§9.6對稱矩陣的標準形一、實對稱矩陣的一些性質二、對稱變換三、實對稱矩陣可正交相似于實對角矩陣四、實二次型的主軸問題§9.6對稱矩陣的標準形一、實對稱矩陣的一些性質二、對一、實對稱矩陣的一些性質引理1設A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數．證：設

是A的任意一個特征值，則有非零向量滿足一、實對稱矩陣的一些性質引理1設A是實對稱矩陣，則A的特征其中

為

的共軛復數，令又由A實對稱，有其中為的共軛復數，令又由A實對稱，有由于

是非零復向量，必有故

考察等式，由于是非零復向量，必有故考察等式，引理2設A是實對稱矩陣，在

n

維歐氏空間上定義一個線性變換

如下：則對任意

有

或引理2設A是實對稱矩陣，在n維歐氏空間上定義一個線性證：取

的一組標準正交基，則

在基

下的矩陣為A，即任取

證：取的一組標準正交基，則在基即于是又

是標準正交基，即于是又是標準正交基，即有又注意到在

中

二、對稱變換1．定義則稱

為對稱變換．設

為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足

即有又注意到在中二、對稱變換1．定義則稱為對稱變1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是相互確定的：

2．基本性質①

實對稱矩陣可確定一個對稱變換．

一組標準正交基．事實上，設為V的定義V的線性變換：則即為V的對稱變換．1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是②對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準正交基，事實上，設為n維歐氏空間V上的對稱變換，為

在這組基下的矩陣，即或②對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準于是即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有于是即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間．對

任取即

證明：設

是對稱變換，W為

的不變子空間．

要證

即證

由W是

子空間，有因此

故

也為

的不變子空間．2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間1.(引理4)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量

分別是屬于

的特征向量．

則

三、實對稱矩陣的正交相似對角化是正交的．

正交基下的矩陣，證：設實對稱矩陣A為

上對稱變換

的在標準是A的兩個不同特征值，由1.(引理4)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于又即

正交．(定理7)對

總有正交矩陣T，使有即２．又即正交．(定理7)對總證：設A為

上對稱變換

在標準正交基下的矩陣．由實對稱矩陣和對稱變換互相確定的關系，只需證

有n個特征向量作成的標準正交基即可．n=1時，結論是顯然的．

對

的維數n用歸納法．

有一單位特征向量，其相應的特征值為

，即假設n－1時結論成立,對

設其上的對稱變換證：設A為上對稱變換在標準正交基下的矩陣．由實對稱矩設子空間顯然W是

子空間，則

也是

子空間，且

又對

有所以

是

上的對稱變換．由歸納假設知

有n－1個特征向量構成

的一組標準正交基．設子空間顯然W是子空間，則也是從而

就是

的一組標準正交基，又都是

的特征向量．即結論成立．3．實對稱矩陣正交相似實對角矩陣步驟設

(i)

求出A的所有不同的特征值：其重數

必滿足;

(ii)

對每個，解齊次線性方程組

從而就是的一組標準正交基，又都是求出它的一個基礎解系：它是A的屬于特征值

的特征子空間

的一組基．正交基把它們按

正交化過程化成

的一組標準(iii)因為互不相同，且就是V的一組標準正交基．所以求出它的一個基礎解系：它是A的屬于特征值的特征子空間則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，使

為對角形．例1．設

求一正交矩陣T使

成對角形．則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）,解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）其次求屬于

的特征向量，即求解方程組得其基礎解

其次求屬于的特征向量，即求解方程組得其把它正交化，得

再單位化，得把它正交化，得再單位化，得這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也即是特征子空間

的一組標準正交基．這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也再求屬于

的特征向量，即解方程組得其基礎解

再求屬于的特征向量，即解方程組得其基礎解再單位化得

這樣

構成

的一組標準正交基，它們都是A的特征向量，正交矩陣

再單位化得這樣構成的一組標準正交基，它使得

注：成立的正交矩陣不是唯一的．

①對于實對稱矩陣A，使

而且對于正交矩陣T,

還可進一步要求使得注：成立的正交矩陣不是唯一的．①對于實對稱矩陣事實上，如果由上述方法求得的正交矩陣T

取正交矩陣則是正交矩陣且同時有事實上，如果由上述方法求得的正交矩陣T取正交矩陣則②如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實對稱矩陣A正交相似的對角矩陣是唯一確定的．③因為正交相似的矩陣也是互相合同的，所以可用實對稱矩陣的特征值的性質刻畫其正定性：設

為實對稱矩陣A的所有特征值(i)A為正定的(ii)A為半正定的(iii)A為負定（半負定）的

②如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實對稱矩陣A正交(iv)A為不定的且

④

實對稱矩陣A的正、負慣性指數分別為正、負特特征值的個數（重根按重數計）．n－秩(A)是0為A的特征值的重數.(iv)A為不定的且④實對稱矩陣A的正、負慣性指數分別1．解析幾何中主軸問題將

上有心二次曲線或

上有心二次曲面通過坐標的旋轉化成標準形，這個變換的矩陣是正交矩陣.四、實二次型的主軸問題2．任意n元實二次型的正交線性替換化標準形1）正交線性替換如果線性替換X=CY的矩陣C是正交矩陣，則稱之為正交線性替換.1．解析幾何中主軸問題將上有心二次曲線或上有2）任一n元實二次型

都可以通過正交的線性替換

變成平方和

其中平方項的系數

為A的全部特征值．2）任一n元實二次型都可以通過正交的線性替換例2、在直角坐標系下，二次曲面的一般方程是

（1）

（2）

則（1）式可以寫成

令例2、在直角坐標系下，二次曲面的一般方程是（1）（2）對（2）中的

有正交矩陣C（且）確定的坐標變換公式

曲面（1）的方程化成

這樣由（2）知道經過由

的坐標軸旋轉，或對（2）中的有正交矩陣C（且）確定的其中

這時，再按

是否為零，作適當的坐標軸的平移或旋轉可以將曲面的方程化成標準方程．如當

全不為零時，作平移

其中這時，再按是否為零，作適當的坐標軸的平移曲面方程（1）可以化為

其中曲面方程（1）可以化為其中§9.6對稱矩陣的標準形一、實對稱矩陣的一些性質二、對稱變換三、實對稱矩陣可正交相似于實對角矩陣四、實二次型的主軸問題§9.6對稱矩陣的標準形一、實對稱矩陣的一些性質二、對一、實對稱矩陣的一些性質引理1設A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數．證：設

是A的任意一個特征值，則有非零向量滿足一、實對稱矩陣的一些性質引理1設A是實對稱矩陣，則A的特征其中

為

的共軛復數，令又由A實對稱，有其中為的共軛復數，令又由A實對稱，有由于

是非零復向量，必有故

考察等式，由于是非零復向量，必有故考察等式，引理2設A是實對稱矩陣，在

n

維歐氏空間上定義一個線性變換

如下：則對任意

有

或引理2設A是實對稱矩陣，在n維歐氏空間上定義一個線性證：取

的一組標準正交基，則

在基

下的矩陣為A，即任取

證：取的一組標準正交基，則在基即于是又

是標準正交基，即于是又是標準正交基，即有又注意到在

中

二、對稱變換1．定義則稱

為對稱變換．設

為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足

即有又注意到在中二、對稱變換1．定義則稱為對稱變1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是相互確定的：

2．基本性質①

實對稱矩陣可確定一個對稱變換．

一組標準正交基．事實上，設為V的定義V的線性變換：則即為V的對稱變換．1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是②對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準正交基，事實上，設為n維歐氏空間V上的對稱變換，為

在這組基下的矩陣，即或②對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準于是即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有于是即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間．對

任取即

證明：設

是對稱變換，W為

的不變子空間．

要證

即證

由W是

子空間，有因此

故

也為

的不變子空間．2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間1.(引理4)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量

分別是屬于

的特征向量．

則

三、實對稱矩陣的正交相似對角化是正交的．

正交基下的矩陣，證：設實對稱矩陣A為

上對稱變換

的在標準是A的兩個不同特征值，由1.(引理4)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于又即

正交．(定理7)對

總有正交矩陣T，使有即２．又即正交．(定理7)對總證：設A為

上對稱變換

在標準正交基下的矩陣．由實對稱矩陣和對稱變換互相確定的關系，只需證

有n個特征向量作成的標準正交基即可．n=1時，結論是顯然的．

對

的維數n用歸納法．

有一單位特征向量，其相應的特征值為

，即假設n－1時結論成立,對

設其上的對稱變換證：設A為上對稱變換在標準正交基下的矩陣．由實對稱矩設子空間顯然W是

子空間，則

也是

子空間，且

又對

有所以

是

上的對稱變換．由歸納假設知

有n－1個特征向量構成

的一組標準正交基．設子空間顯然W是子空間，則也是從而

就是

的一組標準正交基，又都是

的特征向量．即結論成立．3．實對稱矩陣正交相似實對角矩陣步驟設

(i)

求出A的所有不同的特征值：其重數

必滿足;

(ii)

對每個，解齊次線性方程組

從而就是的一組標準正交基，又都是求出它的一個基礎解系：它是A的屬于特征值

的特征子空間

的一組基．正交基把它們按

正交化過程化成

的一組標準(iii)因為互不相同，且就是V的一組標準正交基．所以求出它的一個基礎解系：它是A的屬于特征值的特征子空間則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，使

為對角形．例1．設

求一正交矩陣T使

成對角形．則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）,解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）其次求屬于

的特征向量，即求解方程組得其基礎解

其次求屬于的特征向量，即求解方程組得其把它正交化，得

再單位化，得把它正交化，得再單位化，得這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也即是特征子空間

的一組標準正交基．這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也再求屬于

的特征向量，即解方程組得其基礎解

再求屬于的特征向量，即解方程組得其基礎解再單位化得

這樣

構成

的一組標準正交基，它們都是A的特征向量，正交矩陣

再單位化得這樣構成的一組標準正交基，它使得

注：成立的正交矩陣不是唯一的．

①對于實對稱矩陣A，使

而且對于正交矩陣T,

還可進一步要求使得注：成立的正交矩陣不是唯一的．①對于實對稱矩陣事實上，如果由上述方法求得的正交矩陣T

取正交矩陣則是正交矩陣且同時有事實上，如果由上述方法求得的正交矩陣T取正交矩陣則②如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實對稱矩陣A正交相似的對角矩陣是唯一確定的．③因為正交相似的矩陣也是互相合同的，所以可用實對稱矩陣的特征值的性質刻畫其正定性：設

為實對稱矩陣A的所有特征值(i)A為正定的(ii)A為半正定的(iii)A為負定（半負定）的

②如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實對稱矩陣A正交(iv