第2課時函數的最大值、最小值

第2課時函數的最大值、最小值噴泉噴出的拋物線型水柱到達“最高點”后便下落，經歷了先“增”后“減”的過程，從中我們發現單調性與函數的最值之間似乎有著某種“聯系”，讓我們來研究——函數的最大值與最小值.噴泉噴出的拋物線型水柱到達“最高點”后便下落，經歷了先“增”1.理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；(重點）2.學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；（難點）1.理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；(重點）下圖為某天的氣溫f(t)隨時間t變化圖,請指出單調區間.最高氣溫：______最低氣溫：______遞增區間遞減區間下圖為某天的氣溫f(t)隨時間t變化圖,請指出單調區間.最高1.觀察下列兩個函數的圖象：yxox0圖2MB探究點1函數的最大值1.觀察下列兩個函數的圖象：yxox0圖2MB探究點1函【提示】第一個函數圖象有最高點A,第二個函數圖象有最高點B,也就是說,這兩個函數的圖象都有最高點.思考2

設函數y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M,則對函數定義域內任意自變量x,f(x)與M的大小關系如何?【提示】f(x)≤M思考1

這兩個函數圖象有何共同特征？最高點的縱坐標即是函數的最大值！【提示】第一個函數圖象有最高點A,第二個函數圖象有最高點B,函數在_______上為增函數，_______上為減函數;圖象有_____(最高（低）)點，坐標為_____.2.觀察下面函數的圖象，并回答問題對任意所以y=4是所有函數值中最大的，故函數f(x)有最大值4.最高當一個函數f(x)的圖象有最高點時，就說函數f(x)有最大值.函數在______函數最大值定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值.可以這樣理解：函數的最大值是所有函數值中最大的一個，并且是能夠取到的.函數最大值定義：一般地，設函數y=f(x)的定義可以這樣理解函數圖象最高點處的函數值的刻畫：函數圖象在最高點處的函數值是函數在整個定義域上最大的值.對于函數f(x)=-x2而言，即對于函數定義域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)函數最大值的“形”的定義：當一個函數的圖象有最高點時，我們就說這個函數有最大值.當一個函數的圖象無最高點時，我們就說這個函數沒有最大值.函數圖象最高點處的函數值的刻畫：函數圖象在最高點處的函數值是圖1yox0xmxyox0圖2m1.觀察下列兩個函數的圖象：探究點2函數的最小值圖1yox0xmxyox0圖2m1.觀察下列兩個函數的圖象：思考:這兩個函數圖象各有一個最低點，函數圖象上最低點的縱坐標叫什么名稱？提示：函數圖象上最低點的縱坐標是所有函數值中的最小值,即函數的最小值.思考:這兩個函數圖象各有一個最低點，函數圖象上最低點的縱坐標2.函數在_______上為增函數，_______上為減函數；圖象有_____(最高（低）)點坐標為______.觀察下面函數的圖象，并回答問題對任意所以y=-4是所有函數值中最小的,故函數有最小值-4.最低當一個函數f(x)的圖象有最低點時，就說函數f(x)有最小值.2.函數在______仿照函數最大值的定義，怎樣定義函數的最小值？提示：一般地，設函數y=f(x)的定義域為A，如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為函數y=f(x)的最小值，記為ymin=f(x0).思考交流仿照函數最大值的定義，怎樣定義函數的最小值？思考交流函數最小值的定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數N滿足：（1）對任意的，都有f(x)≥N；（2）存在，使得f(x0)=N.那么，我們稱N是函數y=f(x)的最小值.可以這樣理解：函數的最小值是所有函數值中最小的一個，并且是能夠取到的.函數最小值的定義：一般地，設函數y=f(x)的定可以這樣理解函數圖象最低點處的函數值的刻畫：函數圖象在最低點處的函數值是函數在整個定義域上最小的值.對于函數f(x)=x2而言，即對于函數定義域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).最小值的“形”的定義：當一個函數的圖象有最低點時，我們就說這個函數有最小值.當一個函數的圖象沒有最低點時，我們就說這個函數沒有最小值.函數圖象最低點處的函數值的刻畫：函數圖象在最低點處的函數值是下列函數是否存在最大值、最小值？函數在何處取得最大值和最小值,并求出其值.沒有在x=1時取得最小值2；在x=3時取得最大值6.在x=1時取得最小值2；沒有最大值即時訓練:下列函數是否存在最大值、最小值？函數在何處取得最大值和最小值對函數最值的理解1.函數最大值首先應該是某一個函數值，即存在使得.并不是所有滿足的函數都有最大值M.如函數,雖然對定義域上的任意自變量都有，但1不是函數的最大值.2.函數的最值是函數在定義域上的整體性質，即這個函數值是函數在整個定義域上的最大的函數值或者是最小的函數值.對函數最值的理解1.函數最大值首先應該是某一個函數值，即存在例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度hm與時間ts之間的關系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1m）？例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般分析：煙花的高度h是時間t的二次函數，根據題意就是求出這個二次函數在什么時刻達到最大值，以及這個最大值是多少.顯然，函數圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度.解：畫出這個函數h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象.分析：煙花的高度h是時間t的二次函數，根據題意就是求出這個二由二次函數的知識，對于函數我們有：于是，煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29m.由二次函數的知識，對于函數于是，煙花沖出后1.5s是它爆裂的某公司在甲乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分剮為L1=-x2+21x和L2=2x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A.90萬元B.60萬元C.120萬元D.120.25萬元提示:設公司在甲地銷售品牌車x輛,則在乙地銷售品牌車(15-x)輛,根據利潤函數表示出利潤,利用配方法求出函數的最值.變式練習:C某公司在甲乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤（單位：變式練習:C【解析】設公司在甲地銷售品牌車x輛，則在乙地銷售品牌車（15-x）輛，根據題意得，利潤y=-x2+21x+2（15-x）=∵x是正整數，∴x=9或10時，能獲得最大利潤，最大利潤為120萬元【解析】設公司在甲地銷售品牌車x輛，則在乙地銷由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數是區間[2,6]上的減函數.

解：任取x1,x2∈[2,6]，且x1＜x2例4.已知函數，求函數的最大值和最小值.由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x因此,函數在區間[2,6]上的兩個端點上分別取得最大值和最小值，即在點x=2時取最大值，最大值是2，在x=6時取最小值，最小值為0.4.利用函數的單調性來求函數的最大值與最小值是一種十分常用的方法，要注意掌握.【總結提升】函數在定義域上是減函數必需進行證明，然后再根據這個單調性確定函數取得最值的點.因此解題過程分為兩個部分，先證明函數在[2，6]上是減函數，再求這個函數的最大值和最小值.因此,函數在區間[例5已知函數y=f(x)的定義域是[a，b]，a<c<b．當x∈[a，c]時，f(x)是增函數；當x∈[c，b]時，f(x)是減函數，試證明f(x)在x=c時取得最大值．【證明】因為當x∈[a，c]時，f(x)是增函數，所以對于任意x∈[a，c]，都有f(x)≤f(c).又因為當x∈[c，b]時，f(x)是減函數，所以對于任意x∈[c，b]，都有f(x)≤f(c).因此對于任意x∈[a，b],都有f(x)≤f(c)，即f(x)在x=c時取得最大值．例5已知函數y=f(x)的定義域是[a，b]，a<c<b1.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值2.利用圖象求函數的最大(小)值3.利用函數的單調性判斷函數的最大(小)值

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，則函數y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；【總結提升】

判斷函數的最大(小)值的方法：

1.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值2.1．設二次函數f(x)=x2+4x-3，函數值f(2),f(1),f(-1),f(5)中，最小的一個是()A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)【解析】由題意知拋物線的對稱軸為x=-2，函數f(x)=x2+4x-3在［-2,+∞)上是增函數，有f(-1)＜f(1)＜f(2)＜f(5).C1．設二次函數f(x)=x2+4x-3，函數值f(2),f(2.函數f(x)=x2+4ax+2在區間(-∞，6]內遞減，則a的取值范圍是()A.a≥3B.a≤3C.a≥-3D.a≤-3D【解析】二次函數的對稱軸為x=-2a

故只需-2a≥6,即a≤-32.函數f(x)=x2+4ax+2在區間(-∞，6]內遞3.在實數運算中，定義新運算“⊕”如下：當a≥b時，a⊕b=a；

當a＜b時，a⊕b=b2．則函數f（x）=（1⊕x）+（2⊕x）（其中x∈[-2，3]）的最大值是（）（“+”仍為通常的加法）A．3 B．8 C．9 D．18D解題提示：根據新函數的定義，需要通過比較兩個數的大小來取函數值，結合f（x）的解析式可知，需將x與1，2比較，進而將函數轉化為分段函數，再分段求最大值比較出此函數的最大值即可.3.在實數運算中，定義新運算“⊕”如下：當a≥bD解題提示：4.函數在區間上的最大值是_____;最小值是______【解析】函數在［-2,-1］上為減函數，當x=-2時，y=；當x=-1時，y=-5，所以函數在x∈［-2,-1］上的最大值為,最小值為-5.4.函數在區間上的最大值是___5.已知函數f（x）=-x2+6x+9在區間[a，b]，（a＜b＜3）上有最大值9，最小值-7，求實數a，b的值．【解析】因為y=-（x-3）2+18

因為a＜b＜3，所以當x=a時，函數取得最小值ymin=-7；

當x=b時，函數取得最大值ymax=9；即解得：a=8或-2；b=0或6．又因為a<b<3，所以a=-2；b=0．5.已知函數f（x）=-x2+6x+9在區間[a，b]，（a

利用函數的單調性求函數的最值圖象法函數的最大值在最高點取得先確定或證明單調函數的單調性及相應的單調區間，再求函數在何處取得最大值或最小值注意：兩種方法經常結合應用

利用函數的單調性求函數的最值圖象法函數的最大值在最高點取得在科學上進步而道義上落后的人，不是前進，而是后退.——亞里士多德在科學上進步而道義上落后的人，不是前進，而是后退.第2課時函數的最大值、最小值

第2課時函數的最大值、最小值噴泉噴出的拋物線型水柱到達“最高點”后便下落，經歷了先“增”后“減”的過程，從中我們發現單調性與函數的最值之間似乎有著某種“聯系”，讓我們來研究——函數的最大值與最小值.噴泉噴出的拋物線型水柱到達“最高點”后便下落，經歷了先“增”1.理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；(重點）2.學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；（難點）1.理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；(重點）下圖為某天的氣溫f(t)隨時間t變化圖,請指出單調區間.最高氣溫：______最低氣溫：______遞增區間遞減區間下圖為某天的氣溫f(t)隨時間t變化圖,請指出單調區間.最高1.觀察下列兩個函數的圖象：yxox0圖2MB探究點1函數的最大值1.觀察下列兩個函數的圖象：yxox0圖2MB探究點1函【提示】第一個函數圖象有最高點A,第二個函數圖象有最高點B,也就是說,這兩個函數的圖象都有最高點.思考2

設函數y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M,則對函數定義域內任意自變量x,f(x)與M的大小關系如何?【提示】f(x)≤M思考1

這兩個函數圖象有何共同特征？最高點的縱坐標即是函數的最大值！【提示】第一個函數圖象有最高點A,第二個函數圖象有最高點B,函數在_______上為增函數，_______上為減函數;圖象有_____(最高（低）)點，坐標為_____.2.觀察下面函數的圖象，并回答問題對任意所以y=4是所有函數值中最大的，故函數f(x)有最大值4.最高當一個函數f(x)的圖象有最高點時，就說函數f(x)有最大值.函數在______函數最大值定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值.可以這樣理解：函數的最大值是所有函數值中最大的一個，并且是能夠取到的.函數最大值定義：一般地，設函數y=f(x)的定義可以這樣理解函數圖象最高點處的函數值的刻畫：函數圖象在最高點處的函數值是函數在整個定義域上最大的值.對于函數f(x)=-x2而言，即對于函數定義域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)函數最大值的“形”的定義：當一個函數的圖象有最高點時，我們就說這個函數有最大值.當一個函數的圖象無最高點時，我們就說這個函數沒有最大值.函數圖象最高點處的函數值的刻畫：函數圖象在最高點處的函數值是圖1yox0xmxyox0圖2m1.觀察下列兩個函數的圖象：探究點2函數的最小值圖1yox0xmxyox0圖2m1.觀察下列兩個函數的圖象：思考:這兩個函數圖象各有一個最低點，函數圖象上最低點的縱坐標叫什么名稱？提示：函數圖象上最低點的縱坐標是所有函數值中的最小值,即函數的最小值.思考:這兩個函數圖象各有一個最低點，函數圖象上最低點的縱坐標2.函數在_______上為增函數，_______上為減函數；圖象有_____(最高（低）)點坐標為______.觀察下面函數的圖象，并回答問題對任意所以y=-4是所有函數值中最小的,故函數有最小值-4.最低當一個函數f(x)的圖象有最低點時，就說函數f(x)有最小值.2.函數在______仿照函數最大值的定義，怎樣定義函數的最小值？提示：一般地，設函數y=f(x)的定義域為A，如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為函數y=f(x)的最小值，記為ymin=f(x0).思考交流仿照函數最大值的定義，怎樣定義函數的最小值？思考交流函數最小值的定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數N滿足：（1）對任意的，都有f(x)≥N；（2）存在，使得f(x0)=N.那么，我們稱N是函數y=f(x)的最小值.可以這樣理解：函數的最小值是所有函數值中最小的一個，并且是能夠取到的.函數最小值的定義：一般地，設函數y=f(x)的定可以這樣理解函數圖象最低點處的函數值的刻畫：函數圖象在最低點處的函數值是函數在整個定義域上最小的值.對于函數f(x)=x2而言，即對于函數定義域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).最小值的“形”的定義：當一個函數的圖象有最低點時，我們就說這個函數有最小值.當一個函數的圖象沒有最低點時，我們就說這個函數沒有最小值.函數圖象最低點處的函數值的刻畫：函數圖象在最低點處的函數值是下列函數是否存在最大值、最小值？函數在何處取得最大值和最小值,并求出其值.沒有在x=1時取得最小值2；在x=3時取得最大值6.在x=1時取得最小值2；沒有最大值即時訓練:下列函數是否存在最大值、最小值？函數在何處取得最大值和最小值對函數最值的理解1.函數最大值首先應該是某一個函數值，即存在使得.并不是所有滿足的函數都有最大值M.如函數,雖然對定義域上的任意自變量都有，但1不是函數的最大值.2.函數的最值是函數在定義域上的整體性質，即這個函數值是函數在整個定義域上的最大的函數值或者是最小的函數值.對函數最值的理解1.函數最大值首先應該是某一個函數值，即存在例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度hm與時間ts之間的關系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1m）？例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般分析：煙花的高度h是時間t的二次函數，根據題意就是求出這個二次函數在什么時刻達到最大值，以及這個最大值是多少.顯然，函數圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度.解：畫出這個函數h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象.分析：煙花的高度h是時間t的二次函數，根據題意就是求出這個二由二次函數的知識，對于函數我們有：于是，煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約為29m.由二次函數的知識，對于函數于是，煙花沖出后1.5s是它爆裂的某公司在甲乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分剮為L1=-x2+21x和L2=2x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A.90萬元B.60萬元C.120萬元D.120.25萬元提示:設公司在甲地銷售品牌車x輛,則在乙地銷售品牌車(15-x)輛,根據利潤函數表示出利潤,利用配方法求出函數的最值.變式練習:C某公司在甲乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤（單位：變式練習:C【解析】設公司在甲地銷售品牌車x輛，則在乙地銷售品牌車（15-x）輛，根據題意得，利潤y=-x2+21x+2（15-x）=∵x是正整數，∴x=9或10時，能獲得最大利潤，最大利潤為120萬元【解析】設公司在甲地銷售品牌車x輛，則在乙地銷由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數是區間[2,6]上的減函數.

解：任取x1,x2∈[2,6]，且x1＜x2例4.已知函數，求函數的最大值和最小值.由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x因此,函數在區間[2,6]上的兩個端點上分別取得最大值和最小值，即在點x=2時取最大值，最大值是2，在x=6時取最小值，最小值為0.4.利用函數的單調性來求函數的最大值與最小值是一種十分常用的方法，要注意掌握.【總結提升】函數在定義域上是減函數必需進行證明，然后再根據這個單調性確定函數取得最值的點.因此解題過程分為兩個部分，先證明函數在[2，6]上是減函數，再求這個函數的最大值和最小值.因此,函數在區間[例5已知函數y=f(x)的定義域是[a，b]，a<c<b．當x∈[a，c]時，f(x)是增函數；當x∈[c，b]時，f(x)是減函數，試證明f(x)在x=c時取得最大值．【證明】因為當x∈[a，c]時，f(x)是增函數，所以對于任意x∈[a，c]，都有f(x)≤f(c).又因為當x∈[c，b]時，f(x)是減函數，所以對于任意x∈[c，b]，都有f(x)≤f(c).因此對于任意x∈[a，b],都有f(x)≤f(c)，即f(x)在x=c時取得最大值．例5已知函數y=f(x)的定義域是[a，b]，a<c<b1.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值2.利用圖象求函數的最大(小)值3.利用函數的單調性判斷函數的最大(小)值

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，則函數y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；【總結提升】

判斷函數的最大(小)值的方法：

1.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值2.1．設二次函數f(x)=x2+4x-3，函數值f(2),f(1),f(-1),f(5)中，最小的一個是()A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)【解析】由題意知拋物線的對稱軸為x=-2，函數f(x)=