計算流體力學講義2020

第五講差分方法（3）李新亮知識點：

通量技術(shù)簡介——Steger-Warming,Roe

常用的隱式處理方法——LU-SGS

1CopyrightbyLiXinliang計算流體力學講義2020知識點：1CopyrightbCopyrightbyLiXinliang2知識回顧：單調(diào)、保單調(diào)和TVD概念：網(wǎng)格Reynolds數(shù)

單調(diào)格式、保單調(diào)格式及TVD格式Harten定理：正系數(shù)原則TVD保單調(diào)單調(diào)TVD格式=1階迎風+j*（修正項）二階精度區(qū)TVD區(qū)二階精度TVD區(qū)（二者交集）CopyrightbyLiXinliang2知識回顧：CopyrightbyLiXinliang3Step1針對模型方程構(gòu)造差分格式Step2將格式推廣到Euler方程方法1：流通矢量分裂(FVS)

通量分裂技術(shù)：模型方程NS/Euler方程格式1格式2（利用對稱性，將格式1中的j+k替換成j-k即可）CopyrightbyLiXinliang3StepCopyrightbyLiXinliang4方法2：通量差分分裂（FDS）特點：對流通矢量f的導數(shù)進行分裂

Godnov,Roe,HLL,HLLC

方法3：AUSM類方法vanLeer分裂法+壓力項單獨處理

利用Riemann解利用差分表達式，計算求解Riemann問題，獲得通量CopyrightbyLiXinliang4方法2：1.Jacobian系數(shù)矩陣及其性質(zhì)重要性質(zhì)5CopyrightbyLiXinliang容易驗證：驗證方法2：利用齊函數(shù)性質(zhì)§5.1流通矢量分裂：Steger-Warming、L-F1.Jacobian系數(shù)矩陣及其性質(zhì)重要性質(zhì)5Copy2.流通矢量分裂(FVS)=+優(yōu)點：耗散小缺點：導數(shù)間斷A:Steger-Warming分裂6CopyrightbyLiXinliang向量分裂特征值標量分裂任意函數(shù)分解為：非負函數(shù)+非正函數(shù)2.流通矢量分裂(FVS)=+優(yōu)點：耗散小A:Steg=+優(yōu)點：耗散小缺點：導數(shù)間斷特點：不必進行矩陣運算，計算量小Steger-Warming分裂7CopyrightbyLiXinliang改進版=+優(yōu)點：耗散小特點：不必進行矩陣運算，計算量小StegeSteger-Warming具體步驟（以一維為例）已知1）計算2）計算3）計算4）帶入（1）式得到5）利用不同的迎風格式，分別計算

（1）（后差，前差）6）計算7）時間推進8CopyrightbyLiXinliangSteger-Warming具體步驟（以一維為例）已知1二維問題的steger-Warming分裂令：則：具體使用步驟，以計算為例令

計算特征值

分裂特征值，計算

帶入左式，計算正、負流通矢量

計算計算設置，并注意對于曲線坐標系僅需令三維問題同樣處理

二維、三維具體公式見傅德薰等《計算空氣動力學》4.7節(jié)（158-162）書中公式有一定的排版錯誤，使用前務必重新仔細推導！9CopyrightbyLiXinliang二維問題的steger-Warming分裂令：則：具體使用B:Lax-Friedrichs(L-F)分裂特點：正特征值負特征值=+缺點：耗散偏大局部L-F分裂，每個點上計算全局L-F分裂，全局（一維）上計算足夠大數(shù)學性質(zhì)（光滑性）最好，但耗散偏大常數(shù)與迎風格式結(jié)合，等價于人工粘性例如，可取10CopyrightbyLiXinliangB:Lax-Friedrichs(L-F)分裂特點：方式很多=+S-W:L-F:=+VanLeer:=+11CopyrightbyLiXinliang方式很多=+S-W:L-F:=+VanLeer:=+11C

分裂后失去了A的性質(zhì)（可以像常數(shù)一樣與求導交換）FVS分裂：

優(yōu)點：無需矩陣運算，計算量小

缺點：分裂后改變了特征方向，耗散大利用了性質(zhì)一般情況下：變系數(shù)，

不能與導數(shù)交換實質(zhì)：沒有做到解耦；只是把原變量重新組合，組合后波的傳播方向的保證f+向正向傳播，f-向負向傳播

缺點：由于未解耦，各變量的誤差會相互傳遞12CopyrightbyLiXinliang分裂后失去了A的性質(zhì)（可以像常數(shù)一樣與求導交概念澄清：

流通矢量分裂本身不帶來耗散，但其會影響到差分的耗散;舉例：分裂過程耗散如果差分格式無耗散（例如都用中心差分），則通量分裂不帶來耗散。=+向上平移向下平移分裂差分格式耗散分裂后的流場越偏離原先流場，則總體耗散越大精確滿足，不引入誤差！如使用低精差分度格式，則對分裂形式敏感（推薦使用特征分裂）如使用高精度格式（低耗散），則對分裂形式不敏感（可使用逐點分裂）13CopyrightbyLiXinliang概念澄清：舉例：分裂過程耗散如果差分格式無耗散（例如都用中心CopyrightbyLiXinliang14FVS差分方法一般流程Step1.構(gòu)造差分格式差分格式Step2.推廣到方程組具體步驟（逐點分裂）：通量分裂差分格式j=1,2,3……NCopyrightbyLiXinliang14FV3.特征重構(gòu)方法常系數(shù)方程組：完全解耦變系數(shù)情況——局部凍結(jié)系數(shù)…j-2j-1jj+1…在基架點上系數(shù)不變計算：在差分基架點上Aj

不變，可按常矩陣處理局部凍結(jié)系數(shù)分別采用后差和前差優(yōu)點：嚴格保證（局部）特征方向，數(shù)值解質(zhì)量好；缺點：大量矩陣運算，計算量大。15CopyrightbyLiXinliang3.特征重構(gòu)方法常系數(shù)方程組：完全解耦變系數(shù)情況——局部16具體步驟（特征分裂）：通量分裂…j-2j-1jj+1…j+1/2k=1,2…..N2）針對j點：計算特征矩陣1）逐點分裂3）（將網(wǎng)格基架點）變換到特征空間k=…,j-2,j-1,j,…網(wǎng)格基架點4）在特征空間計算j+1/2值差分格式，例如：5）變換回物理空間簡單平均即可（Roe平均效果更好些）6）時間推進16具體步驟（特征分裂）：通量分裂…j-2CopyrightbyLiXinliang17§5.2Roe格式通量分裂技術(shù)：流通矢量分裂（FVS）：通量差分分裂（FDS）：Step1:運用差分格式，計算Step2:運用Riemann解，計算Step3:jj+1精確Riemann解計算量大，且效果未必比近似Riemann解好Roe格式是目前應用最為廣泛的近似Riemann解耗散低、分辨率高穩(wěn)定性好、低振蕩CopyrightbyLiXinliang17§5.CopyrightbyLiXinliang181.單方程的Roe格式線性化，用平均變化率代替(j,j+1)之間的變化率a(u)“平均斜率”，不等于“斜率的平均值”，也不等于中點處的斜率非線性情況根據(jù)Langrage中值定理，[uL,uR]之間必有一點uRoe,該點處的斜率為平均斜率;二次函數(shù)f(u)=u2中點處的斜率=平均斜率CopyrightbyLiXinliang181.CopyrightbyLiXinliang192.方程組的情況平均斜率線性化，以平均增長率代替瞬時增長率[j,j+1]區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且可通過相似變換對角化

應當具有的性質(zhì)常系數(shù)方程的Riemann解CopyrightbyLiXinliang192.方CopyrightbyLiXinliang20平均斜率xj+1/2常系數(shù)單波方程的Riemann解Roe格式：微分型近似Riemann解CopyrightbyLiXinliang20平均斜率CopyrightbyLiXinliang213.矩陣的構(gòu)造關(guān)鍵：“向量除以向量”？直接求平均增長率：uf(u)uLuRuRoeRoe點的斜率為平均斜率（根據(jù)拉格朗日中值定理，[UL,UR]區(qū)間內(nèi)肯定存在Roe點）思路1：在UL與UR之間尋找一個點URoe,該點處的增長率為平均增長率f(u)=u2u二次函數(shù)——Roe點與中點重合標量函數(shù)的啟示：Roe點肯定存在（Langrage中值定理）

二次函數(shù)的中點即為Roe點思路2：進行坐標變換，得到一個二次（齊）函數(shù)引入如果

是二次（齊）函數(shù)，則其中點即為Roe點重要啟示更準確地講，應當是要求為W的線性函數(shù)，

即增長率為線性函數(shù)（中點處的增長率剛好為平均增長率）CopyrightbyLiXinliang213.矩CopyrightbyLiXinliang22針對Euler方程的具體構(gòu)造引入新變量：則：目的：使得F(w)是W二次齊函數(shù)（增長率為線性函數(shù)）f(U)不是U的二次齊函數(shù)二次齊函數(shù)！中點處的斜率即為平均斜率。Roe點Roe點為：增長率為線性函數(shù)！CopyrightbyLiXinliang22針對EuCopyrightbyLiXinliang23最終：其中如下計算：平均增長率（矩陣）含義：左、右兩個狀態(tài)點的某種平均（稱為Roe平均，為密度加權(quán)平均）

該狀態(tài)點對應的增長率（矩陣）為平均增長率（矩陣）

實際上是一種“等效平均”。效果優(yōu)于簡單的算數(shù)（或幾何）平均。

三維情況下，還有其他量（如壓力、溫度、音速等）用這三個量計算（5）簡單易記：CopyrightbyLiXinliang23最終：其CopyrightbyLiXinliang24Roe格式的計算步驟（半離散）已知n時刻所有網(wǎng)格點上的物理量，對于j點：1）利用差分格式計算UR,UL

2）采用Roe平均公式（5）計算Roe平均值3）將Jacobian矩陣進行特征分解:

計算4)計算5）計算6）計算空間導數(shù)7）時間推進，計算下一時間步的值。j-1jj+1與前文（第3，4講）的形式相同，僅需把式中的密度、壓力、速度等換成經(jīng)過Roe平均的密度、壓力、速度即可其中：推薦：特征投影CopyrightbyLiXinliang24RoeCopyrightbyLiXinliang25可能出現(xiàn)導數(shù)不連續(xù)，可能引起數(shù)值振蕩實際使用時可用如下函數(shù)代替——所謂“熵修正”實際上是在特征值0點周圍增加了耗散Roe格式的優(yōu)點：1）保持守恒性的同時，嚴格保證了特征方向2）便于推廣到高精度格式——特征投影分裂中使用Roe平均即可（見本PPT第5頁）。推廣到高階后，雖不再保證嚴格的特征方向，但仍優(yōu)于采用算數(shù)平均方法。Roe格式的不足：

原始的Roe格式本身精度只有一階（可通過插值推廣到高階）；

推廣到高階后，特征方向無法嚴格保證；

推廣到二維或三維后，特征方向無法嚴格保證，出現(xiàn)振蕩。CopyrightbyLiXinliang25可能出現(xiàn)CopyrightbyLiXinliang26關(guān)于f(U)與f(W)深入討論新變量雖然是“一次齊函數(shù)”但有變量在分母上干凈的二次齊函數(shù)自變量W的線性函數(shù)！實質(zhì)區(qū)別：是自變量的線性函數(shù)，而是自變量的非線性函數(shù)！自變量U的非線性函數(shù)使用U做自變量的優(yōu)點：物理意義鮮明（質(zhì)量密度、動量密度和能量密度），守恒性好使用W做自變量的優(yōu)點：Jocabian矩陣為線性矩陣思考：如果在CFD計算中，使用W替換U做自變量會怎樣？CopyrightbyLiXinliang264階3階（TVD型）2階CopyrightbyLiXinliang27

§

5.3時間推進方法

1.顯格式推薦方法：Runge-Kutta法更高階……4階3階（TVD型）2階CopyrightbyLiCopyrightbyLiXinliang282.隱格式算法簡介（以二維Euler方程為例）

1）原理介紹（1）時間離散后方案A：直接將（1）進行空間離散，得到Un+1的代數(shù)方程組困難：大型非線性方程組，求解困難方案B:設計一種迭代算法令兩端同時添加顯式項右端項，已知是已知項，可采用某種差分方法顯式計算得到（對算法無限制）CopyrightbyLiXinliang282.CopyrightbyLiXinliang29(2)已知，（2）為線性方程。（1）(2)是一個線性化過程

含義：先用顯格式計算，再用隱格式計算修正量線性方程，離散求解離散后為大型帶狀方程組，求解計算量大LU-SGS原理：將矩陣分解為上、下三角陣，避免矩陣求逆運算隱式問題顯式化未知量：顯式部分隱式修正若隱式修正為0，則為顯格式CopyrightbyLiXinliang29(2)已CopyrightbyLiXinliang30Step1:求解Step2:求解LU-SGSi,ji-1,ji+1,ji,j+1i,ji-1,ji+1,ji,j+1i,j+1i,j+12）LU-SGS方法原理簡介：忽略右、上未知量忽略左、下未知量i,ji-1,ji+1,ji,j+1i,j+1原則上：（1）（2）兩步反復迭代，直至收斂CopyrightbyLiXinliang30StepCopyrightbyLiXinliang31LU-SGS方法求解Euler方程a)將矩陣A,B分裂為了簡化計算，通常采用L-F分裂矩陣分裂1階迎風格式離散整理迭代收斂后，不影響精度CopyrightbyLiXinliang31LU-SCopyrightbyLiXinliang32其中：特點：嚴格對角占優(yōu)，收斂性好

穩(wěn)定性好可采用局部時間步長等加速收斂措施近似LU分解CopyrightbyLiXinliang32其中：特doj=1,nydoi=1,nxEnddoEnddoCopyrightbyLiXinliang33具體求解方法（1）計算右端項顯式，可采用前面構(gòu)造的各種方法計算

（2）計算（3）計算

自變量采用n時刻的值由于L矩陣的下三角特性，可采用推進方法顯式計算(4)計算顯式計算（5）

時間推進1階精度，空間精度由RHS的算法決定。

可用于定常及非定常問題；

非定常問題通常采用內(nèi)迭代（保證精度）向上掃描向下掃描LU分解的對稱Gauss-Seidel迭代算法doj=1,nyCopyrightbyLiXinlCopyrightbyLiXinliang341）可簡化計算（不出現(xiàn)矩陣運算）：流通量，利用特性已知量2）一個時間步僅進行一次“上掃”和一次“下掃”過程（不迭代）注解：3）對于定常問題，精度由右端項決定，LU-SGS方法并不降低精度CopyrightbyLiXinliang341）可CopyrightbyLiXinliang353.非定常問題的雙時間步法目的：定常問題的加速收斂技術(shù)非定常問題1）構(gòu)造隱格式例：2階精度隱格式2）構(gòu)造發(fā)展方程定常問題，非定常處理，推進到收斂3）對t*（偽時間）

進行時間推進，直到收斂推進到收斂可使用定常問題的加速收斂手段：局部時間步長法、隱格式、多重網(wǎng)格法……CopyrightbyLiXinliang353.非針對如下Sod激波管問題

用

激波捕捉格式計算其數(shù)值解，畫出t=0.14時刻密度、速度及壓力的分布；并與精確解進行比較（要求數(shù)值解與精確解畫在同一張圖上，便于比較）。

要求：

空間網(wǎng)格數(shù)100，時間推進格式選用3階Runge-Kutta,時間步長自選；

激波捕捉格式可自選（如TVD,NND,GVC,MUSCL等）；

36CopyrightbyLiXinliang作業(yè)5.1初值提示：可采用基于流通矢量分裂方法，具體步驟見p8;也可以采用流通矢量特征分裂的方法，具體步驟見p16（推薦）；也可以采用Roe格式計算,具體步驟見p24(重構(gòu)時，推薦使用特征變量）針對如下Sod激波管問題用激波捕捉格式計算其數(shù)計算流體力學講義2020

第五講差分方法（3）李新亮知識點：

通量技術(shù)簡介——Steger-Warming,Roe

常用的隱式處理方法——LU-SGS

37CopyrightbyLiXinliang計算流體力學講義2020知識點：1CopyrightbCopyrightbyLiXinliang38知識回顧：單調(diào)、保單調(diào)和TVD概念：網(wǎng)格Reynolds數(shù)

單調(diào)格式、保單調(diào)格式及TVD格式Harten定理：正系數(shù)原則TVD保單調(diào)單調(diào)TVD格式=1階迎風+j*（修正項）二階精度區(qū)TVD區(qū)二階精度TVD區(qū)（二者交集）CopyrightbyLiXinliang2知識回顧：CopyrightbyLiXinliang39Step1針對模型方程構(gòu)造差分格式Step2將格式推廣到Euler方程方法1：流通矢量分裂(FVS)

通量分裂技術(shù)：模型方程NS/Euler方程格式1格式2（利用對稱性，將格式1中的j+k替換成j-k即可）CopyrightbyLiXinliang3StepCopyrightbyLiXinliang40方法2：通量差分分裂（FDS）特點：對流通矢量f的導數(shù)進行分裂

Godnov,Roe,HLL,HLLC

方法3：AUSM類方法vanLeer分裂法+壓力項單獨處理

利用Riemann解利用差分表達式，計算求解Riemann問題，獲得通量CopyrightbyLiXinliang4方法2：1.Jacobian系數(shù)矩陣及其性質(zhì)重要性質(zhì)41CopyrightbyLiXinliang容易驗證：驗證方法2：利用齊函數(shù)性質(zhì)§5.1流通矢量分裂：Steger-Warming、L-F1.Jacobian系數(shù)矩陣及其性質(zhì)重要性質(zhì)5Copy2.流通矢量分裂(FVS)=+優(yōu)點：耗散小缺點：導數(shù)間斷A:Steger-Warming分裂42CopyrightbyLiXinliang向量分裂特征值標量分裂任意函數(shù)分解為：非負函數(shù)+非正函數(shù)2.流通矢量分裂(FVS)=+優(yōu)點：耗散小A:Steg=+優(yōu)點：耗散小缺點：導數(shù)間斷特點：不必進行矩陣運算，計算量小Steger-Warming分裂43CopyrightbyLiXinliang改進版=+優(yōu)點：耗散小特點：不必進行矩陣運算，計算量小StegeSteger-Warming具體步驟（以一維為例）已知1）計算2）計算3）計算4）帶入（1）式得到5）利用不同的迎風格式，分別計算

（1）（后差，前差）6）計算7）時間推進44CopyrightbyLiXinliangSteger-Warming具體步驟（以一維為例）已知1二維問題的steger-Warming分裂令：則：具體使用步驟，以計算為例令

計算特征值

分裂特征值，計算

帶入左式，計算正、負流通矢量

計算計算設置，并注意對于曲線坐標系僅需令三維問題同樣處理

二維、三維具體公式見傅德薰等《計算空氣動力學》4.7節(jié)（158-162）書中公式有一定的排版錯誤，使用前務必重新仔細推導！45CopyrightbyLiXinliang二維問題的steger-Warming分裂令：則：具體使用B:Lax-Friedrichs(L-F)分裂特點：正特征值負特征值=+缺點：耗散偏大局部L-F分裂，每個點上計算全局L-F分裂，全局（一維）上計算足夠大數(shù)學性質(zhì)（光滑性）最好，但耗散偏大常數(shù)與迎風格式結(jié)合，等價于人工粘性例如，可取46CopyrightbyLiXinliangB:Lax-Friedrichs(L-F)分裂特點：方式很多=+S-W:L-F:=+VanLeer:=+47CopyrightbyLiXinliang方式很多=+S-W:L-F:=+VanLeer:=+11C

分裂后失去了A的性質(zhì)（可以像常數(shù)一樣與求導交換）FVS分裂：

優(yōu)點：無需矩陣運算，計算量小

缺點：分裂后改變了特征方向，耗散大利用了性質(zhì)一般情況下：變系數(shù)，

不能與導數(shù)交換實質(zhì)：沒有做到解耦；只是把原變量重新組合，組合后波的傳播方向的保證f+向正向傳播，f-向負向傳播

缺點：由于未解耦，各變量的誤差會相互傳遞48CopyrightbyLiXinliang分裂后失去了A的性質(zhì)（可以像常數(shù)一樣與求導交概念澄清：

流通矢量分裂本身不帶來耗散，但其會影響到差分的耗散;舉例：分裂過程耗散如果差分格式無耗散（例如都用中心差分），則通量分裂不帶來耗散。=+向上平移向下平移分裂差分格式耗散分裂后的流場越偏離原先流場，則總體耗散越大精確滿足，不引入誤差！如使用低精差分度格式，則對分裂形式敏感（推薦使用特征分裂）如使用高精度格式（低耗散），則對分裂形式不敏感（可使用逐點分裂）49CopyrightbyLiXinliang概念澄清：舉例：分裂過程耗散如果差分格式無耗散（例如都用中心CopyrightbyLiXinliang50FVS差分方法一般流程Step1.構(gòu)造差分格式差分格式Step2.推廣到方程組具體步驟（逐點分裂）：通量分裂差分格式j=1,2,3……NCopyrightbyLiXinliang14FV3.特征重構(gòu)方法常系數(shù)方程組：完全解耦變系數(shù)情況——局部凍結(jié)系數(shù)…j-2j-1jj+1…在基架點上系數(shù)不變計算：在差分基架點上Aj

不變，可按常矩陣處理局部凍結(jié)系數(shù)分別采用后差和前差優(yōu)點：嚴格保證（局部）特征方向，數(shù)值解質(zhì)量好；缺點：大量矩陣運算，計算量大。51CopyrightbyLiXinliang3.特征重構(gòu)方法常系數(shù)方程組：完全解耦變系數(shù)情況——局部52具體步驟（特征分裂）：通量分裂…j-2j-1jj+1…j+1/2k=1,2…..N2）針對j點：計算特征矩陣1）逐點分裂3）（將網(wǎng)格基架點）變換到特征空間k=…,j-2,j-1,j,…網(wǎng)格基架點4）在特征空間計算j+1/2值差分格式，例如：5）變換回物理空間簡單平均即可（Roe平均效果更好些）6）時間推進16具體步驟（特征分裂）：通量分裂…j-2CopyrightbyLiXinliang53§5.2Roe格式通量分裂技術(shù)：流通矢量分裂（FVS）：通量差分分裂（FDS）：Step1:運用差分格式，計算Step2:運用Riemann解，計算Step3:jj+1精確Riemann解計算量大，且效果未必比近似Riemann解好Roe格式是目前應用最為廣泛的近似Riemann解耗散低、分辨率高穩(wěn)定性好、低振蕩CopyrightbyLiXinliang17§5.CopyrightbyLiXinliang541.單方程的Roe格式線性化，用平均變化率代替(j,j+1)之間的變化率a(u)“平均斜率”，不等于“斜率的平均值”，也不等于中點處的斜率非線性情況根據(jù)Langrage中值定理，[uL,uR]之間必有一點uRoe,該點處的斜率為平均斜率;二次函數(shù)f(u)=u2中點處的斜率=平均斜率CopyrightbyLiXinliang181.CopyrightbyLiXinliang552.方程組的情況平均斜率線性化，以平均增長率代替瞬時增長率[j,j+1]區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且可通過相似變換對角化

應當具有的性質(zhì)常系數(shù)方程的Riemann解CopyrightbyLiXinliang192.方CopyrightbyLiXinliang56平均斜率xj+1/2常系數(shù)單波方程的Riemann解Roe格式：微分型近似Riemann解CopyrightbyLiXinliang20平均斜率CopyrightbyLiXinliang573.矩陣的構(gòu)造關(guān)鍵：“向量除以向量”？直接求平均增長率：uf(u)uLuRuRoeRoe點的斜率為平均斜率（根據(jù)拉格朗日中值定理，[UL,UR]區(qū)間內(nèi)肯定存在Roe點）思路1：在UL與UR之間尋找一個點URoe,該點處的增長率為平均增長率f(u)=u2u二次函數(shù)——Roe點與中點重合標量函數(shù)的啟示：Roe點肯定存在（Langrage中值定理）

二次函數(shù)的中點即為Roe點思路2：進行坐標變換，得到一個二次（齊）函數(shù)引入如果

是二次（齊）函數(shù)，則其中點即為Roe點重要啟示更準確地講，應當是要求為W的線性函數(shù)，

即增長率為線性函數(shù)（中點處的增長率剛好為平均增長率）CopyrightbyLiXinliang213.矩CopyrightbyLiXinliang58針對Euler方程的具體構(gòu)造引入新變量：則：目的：使得F(w)是W二次齊函數(shù)（增長率為線性函數(shù)）f(U)不是U的二次齊函數(shù)二次齊函數(shù)！中點處的斜率即為平均斜率。Roe點Roe點為：增長率為線性函數(shù)！CopyrightbyLiXinliang22針對EuCopyrightbyLiXinliang59最終：其中如下計算：平均增長率（矩陣）含義：左、右兩個狀態(tài)點的某種平均（稱為Roe平均，為密度加權(quán)平均）

該狀態(tài)點對應的增長率（矩陣）為平均增長率（矩陣）

實際上是一種“等效平均”。效果優(yōu)于簡單的算數(shù)（或幾何）平均。

三維情況下，還有其他量（如壓力、溫度、音速等）用這三個量計算（5）簡單易記：CopyrightbyLiXinliang23最終：其CopyrightbyLiXinliang60Roe格式的計算步驟（半離散）已知n時刻所有網(wǎng)格點上的物理量，對于j點：1）利用差分格式計算UR,UL

2）采用Roe平均公式（5）計算Roe平均值3）將Jacobian矩陣進行特征分解:

計算4)計算5）計算6）計算空間導數(shù)7）時間推進，計算下一時間步的值。j-1jj+1與前文（第3，4講）的形式相同，僅需把式中的密度、壓力、速度等換成經(jīng)過Roe平均的密度、壓力、速度即可其中：推薦：特征投影CopyrightbyLiXinliang24RoeCopyrightbyLiXinliang61可能出現(xiàn)導數(shù)不連續(xù)，可能引起數(shù)值振蕩實際使用時可用如下函數(shù)代替——所謂“熵修正”實際上是在特征值0點周圍增加了耗散Roe格式的優(yōu)點：1）保持守恒性的同時，嚴格保證了特征方向2）便于推廣到高精度格式——特征投影分裂中使用Roe平均即可（見本PPT第5頁）。推廣到高階后，雖不再保證嚴格的特征方向，但仍優(yōu)于采用算數(shù)平均方法。Roe格式的不足：

原始的Roe格式本身精度只有一階（可通過插值推廣到高階）；

推廣到高階后，特征方向無法嚴格保證；

推廣到二維或三維后，特征方向無法嚴格保證，出現(xiàn)振蕩。CopyrightbyLiXinliang25可能出現(xiàn)CopyrightbyLiXinliang62關(guān)于f(U)與f(W)深入討論新變量雖然是“一次齊函數(shù)”但有變量在分母上干凈的二次齊函數(shù)自變量W的線性函數(shù)！實質(zhì)區(qū)別：是自變量的線性函數(shù)，而是自變量的非線性函數(shù)！自變量U的非線性函數(shù)使用U做自變量的優(yōu)點：物理意義鮮明（質(zhì)量密度、動量密度和能量密度），守恒性好使用W做自變量的優(yōu)點：Jocabian矩陣為線性矩陣思考：如果在CFD計算中，使用W替換U做自變量會怎樣？CopyrightbyLiXinliang264階3階（TVD型）2階CopyrightbyLiXinliang63

§

5.3時間推進方法

1.顯格式推薦方法：Runge-Kutta法更高階……4階3階（TVD型）2階CopyrightbyLiCopyrightbyLiXinliang642.隱格式算法簡介（以二維Euler方程為例）

1）原理介紹（1）時間離散后方案A：直接將（1）進行空間離散，得到Un+1的代數(shù)方程組困難：大型非線性方程組，求解困難方案B:設計一種迭代算法令兩端同時添加顯式項右端項，已知是已知項，可采用某種差分方法顯式計算得到（對算法無限制）CopyrightbyLiXinliang282.CopyrightbyLiXinliang65(2)已知，（2）為線性方程。（1）(2)是一個線性化過程

含義：先用顯格式計算，再用隱格式計算修正量線性方程，離散求解離散后為大型帶狀方程組，求解計算量大LU-SGS原理：將矩陣分解為上、下三角陣，避免矩陣求逆運算隱式問題顯式化未知量：顯式部分隱式修正若隱式修正為0，則為顯格式CopyrightbyLiXinliang29(2)已