第6章振動1第6章振動1物體在一定的位置附近做來回往復的運動。機械振動：振動：任何一個物理量在某個確定的數值附近作周期性的變化。波動：振動狀態在空間的傳播。任何復雜的振動都可以看做是由若干個簡單而又基本的振動的合成。這種簡單而又基本的振動形式稱為簡諧運動。2物體在一定的位置附近做來回往復的運動。機械振動：振動：任何一xO6-1-1簡諧運動的基本特征1.彈簧振子：一根輕彈簧和一個質點構成的振動系統。F胡克定律：（k為勁度系數）§6-1簡諧運動x3xO6-1-1簡諧運動的基本特征1.彈簧振子：一根輕彈簧恢復力：始終指向平衡位置的作用力(1)在彈性限度內,彈性力F和位移x成正比.(2)彈性力F和位移x恒反向,始終指向平衡位置.由牛頓第二定律：得令方程解為：4恢復力：始終指向平衡位置的作用力(1)在彈性限度內,彈性力

2．單擺重力對水平軸的力矩：轉動定理:即52．單擺重力對水平軸的力矩：轉動定理:即5很小得令方程解為：6很小得令方程解為：63.復擺

重力力矩為：

由轉動定理，并考慮小角度擺動

令則復擺的動力學方程：方程解為：73.復擺重力力矩為：由轉動定理，并考慮小角度擺動令則復簡諧運動的三項基本特征：運動的速度：

加速度：

OT8簡諧運動的三項基本特征：運動的速度：加速度：OT8

周期T：完成一次全振動所經歷的時間。A

：振幅（最大位移，x=±A

）

：角頻率

（圓頻率）頻率：單位時間內完成全振動的次數。6-1-2描述簡諧運動的物理量9周期T：完成一次全振動所經歷的時間。A：振幅（最彈簧振子的頻率:彈簧振子的周期:結論：振動系統的頻率和周期僅與系統本身的性質有關，而與其他因素無關。

由振動系統本身的固有屬性所決定的頻率和周期稱為固有頻率和固有周期。單擺周期:單擺頻率:10彈簧振子的頻率:彈簧振子的周期:結論：振動系統的頻率和周

稱為速度幅。速度相位比位移相位超前/2。

稱為加速度幅。加速度與位移反相位。：振動的初相位

。。(t+)：振動的相位。11稱為速度幅。比較：結論：做簡諧運動的質點，其加速度與位移恒成正比，而方向相反。即12比較：結論：做簡諧運動的質點，其加速度與位移恒成正比，而方向解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設

t=0時，振動位移：x=x0

振動速度：v=v013解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設t=0時，振動位注意：滿足上式的初相位可能有兩個值，具體取哪個值應根據初始速度方向確定。14注意：滿足上式的初相位可能有兩個值，具體取哪個值應根據初始速例1如圖,在光滑的水平面上,有一彈簧振子,彈簧的勁度系數為1.60N/m,振子質量0.40kg,求在下面兩種初始條件下的振動方程.(1)振子在0.10m的位置由靜止釋放;(2)振子在0.10m處向左運動,速度為0.20m/s.解（1）t=0,x0=0.10m,v0=015例1如圖,在光滑的水平面上,有一彈簧振子,彈簧的勁度系數為（2）振動方程：t=0,x0=0.10m,v0

=

-0.20m/s振動方程：16（2）振動方程：t=0,x0=0.10m,v0例2如圖,兩輕質彈簧,彈性系數分別為k1和k2,兩滑塊質量分別為M和m,疊放在光滑的桌面上,M與兩彈簧連接著,M和m間存在摩擦,摩擦系數為.問m能跟隨M一起水平運動,M的水平振動的最大振幅是多少?解m隨M運動最大加速度：運動方程：17例2如圖,兩輕質彈簧,彈性系數分別為k1和k2,兩滑塊質量例3如圖,靜止的彈簧振子質量M=4.99kg,一子彈質量m=10g以水平速度v0=1000m/s射入振子M并嵌入其中.彈簧的勁度系數k=8×103N/m,水平桌面光滑,求振動系統的振動方程.解動量守恒：

18例3如圖,靜止的彈簧振子質量M=4.99kg,一子彈質量m機械能守恒：

振動方程：19機械能守恒：振動方程：19

旋轉矢量A在x軸上的投影點M的運動規律：結論：投影點M的運動為簡諧振動。yxPM6-1-3簡諧運動的旋轉矢量表示法20旋轉矢量A在x軸上的投影點M的運動規

旋轉矢量A旋轉一周，M點完成一次全振動。

旋轉矢量的模A：振幅

旋轉矢量A的角速度：角頻率

t=0時，A與x

軸的夾角：初相位。

旋轉矢量A與x

軸的夾角(t+

)：相位周期：yxPM21旋轉矢量A旋轉一周，M點完成一次全振動。旋轉矢量的例4

一質點沿x軸作簡諧振動,振幅為0.12m,周期為2s.當t

=0時,位移為0.06m,且向x軸正方向運動.求:(1)振動方程;(2)如果在某時刻質點位于x=-0.06m,且向x軸負方向運動,從該位置回到平衡位置所需最短時間.解(1)簡諧振動表達式：已知：A=0.12m,T=2s，初始條件：t=0時，x0=+0.06m,v0

>022例4一質點沿x軸作簡諧振動,振幅為0.12m,周期為2s0.06=0.12cos振動方程：yx(2)設在某一時刻t1，x=-0.06m230.06=0.12cos振動方程：yx(2)設在某yx用旋轉矢量法求解，直觀方便.24yx用旋轉矢量法求解，24例5

圖為質點做簡諧振動的x-t

曲線，求振動方程。解由旋轉矢量圖可知：25例5圖為質點做簡諧振動的x-t曲線，求振動方程。解由旋6-1-4簡諧運動的能量振子動能：振子勢能：xxOv266-1-4簡諧運動的能量振子動能：振子勢能：xxOv26諧振系統的總機械能：27諧振系統的總機械能：27（1）振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。（2）動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。（3）頻率一定時，諧振動的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統）結論：彈性勢能28（1）振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時例6

當簡諧振動的位移為振幅的一半時,其動能和勢能各占總能量的多少?物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半?解29例6當簡諧振動的位移為振幅的一半時,其動能和勢能各占總能例7如圖U型管中的液體總長度為L，求該液體振動起來后的圓頻率。解建立如圖坐標系解法一液體受到的回復力（重力）：運動方程：30例7如圖U型管中的液體總長度為L，求該液體振動起來后的圓解法二液面升高到

y時的機械能：

（常數）對t

求導，得：31解法二液面升高到y時的機械能：（常數）對t求導，例8兩物體M1與M2質量都為m,如圖用輕質繩連接,M1放在光滑的桌面上,一端用輕質的勁度系數為k的彈簧連接,M2通過輕質滑輪豎直垂掛.當彈簧為自然伸長時M1與M2的系統無初速度釋放.求彈簧最大伸長量,M1的最大速度及振動周期？解設彈簧自然伸長處為原點,建立如圖坐標系機械能守恒：

彈簧伸長量最大：32例8兩物體M1與M2質量都為m,如圖用輕質繩連接,M1放系統機械能對t求導,得：

平衡位置平衡位置振子速度：33系統機械能對t求導,得：平衡位置平衡位置振子速度：331.同一直線上兩個同頻率簡諧振動的合成

某一質點在直線上同時參與兩個獨立的同頻率的簡諧運動，其振動表達式分別表示為：§6-2簡諧振動的合成6-2-1簡諧振動的合成341.同一直線上兩個同頻率簡諧振動的合成某一質點在直線

一個質點參與兩個在同一直線上頻率相同的簡諧運動，其合成運動仍為簡諧運動。結論：x35一個質點參與兩個在同一直線上頻率相同的簡諧運動，其3636例9

兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示)

（1）求合振動的振幅；

（2）求合振動的振動方程。解xTt37例9兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示)

（1）求合振動2.同一直線上兩個頻率相近的簡諧振動合成

相對于的轉動角速度：兩矢量同向重合時：合振動振幅極大兩矢量反向重合時：拍現象：合振動的振幅時強時弱的現象合振動振幅極小382.同一直線上兩個頻率相近的簡諧振動合成相對于的轉動角拍的周期：拍的頻率：從解析式來分析：39拍的周期：拍的頻率：從解析式來分析：39當時——隨時間作緩慢周期性變化的振幅拍周期：40當時——隨時間作緩慢周期性變化的振幅拍周期：4041413.相互垂直的簡諧振動的合成

兩個同頻率相互垂直簡諧振動的合成yx——橢圓方程423.相互垂直的簡諧振動的合成兩個同頻率相互垂直簡諧振動討論：合振動的振幅

結論：質點在1、3象限做線振動yx43討論：合振動的振幅結論：質點在1、3象限做線振動yx43合振動的振幅結論：質點在2、4象限做線振動yx44合振動的振幅結論：質點在2、4象限做線振動yx44結論：質點振動軌跡為正橢圓質點沿橢圓軌跡順時針右旋運動yx為什么是右旋運動呢？45結論：質點振動軌跡為正橢圓質點沿橢圓軌跡順時針右旋運動yx為設：46設：46結論：質點振動軌跡仍為正橢圓質點沿橢圓軌跡逆時針左旋運動yx47結論：質點振動軌跡仍為正橢圓質點沿橢圓軌跡逆時針左旋運動yx（5）Δ=其他值時48（5）Δ=其他值時48

當兩個頻率成簡單整數比時，合振動的軌跡呈封閉穩定的圖形——李薩如圖49當兩個頻率成簡單整數比時，合振動的軌跡呈封閉穩定的圖形——兩個頻率比為1:2的簡諧運動的合成

如果將一系列角頻率是某個基本角頻率

（亦稱主頻）的整數倍的簡諧運動疊加，則其合振動仍然是以

為角頻率的周期性振動，但一般不再是簡諧運動。6-2-2簡諧運動的分解50兩個頻率比為1:2的簡諧運動的合成如果將一系列角頻

一個以

為頻率的周期性函數f(t)，可以用傅里葉級數的余弦項表示為：：主頻：n次諧頻51一個以為頻率的周期性函數f(t)，可以6-3-1阻尼振動阻尼振動：振動系統在恢復力和阻力作用下發生的減幅振動。

：阻力系數

§6-3阻尼振動、受迫振動和共振526-3-1阻尼振動阻尼振動：振動系統在恢復力和阻力作用下Oxx令：振子的固有頻率：阻尼因子動力學方程53Oxx令：振子的固有頻率：阻尼因子動力學方程53方程解：周期：角頻率：54方程解：周期：角頻率：54討論：3.當(

2=

02)時,為“臨界阻尼”情況.是質點不做往復運動的一個極限.1.阻尼較小時(2<02),振動為減幅振動,振幅Ae-

t隨時間按指數規律迅速減少.阻尼越大,減幅越迅速.振動周期大于自由振動周期.2.阻尼較大時(2>

02),振動從最大位移緩慢回到平衡位置,不作往復運動.55討論：3.當(2=02)時,為“臨界阻尼”情況.是a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼56a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼56Oxx6-3-2受迫振動和共振系統在周期性的驅動力持續作用下所發生的振動。受迫振動：驅動力：周期性的外力1.受迫振動設：57Oxx6-3-2受迫振動和共振系統在周期性的驅動力持續作用由牛頓第二定律令方程的解：58由牛頓第二定律令方程的解：58穩定后的振動表達式：結論：受迫振動的頻率與驅動力的頻率相等。受迫振動的振幅：

結論：穩態響應的振幅與外力幅值成正比。受迫振動的初相位：

59穩定后的振動表達式：結論：受迫振動的頻率與驅動力的頻率相等。共振：當驅動力的頻率為某一特定值時，受迫振動的振幅將達到極大值的現象。2.共振求極值：共振頻率：

共振振幅：

ω0為固有頻率60共振：當驅動力的頻率為某一特定值時，受迫振動的振幅將達到極大A大阻尼小阻尼零阻尼

阻尼系數

越小，共振角頻率r越接近于系統的固有頻率

0，同時共振振幅Ar也越大。結論：61A大阻尼小阻尼零阻尼阻尼系數越小，共振角頻率受迫振動的速度：速度幅：時，速度幅極大在速度共振條件下穩態振動的初相位為

結論：速度和驅動力有相同的相位。即策動力對振動系統始終做正功。——速度共振62受迫振動的速度：速度幅：時，速度幅極大在速度共振條件下穩態振

1940年，TacomaNarrows大橋在通車4個月零6天后因大風引起扭轉振動，又因振動頻率接近于大橋的共振頻率而突然坍塌。631940年，TacomaNarrows大橋第6章振動64第6章振動1物體在一定的位置附近做來回往復的運動。機械振動：振動：任何一個物理量在某個確定的數值附近作周期性的變化。波動：振動狀態在空間的傳播。任何復雜的振動都可以看做是由若干個簡單而又基本的振動的合成。這種簡單而又基本的振動形式稱為簡諧運動。65物體在一定的位置附近做來回往復的運動。機械振動：振動：任何一xO6-1-1簡諧運動的基本特征1.彈簧振子：一根輕彈簧和一個質點構成的振動系統。F胡克定律：（k為勁度系數）§6-1簡諧運動x66xO6-1-1簡諧運動的基本特征1.彈簧振子：一根輕彈簧恢復力：始終指向平衡位置的作用力(1)在彈性限度內,彈性力F和位移x成正比.(2)彈性力F和位移x恒反向,始終指向平衡位置.由牛頓第二定律：得令方程解為：67恢復力：始終指向平衡位置的作用力(1)在彈性限度內,彈性力

2．單擺重力對水平軸的力矩：轉動定理:即682．單擺重力對水平軸的力矩：轉動定理:即5很小得令方程解為：69很小得令方程解為：63.復擺

重力力矩為：

由轉動定理，并考慮小角度擺動

令則復擺的動力學方程：方程解為：703.復擺重力力矩為：由轉動定理，并考慮小角度擺動令則復簡諧運動的三項基本特征：運動的速度：

加速度：

OT71簡諧運動的三項基本特征：運動的速度：加速度：OT8

周期T：完成一次全振動所經歷的時間。A

：振幅（最大位移，x=±A

）

：角頻率

（圓頻率）頻率：單位時間內完成全振動的次數。6-1-2描述簡諧運動的物理量72周期T：完成一次全振動所經歷的時間。A：振幅（最彈簧振子的頻率:彈簧振子的周期:結論：振動系統的頻率和周期僅與系統本身的性質有關，而與其他因素無關。

由振動系統本身的固有屬性所決定的頻率和周期稱為固有頻率和固有周期。單擺周期:單擺頻率:73彈簧振子的頻率:彈簧振子的周期:結論：振動系統的頻率和周

稱為速度幅。速度相位比位移相位超前/2。

稱為加速度幅。加速度與位移反相位。：振動的初相位

。。(t+)：振動的相位。74稱為速度幅。比較：結論：做簡諧運動的質點，其加速度與位移恒成正比，而方向相反。即75比較：結論：做簡諧運動的質點，其加速度與位移恒成正比，而方向解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設

t=0時，振動位移：x=x0

振動速度：v=v076解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設t=0時，振動位注意：滿足上式的初相位可能有兩個值，具體取哪個值應根據初始速度方向確定。77注意：滿足上式的初相位可能有兩個值，具體取哪個值應根據初始速例1如圖,在光滑的水平面上,有一彈簧振子,彈簧的勁度系數為1.60N/m,振子質量0.40kg,求在下面兩種初始條件下的振動方程.(1)振子在0.10m的位置由靜止釋放;(2)振子在0.10m處向左運動,速度為0.20m/s.解（1）t=0,x0=0.10m,v0=078例1如圖,在光滑的水平面上,有一彈簧振子,彈簧的勁度系數為（2）振動方程：t=0,x0=0.10m,v0

=

-0.20m/s振動方程：79（2）振動方程：t=0,x0=0.10m,v0例2如圖,兩輕質彈簧,彈性系數分別為k1和k2,兩滑塊質量分別為M和m,疊放在光滑的桌面上,M與兩彈簧連接著,M和m間存在摩擦,摩擦系數為.問m能跟隨M一起水平運動,M的水平振動的最大振幅是多少?解m隨M運動最大加速度：運動方程：80例2如圖,兩輕質彈簧,彈性系數分別為k1和k2,兩滑塊質量例3如圖,靜止的彈簧振子質量M=4.99kg,一子彈質量m=10g以水平速度v0=1000m/s射入振子M并嵌入其中.彈簧的勁度系數k=8×103N/m,水平桌面光滑,求振動系統的振動方程.解動量守恒：

81例3如圖,靜止的彈簧振子質量M=4.99kg,一子彈質量m機械能守恒：

振動方程：82機械能守恒：振動方程：19

旋轉矢量A在x軸上的投影點M的運動規律：結論：投影點M的運動為簡諧振動。yxPM6-1-3簡諧運動的旋轉矢量表示法83旋轉矢量A在x軸上的投影點M的運動規

旋轉矢量A旋轉一周，M點完成一次全振動。

旋轉矢量的模A：振幅

旋轉矢量A的角速度：角頻率

t=0時，A與x

軸的夾角：初相位。

旋轉矢量A與x

軸的夾角(t+

)：相位周期：yxPM84旋轉矢量A旋轉一周，M點完成一次全振動。旋轉矢量的例4

一質點沿x軸作簡諧振動,振幅為0.12m,周期為2s.當t

=0時,位移為0.06m,且向x軸正方向運動.求:(1)振動方程;(2)如果在某時刻質點位于x=-0.06m,且向x軸負方向運動,從該位置回到平衡位置所需最短時間.解(1)簡諧振動表達式：已知：A=0.12m,T=2s，初始條件：t=0時，x0=+0.06m,v0

>085例4一質點沿x軸作簡諧振動,振幅為0.12m,周期為2s0.06=0.12cos振動方程：yx(2)設在某一時刻t1，x=-0.06m860.06=0.12cos振動方程：yx(2)設在某yx用旋轉矢量法求解，直觀方便.87yx用旋轉矢量法求解，24例5

圖為質點做簡諧振動的x-t

曲線，求振動方程。解由旋轉矢量圖可知：88例5圖為質點做簡諧振動的x-t曲線，求振動方程。解由旋6-1-4簡諧運動的能量振子動能：振子勢能：xxOv896-1-4簡諧運動的能量振子動能：振子勢能：xxOv26諧振系統的總機械能：90諧振系統的總機械能：27（1）振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。（2）動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。（3）頻率一定時，諧振動的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統）結論：彈性勢能91（1）振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時例6

當簡諧振動的位移為振幅的一半時,其動能和勢能各占總能量的多少?物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半?解92例6當簡諧振動的位移為振幅的一半時,其動能和勢能各占總能例7如圖U型管中的液體總長度為L，求該液體振動起來后的圓頻率。解建立如圖坐標系解法一液體受到的回復力（重力）：運動方程：93例7如圖U型管中的液體總長度為L，求該液體振動起來后的圓解法二液面升高到

y時的機械能：

（常數）對t

求導，得：94解法二液面升高到y時的機械能：（常數）對t求導，例8兩物體M1與M2質量都為m,如圖用輕質繩連接,M1放在光滑的桌面上,一端用輕質的勁度系數為k的彈簧連接,M2通過輕質滑輪豎直垂掛.當彈簧為自然伸長時M1與M2的系統無初速度釋放.求彈簧最大伸長量,M1的最大速度及振動周期？解設彈簧自然伸長處為原點,建立如圖坐標系機械能守恒：

彈簧伸長量最大：95例8兩物體M1與M2質量都為m,如圖用輕質繩連接,M1放系統機械能對t求導,得：

平衡位置平衡位置振子速度：96系統機械能對t求導,得：平衡位置平衡位置振子速度：331.同一直線上兩個同頻率簡諧振動的合成

某一質點在直線上同時參與兩個獨立的同頻率的簡諧運動，其振動表達式分別表示為：§6-2簡諧振動的合成6-2-1簡諧振動的合成971.同一直線上兩個同頻率簡諧振動的合成某一質點在直線

一個質點參與兩個在同一直線上頻率相同的簡諧運動，其合成運動仍為簡諧運動。結論：x98一個質點參與兩個在同一直線上頻率相同的簡諧運動，其9936例9

兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示)

（1）求合振動的振幅；

（2）求合振動的振動方程。解xTt100例9兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示)

（1）求合振動2.同一直線上兩個頻率相近的簡諧振動合成

相對于的轉動角速度：兩矢量同向重合時：合振動振幅極大兩矢量反向重合時：拍現象：合振動的振幅時強時弱的現象合振動振幅極小1012.同一直線上兩個頻率相近的簡諧振動合成相對于的轉動角拍的周期：拍的頻率：從解析式來分析：102拍的周期：拍的頻率：從解析式來分析：39當時——隨時間作緩慢周期性變化的振幅拍周期：103當時——隨時間作緩慢周期性變化的振幅拍周期：40104413.相互垂直的簡諧振動的合成

兩個同頻率相互垂直簡諧振動的合成yx——橢圓方程1053.相互垂直的簡諧振動的合成兩個同頻率相互垂直簡諧振動討論：合振動的振幅

結論：質點在1、3象限做線振動yx106討論：合振動的振幅結論：質點在1、3象限做線振動yx43合振動的振幅結論：質點在2、4象限做線振動yx107合振動的振幅結論：質點在2、4象限做線振動yx44結論：質點振動軌跡為正橢圓質點沿橢圓軌跡順時針右旋運動yx為什么是右旋運動呢？108結論：質點振動軌跡為正橢圓質點沿橢圓軌跡順時針右旋運動yx為設：109設：46結論：質點振動軌跡仍為正橢圓質點沿橢圓軌跡逆時針左旋運動yx110結論：質點振動軌跡仍為正橢圓質點沿橢圓軌跡逆時針左旋運動yx（5）Δ=其他值時111（5）Δ=其他值時48

當兩個頻率成簡單整數比時，合振動的軌跡呈封閉穩定的圖形——李薩如圖112當兩個頻率成簡單整數比時，合振動的軌跡呈封閉穩定的圖形——兩個頻率比為1:2的簡諧運動的合成

如果將一系列角頻率是某個基本角頻率

（亦稱主頻）的整數倍的簡諧運動疊加，則其合振動仍然是以

為角頻率的周期性振動，但一般不再是簡諧運動。6-2-2簡諧運動的分解113兩個頻率比為1:2的簡諧運動的合成如果將一系列角頻

一個以

為頻率的周期性函數f(t)，可以用傅里葉級數的余弦項表示為：：主頻：n次諧頻1