立體幾何大題同步練習(xí)解答題（共10小題）1．（2023?福建）如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A﹣MBC的體積．2．（2023?山東）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求證：BE⊥平面PAC．3．（2023?江蘇）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求證：（1）直線PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．4．（2023?北京）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求證：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱錐E﹣ABC的體積．5．（2023?浦東新區(qū)一模）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．（1）求證：SA⊥CD；（2）求異面直線SB與CD所成角的大小．6．（2023?安徽模擬）如圖：已知四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證：（1）PC∥平面EBD．（2）平面PBC⊥平面PCD．7．（2023?云南模擬）如圖所示，在三棱錐P﹣ABC中，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求證：AB⊥PC．8．（2023?鹽城二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E為PC的中點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面BDE；（2）求證：BE⊥平面PAC．9．（2023?蘇州一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．10．（2023?河西區(qū)三模）如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求證：BC⊥A1D；（2）求證：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱錐A1﹣BCD的體積．立體幾何大題同步練習(xí)參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2023?福建）如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A﹣MBC的體積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）證明：CD⊥平面ABD，只需證明AB⊥CD；（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)換底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM?CD，即可求出三棱錐A﹣MBC的體積．解答：（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM?CD=．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查三棱錐A﹣MBC的體積，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．2．（2023?山東）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求證：BE⊥平面PAC．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）證明四邊形ABCE是平行四邊形，可得O是AC的中點(diǎn)，利用F為線段PC的中點(diǎn)，可得PA∥OF，從而可證AP∥平面BEF；（Ⅱ）證明BE⊥AP、BE⊥AC，即可證明BE⊥平面PAC．解答：證明：（Ⅰ）連接CE，則∵AD∥BC，BC=AD，E為線段AD的中點(diǎn)，∴四邊形ABCE是平行四邊形，BCDE是平行四邊形，設(shè)AC∩BE=O，連接OF，則O是AC的中點(diǎn)，∵F為線段PC的中點(diǎn)，∴PA∥OF，∵PA?平面BEF，OF?平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四邊形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四邊形ABCE是平行四邊形，∴四邊形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行、垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用直線與平面平行、垂直的判定是關(guān)鍵3．（2023?江蘇）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求證：（1）直線PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面垂直的判定．專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）由D、E為PC、AC的中點(diǎn)，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可．解答：證明：（1）∵D、E為PC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥PA，又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E為PC、AC的中點(diǎn)，∴DE=PA=3；又∵E、F為AC、AB的中點(diǎn)，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的平行與垂直問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，是基礎(chǔ)題目．4．（2023?北京）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求證：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱錐E﹣ABC的體積．考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）證明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）證明C1F∥平面ABE，只需證明四邊形FGEC1為平行四邊形，可得C1F∥EG；（Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱錐E﹣ABC的體積．解答：（Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥B1BCC1，∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）證明：取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則∵F是BC的中點(diǎn)，∴FG∥AC，F(xiàn)G=AC，∵E是A1C1的中點(diǎn)，∴FG∥EC1，F(xiàn)G=EC1，∴四邊形FGEC1為平行四邊形，∴C1F∥EG，∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴VE﹣ABC===點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、垂直的證明，考查三棱錐E﹣ABC的體積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行、垂直的判定定理是關(guān)鍵．5．（2023?浦東新區(qū)一模）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．（1）求證：SA⊥CD；（2）求異面直線SB與CD所成角的大小．考點(diǎn)：異面直線及其所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）由線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥SD，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得CD⊥AD，可判CD⊥平面SDA，可得結(jié)論；（2）可得∠SBA或其補(bǔ)角是異面直線SB與CD所成角，在直角△SAB中可得tan∠SBA的值，由反三角函數(shù)可得．解答：解：（1）∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥SD，又∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SDA，又∵SA?平面SDA，∴SA⊥CD（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB‖CD，∴∠SBA或其補(bǔ)角是異面直線SB與CD所成角，由（1）知BA⊥平面SDA，∴△SAB是直角三角形∴tan∠SBA===，∴∠SBA=arctan，故異面直線SB與CD所成角的大小為．點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，涉及線面垂直的判定定理和反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．6．（2023?安徽模擬）如圖：已知四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證：（1）PC∥平面EBD．（2）平面PBC⊥平面PCD．考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）連BD，與AC交于O，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；（2）證明BC⊥平面PCD，即可證得平面PBC⊥平面PCD．解答：證明：（1）連BD，與AC交于O，連接EO∵ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，∵E是PA的中點(diǎn)，∴EO∥PC又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD∴PC∥平面EBD；（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴BC⊥PD∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD又∵PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD∵BC?平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面平行，掌握線面平行，面面平行的判定方法是關(guān)鍵．7．（2023?云南模擬）如圖所示，在三棱錐P﹣ABC中，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求證：AB⊥PC．考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）依題意知E，F(xiàn)為中位線推斷出EF∥AB，依據(jù)線面平行的判定定理推斷出EF∥平面PAB．（2）取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)PG，CG，根據(jù)PA=PB，CA=CB，判斷出△PAB，△ACB均為等腰三角形進(jìn)而可推斷出AB⊥PG，AB⊥CG，利用線面垂直的判定定理得出AB⊥平面GPC，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出AB⊥PC的結(jié)論．解答：（1）證明：∵E，F(xiàn)為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，∵AB?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）證明：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)PG，CG，∵PA=PB，CA=CB，∴AB⊥PG，AB⊥CG，∵PG?平面GPC，CG?平面GPC，且PG∩CG=C，∴AB⊥平面GPC，∵PC?平面GPC，∴AB⊥PC．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線和平面平行的判定和直線與平面垂直的判定．綜合考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用．8．（2023?鹽城二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E為PC的中點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面BDE；（2）求證：BE⊥平面PAC．考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE．根據(jù)ABCD為矩形，推斷O是AC的中點(diǎn)，同時(shí)E是PC中點(diǎn)，推斷出OE為中位線，即OE∥AP，再根據(jù)線面平行的判定定理AP?平面BDE，OE?平面BDE，推斷出AP∥平面BDE．（2）根據(jù)已知平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，推斷BC⊥平面PAB．進(jìn)而利用線面垂直性質(zhì)知BC⊥PA，根據(jù)PB⊥PA，BC∩PB=B，BC，PB?平面PBC，推斷出PA⊥平面PBC．進(jìn)而知PA⊥BE，根據(jù)BP=PC，且E為PC中點(diǎn)，可知BE⊥PC，最后利用線面垂直的判定定理推斷出BE⊥平面PAC．解答：證明：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE．∵四邊形ABCD為矩形，∴O是AC的中點(diǎn)．∵E是PC中點(diǎn)，∴OE∥AP．∵AP?平面BDE，OE?平面BDE，∴AP∥平面BDE．（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴BC⊥平面PAB．∵AP?平面PAB，∴BC⊥PA．∵PB⊥PA，BC∩PB=B，BC，PB?平面PBC，∴PA⊥平面PBC．∵BE?平面PBC，∴PA⊥BE．∵BP=PC，且E為PC中點(diǎn)，∴BE⊥PC．∵PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，∴BE⊥平面PAC．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間位置關(guān)系中，線面平行，線面垂直的判定．注意對(duì)線面平行，線面垂直的判定定理靈活運(yùn)用，對(duì)線面平行和線面垂直的性質(zhì)能熟練掌握．9．（2023?蘇州一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．考點(diǎn)：直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）連接AC，交BD與點(diǎn)O，連接OM，先證明出MO∥PA，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出PA∥平面MDB．（2）先證明出BC⊥平面PCD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出BC⊥PD．解答：證明：（1）連接AC，交BD與點(diǎn)O，連接OM，∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，∴MO∥PA，∵M(jìn)O?平面MDB，PA?平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，∴BC⊥PD．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定和線面垂直的判定．判定的關(guān)鍵是先找到到線線平行，線線垂直．10．（2023?河西區(qū)三模）如圖，已知矩形ABCD中