模---569.1.1波動(dòng)方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)考察一根長(zhǎng)為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

9.1.1波動(dòng)方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)考察一根長(zhǎng)為且兩57注意：

物理問(wèn)題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)化．?dāng)?shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)．注意：58

根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為

（9.1.1）

作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零：

(9.1.2)僅考慮微小的橫振動(dòng)，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)式有根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為（9.1.1）59注意到:故由圖9.11得這樣，(9.1.1)和(9.1.2)簡(jiǎn)化為注意到:故由圖9.11得這樣，(9.1.1)和(9.1.260因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(9.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識(shí)有下式成立

這樣，段的運(yùn)動(dòng)方程(9.1.5)就成為

(9.1.6)因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出，弦中張力不隨而變，可記為61即為

（9.1.7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)稱為弦振動(dòng)方程．

其中討論：（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(9.1.7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（9.1.8）

稱式（9.1.8）為弦的自由振動(dòng)方程即為（9.1.762(2)如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(9.1.8)應(yīng)該改寫為

(9.1.9)式中稱為力密度

，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（9.1.9）稱為弦的受迫振動(dòng)方程.(2)如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(9.1632、均勻桿的縱振動(dòng)段的運(yùn)動(dòng)方程為（9.1.10）可得

（9.1.11）

這就是桿的縱振動(dòng)方程．2、均勻桿的縱振動(dòng)段的運(yùn)動(dòng)方程為（9.1.10）可得64討論(1)對(duì)于均勻桿，和是常數(shù)，(9.１.11）可以改寫成

（9.１.12）

其中這與弦振動(dòng)方程（9.１.8）具有完全相同的形式．（2）桿的受迫振動(dòng)方程跟弦的受迫振動(dòng)方程（9.１.9）完全一樣，只是其中應(yīng)是桿的單位長(zhǎng)度上單位橫截面積所受縱向外力討論(1)對(duì)于均勻桿，和是常數(shù)，(9.１.11）可以改寫653.傳輸線方程（電報(bào)方程）

（9.1.13）

同理可得：

(9.1.14)

式（9.1.13）及（9.1.14）即為一般的傳輸線方程（或電報(bào)方程）．3.傳輸線方程（電報(bào)方程）（9.1.13）66(1)無(wú)失真線

(9.1.15)

其中(2)無(wú)損耗線（9.1.16）

(9.1.17)

具有與振動(dòng)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同(1)無(wú)失真線(9.1.15)其中(267(3)無(wú)漏導(dǎo)，無(wú)電感線

（9.1.18）

(9.1.19)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同．(3)無(wú)漏導(dǎo)，無(wú)電感線689.1.2波動(dòng)方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件

波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，它給出振動(dòng)過(guò)程中每點(diǎn)的加速度．要確定振動(dòng)狀態(tài)，需知道開(kāi)始時(shí)刻每點(diǎn)的位移和速度．波動(dòng)方程的初始條件通常是

（9.1.22）

9.1.2波動(dòng)方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件169例9．1．1一根長(zhǎng)為的弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為的位置將弦沿著橫向拉開(kāi)距離

，如圖9.5所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。

x

u

o

b

l

h

圖9.5

【解】初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

例9．1．1一根長(zhǎng)為的弦，兩端固定于和,在距離坐702.邊界條件

常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值

第二類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值

（9.1.23）

（9.1.24）

2.邊界條件常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件71第三類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值

（9.1.25）

其中是時(shí)間的已知函數(shù)，為常系數(shù)．

第三類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合729.2數(shù)學(xué)建模－熱傳導(dǎo)方程類型的建立9.2.1數(shù)學(xué)物理方程――熱傳導(dǎo)類型方程的建立

1.熱傳導(dǎo)方程

推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：

時(shí)間內(nèi)，通過(guò)面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：

（9.2.1）

式中是導(dǎo)熱系數(shù)

9.2數(shù)學(xué)建模－熱傳導(dǎo)方程類型的建立9.2.1數(shù)學(xué)物理方程73圖9.8取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖9.8表示t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABCD面流入的熱量為同樣，在時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為圖9.8取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖9.8表示t時(shí)刻物體內(nèi)74在t到時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密度和比熱，則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程或?qū)懗?/p>

(9.2.2)在t到時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密75

2.擴(kuò)散方程

(9.2.3)

其中將一維推廣到三維，即得到

(9.2.4)上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式2.擴(kuò)散方程76若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為

（9.2.5）

從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來(lái)描述.若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為（779.2.2熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件

1初始條件

熱傳導(dǎo)方程的初始條件一般為（9.2.6）

2邊界條件第一類:

已知任意時(shí)刻邊界面上的溫度分布

(9.2.7)直接給出函數(shù)u在邊界上的數(shù)值,所以是第一類邊界條件.9.2.2熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件1初始條782.第二類

已知任意時(shí)刻從外部通過(guò)邊界流入物體內(nèi)的熱量。

設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)邊界上單位面積流入的熱量為.考慮物體內(nèi)以邊界上面積元為底的一個(gè)小圓柱體，如圖9.10所示.圖9.10物體內(nèi)部通過(guò)流入小柱體的熱量為

小柱體內(nèi)溫度升高所需要的熱量隨著柱高趨于零而趨近于零

2.第二類已知任意時(shí)刻從外部通過(guò)邊界流入物體內(nèi)的熱量。79

所以當(dāng)由熱平衡方程給出:

考慮到時(shí),

則得

(9.2.8)所以當(dāng)由熱平衡方程給出:考慮到時(shí),則得803.第三類

根據(jù)牛頓冷卻定律:單位時(shí)間從周圍介質(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比,即

這里是外界媒質(zhì)的溫度.

為常數(shù)

與推導(dǎo)條件(9.2.11)相似,此時(shí)可得邊界條件

(9.2.9)其中

3.第三類根據(jù)牛頓冷卻定律:單位時(shí)間從周圍介質(zhì)傳到邊界819.3數(shù)學(xué)建模——穩(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立9.3.1數(shù)學(xué)建模——穩(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立

1靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程

直角坐標(biāo)系中泊松方程為

(9.3.1)若空間中無(wú)電荷，即電荷密度，上式成為

(9.3.2)稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.9.3數(shù)學(xué)建模——穩(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立9.3.1數(shù)學(xué)建模822.穩(wěn)定溫度分布

導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程（9.2.1)，(9.