2022年貴州省黔東南州中考數學試卷一、選擇題：（每個小題4分，10個小題共40分）1．（4分）下列說法中，正確的是（）A．2與﹣2互為倒數 B．2與互為相反數 C．0的相反數是0 D．2的絕對值是﹣22．（4分）下列運算正確的是（）A．a6÷a2＝a3 B．a2+a3＝a5 C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b D．（﹣2a2）2＝4a43．（4分）一個物體的三視圖如圖所示，則該物體的形狀是（）A．圓錐 B．圓柱 C．四棱柱 D．四棱錐4．（4分）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數為（）A．28° B．56° C．36° D．62°5．（4分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的兩根分別記為x1，x2，若x1＝﹣1，則a﹣x12﹣x22的值為（）A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣66．（4分）如圖，已知正六邊形ABCDEF內接于半徑為r的⊙O，隨機地往⊙O內投一粒米，落在正六邊形內的概率為（）A． B． C． D．以上答案都不對7．（4分）若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝﹣在同一坐標系內的大致圖象為（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD＝12，PA＝8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側作正方形ABED，過點D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+110．（4分）在解決數學實際問題時，常常用到數形結合思想，比如：|x+1|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數﹣1的點的距離，|x﹣2|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數2的點的距離．當|x+1|+|x﹣2|取得最小值時，x的取值范圍是（）A．x≤﹣1 B．x≤﹣1或x≥2 C．﹣1≤x≤2 D．x≥2二、填空題（每個小題3分，10個小題共30分）11．（3分）有一種新冠病毒直徑為0.米，數0.用科學記數法表示為．12．（3分）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．13．（3分）某中學在一次田徑運動會上，參加女子跳高的7名運動員的成績如下（單位：m）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30．這組數據的中位數是．14．（3分）若（2x+y﹣5）2+＝0，則x﹣y的值是．15．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，則四邊形OCED的周長是．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結果用含π的式子表示）17．（3分）如圖，校園內有一株枯死的大樹AB，距樹12米處有一棟教學樓CD，為了安全，學校決定砍伐該樹，站在樓頂D處，測得點B的仰角為45°，點A的俯角為30°．小青計算后得到如下結論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點A處砍伐，樹干倒向教學樓CD方向會對教學樓有影響；④若第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓CD造成危害．其中正確的是．（填寫序號，參考數值：≈1.7，≈1.4）18．（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是．19．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC⊥x軸于點B，直角頂點A在y軸上，雙曲線y＝（k≠0）經過AC邊的中點D，若BC＝2，則k＝．20．（3分）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點C落在點E處，分別延長ME、DE交AB于點F、G，若點M是BC邊的中點，則FG＝cm．三、解答題（6個小題，共80分）21．（14分）（1）計算：（﹣1）﹣3++|2﹣|+（﹣1.57）0﹣；（2）先化簡，再求值：÷﹣（+1），其中x＝cos60°．22．（14分）某縣教育局印發了上級主管部門的“法治和安全等知識”學習材料，某中學經過一段時間的學習，同學們都表示有了提高，為了解具體情況，綜治辦開展了一次全校性競賽活動，王老師抽取了這次競賽中部分同學的成績，并繪制了下面不完整的統計圖、表．參賽成績60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人數8mn32級別及格中等良好優秀請根據所給的信息解答下列問題：（1）王老師抽取了名學生的參賽成績；抽取的學生的平均成績是分；（2）將條形統計圖補充完整；（3）若該校有1600名學生，請估計競賽成績在良好以上（x≥80）的學生有多少人？（4）在本次競賽中，綜治辦發現七（1）班、八（4）班的成績不理想，學校要求這兩個班加強學習一段時間后，再由電腦隨機從A、B、C、D四套試卷中給每班派發一套試卷進行測試，請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩個班同時選中同一套試卷的概率．23．（14分）（1）請在圖1中作出△ABC的外接圓⊙O（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，點B是的中點，過點B的切線與AC的延長線交于點D．①求證：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．24．（12分）某快遞公司為了加強疫情防控需求，提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天少搬運10噸，且A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數相同．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價1.2萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共30臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．請根據以上要求，完成如下問題：①設購買A型機器人m臺，購買總金額為w萬元，請寫出w與m的函數關系式；②請你求出最節省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？25．（12分）閱讀材料：小明喜歡探究數學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．【探究發現】（1）小明通過探究發現：連接DC，根據已知條件，可以證明DC＝AE，∠ADC＝120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據小明的思路，寫出完整的證明過程．【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+AG2＝10，試求出正方形ABCD的面積．26．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C，連接AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；（3）已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

2022年貴州省黔東南州中考數學試卷答案與試題解析一、選擇題：（每個小題4分，10個小題共40分）1．（4分）下列說法中，正確的是（）A．2與﹣2互為倒數 B．2與互為相反數 C．0的相反數是0 D．2的絕對值是﹣2【分析】根據倒數的定義判斷A選項；根據相反數的定義判斷B選項；根據0的相反數是0判斷C選項；根據正數的絕對值等于它本身判斷D選項．解：A選項，2與﹣2互為相反數，故該選項不符合題意；B選項，2與互為倒數，故該選項不符合題意；C選項，0的相反數是0，故該選項符合題意；D選項，2的絕對值是2，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了倒數，相反數，絕對值，掌握乘積為1的兩個數互為倒數，只有符號不同的兩個數互為相反數是解題的關鍵．2．（4分）下列運算正確的是（）A．a6÷a2＝a3 B．a2+a3＝a5 C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b D．（﹣2a2）2＝4a4【分析】A、根據同底數冪的除法公式計算，即可判斷；B、非同類項，不能合并；C、根據去括號法則計算，即可判斷；D、根據積的乘方進行計算，即可判斷．解：A、a6÷a2＝a4，故A選項不符合題意；B、a2+a3≠a5，故B選項不符合題意；C、﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b，故C選項不符合題意；D、（﹣2a2）2＝4a4，故D選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查整式化簡，掌握相關運算法則是解題關鍵．3．（4分）一個物體的三視圖如圖所示，則該物體的形狀是（）A．圓錐 B．圓柱 C．四棱柱 D．四棱錐【分析】根據三視圖的定義解答即可．解：根據主視圖和左視圖都是長方形，判定該幾何體是個柱體，∵俯視圖是個圓，∴判定該幾何體是個圓柱．故選：B．【點評】本題主要考查了三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解答本題的關鍵．4．（4分）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數為（）A．28° B．56° C．36° D．62°【分析】過直角的頂點E作MN∥AB，利用平行線的性質解答即可．解：如下圖所示，過直角的頂點E作MN∥AB，交AD于點M，交BC于點N，則∠2＝∠3．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4＝∠1＝28°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．∴∠2＝∠3＝62°．故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，過直角的頂點E作MN∥AB是解題的關鍵．5．（4分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的兩根分別記為x1，x2，若x1＝﹣1，則a﹣x12﹣x22的值為（）A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6【分析】根據根與系數的關系求出x2，a的值，代入代數式求值即可．解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的兩根分別記為x1，x2，∴x1+x2＝2，x1?x2＝﹣a，∵x1＝﹣1，∴x2＝3，x1?x2＝﹣3＝﹣a，∴a＝3，∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32＝3﹣1﹣9＝﹣7．故選：B．【點評】本題考查了根與系數的關系，掌握x1+x2＝﹣，x1?x2＝是解題的關鍵．6．（4分）如圖，已知正六邊形ABCDEF內接于半徑為r的⊙O，隨機地往⊙O內投一粒米，落在正六邊形內的概率為（）A． B． C． D．以上答案都不對【分析】求出正六邊形的面積占圓面積的幾分之幾即可．解：圓的面積為πr2，正六邊形ABCDEF的面積為r×r×6＝r2，所以正六邊形的面積占圓面積的＝，故選：A．【點評】本題考查幾何概率，正多邊形圓，求出正多邊形面積占圓面積的幾分之幾是正確解答的關鍵．7．（4分）若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝﹣在同一坐標系內的大致圖象為（）A． B． C． D．【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置判斷a，b，c的符號，從而可得直線與反比例函數圖象的大致圖象．解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸左側，∴b＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴c＜0，∴直線y＝ax+b經過第一，二，四象限，反比例函數y＝﹣圖象經過一，三象限，故選：C．【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握函數圖象與系數的關系．8．（4分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD＝12，PA＝8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．【分析】連接AO，BO，根據切線長定理，圓周角定理，銳角三角函數解答即可．解連接AO，BO，∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，∵DC＝12，∴AO＝6，∴OP＝10，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∴，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADB＝∠AOC，∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．故選：A．【點評】本題主要考查了切線長定理，圓周角定理，三角函數，熟練掌握相關性質是解答本題的關鍵．9．（4分）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側作正方形ABED，過點D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+1【分析】過點E作EG⊥DF于點G，作EH⊥BC于點H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝，再證明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝，即可求得答案．解：如圖，過點E作EG⊥DF于點G，作EH⊥BC于點H，則∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四邊形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE?sin∠EBH＝2?sin30°＝2×＝1，BH＝BE?cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四邊形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、解直角三角形，題目的綜合性很好，難度不大．10．（4分）在解決數學實際問題時，常常用到數形結合思想，比如：|x+1|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數﹣1的點的距離，|x﹣2|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數2的點的距離．當|x+1|+|x﹣2|取得最小值時，x的取值范圍是（）A．x≤﹣1 B．x≤﹣1或x≥2 C．﹣1≤x≤2 D．x≥2【分析】以﹣1和2為界點，將數軸分成三部分，對x的值進行分類討論，然后根據絕對值的意義去絕對值符號，分別求出代數式的值進行比較即可．解：當x＜﹣1時，x+1＜0，x﹣2＜0，|x+1|+|x﹣2|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣x﹣1﹣x+2＝﹣2x+1＞3；當x＞2時，x+1＞0，x﹣2＞0，|x+1|+|x﹣2|＝（x+1）+（x﹣2）＝x+1+x﹣2＝2x﹣1＞3；當﹣1≤x≤2時，x+1≥0，x﹣2≤0，|x+1|+|x﹣2|＝（x+1）﹣（x﹣2）＝x+1﹣x+2＝3；綜上所述，當﹣1≤x≤2時，|x+1|+|x﹣2|取得最小值，所以當|x+1|+|x﹣2|取得最小值時，x的取值范圍是﹣1≤x≤2．故選C．【點評】本題結合數軸考查了絕對值的意義以及絕對值的性質，解題的關鍵是以﹣1和2為界點對x的值進行分類討論，進而得出代數式的值．二、填空題（每個小題3分，10個小題共30分）11．（3分）有一種新冠病毒直徑為0.米，數0.用科學記數法表示為1.2×10﹣8．【分析】應用學計數法﹣表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．即可得出答案．解：0.＝1.2×10﹣8．故1.2×10﹣8．【點評】本題主要考查了科學記數法﹣表示較小的數，熟練掌握學計數法﹣表示較小的數的方法進行求解是解決本題的關鍵．12．（3分）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝2022（x﹣1）2．【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．解：原式＝2022（x2﹣2x+1）＝2022（x﹣1）2．故2022（x﹣1）2．【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關鍵．13．（3分）某中學在一次田徑運動會上，參加女子跳高的7名運動員的成績如下（單位：m）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30．這組數據的中位數是1.25．【分析】根據中位數的定義進行求解即可得出答案．解：把這組數據從小到大排列：1.10，1.15，1.20，1.25，1.30，1.30，1.35．所以這組數據的中位數為：1.25．故1.25．【點評】本題主要考查了中位數，熟練掌握中位數的定義進行求解是解決本題的關鍵．14．（3分）若（2x+y﹣5）2+＝0，則x﹣y的值是9．【分析】根據非負數的性質可得，應用整體思想①﹣②即可得出答案．解：根據題意可得，，由①﹣②得，x﹣y＝9．故9．【點評】本題主要考查了非負數的性質及解二元一次方程組，熟練掌握非負數的性質及解二元一次方程組的方法進行求解是解決本題的關鍵．15．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，則四邊形OCED的周長是20．【分析】先證四邊形OCED是平行四邊形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性質得OC＝OD＝5，則OC＝OD＝CE＝DE，得平行四邊形OCED是菱形，即可得出結論．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四邊形OCED是菱形，∴菱形OCED的周長＝4OC＝4×5＝20，故20．【點評】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質得知識，熟練掌握矩形的性質和菱形的判定與性質是解題的關鍵．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結果用含π的式子表示）【分析】根據角A的度數和內切圓的性質，得出圓心角DOE的度數即可得出陰影部分的面積．解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的內切圓，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝，故．【點評】本題主要考查三角形內切圓的知識，熟練掌握三角形內切圓的性質及扇形面積的計算是解題的關鍵．17．（3分）如圖，校園內有一株枯死的大樹AB，距樹12米處有一棟教學樓CD，為了安全，學校決定砍伐該樹，站在樓頂D處，測得點B的仰角為45°，點A的俯角為30°．小青計算后得到如下結論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點A處砍伐，樹干倒向教學樓CD方向會對教學樓有影響；④若第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓CD造成危害．其中正確的是①③④．（填寫序號，參考數值：≈1.7，≈1.4）【分析】過點D作DE⊥AB，垂足為E，則AE＝DC，DE＝AC＝12米，在Rt△ADE中，利用銳角三角函數的定義求出AE，DE的長，從而求出CD的長，即可判斷②；再在Rt△BED中，利用銳角三角函數的定義求出BE的長，從而求出AB的長，即可判斷①；通過比較AB與AD的長，即可判斷③，計算出AB﹣8的值，再和AD的長比較，即可判斷④．解：過點D作DE⊥AB，垂足為E，則AE＝DC，DE＝AC＝12米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝DE?tan30°＝12×＝4（米），AD＝2AE＝8（米），∴CD＝AE＝4≈6.8（米），故②不正確；在Rt△BED中，BE＝DE?tan45°＝12（米），∴AB＝AE+BE＝12+4≈18.8（米），故①正確；∵AD＝8≈13.6（米），∴AB＞AD，∴若直接從點A處砍伐，樹干倒向教學樓CD方向會對教學樓有影響，故③正確；∵AB﹣8＝18.8﹣8＝10.8（米），∴10.8米＜13.6米，若第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓CD造成危害，故④正確；∴小青計算后得到如上結論，其中正確的是：①③④，故①③④．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．18．（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是（1，3）．【分析】先求出繞原點旋轉180°的拋物線解析式，再求出向下平移5個單位長度的解析式，配成頂點式即可得答案．解：將拋物線y＝x2+2x﹣1繞原點旋轉180°后所得拋物線為：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再將拋物線y＝﹣x2+2x+1向下平移5個單位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的拋物線的頂點坐標是（1，﹣3），故（1，3）．【點評】本題考查二次函數圖象與幾何變換，熟知二次函數的圖象旋轉及平移的法則是解答此題的關鍵．19．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC⊥x軸于點B，直角頂點A在y軸上，雙曲線y＝（k≠0）經過AC邊的中點D，若BC＝2，則k＝﹣．【分析】如圖，過點A作AE⊥BC于E，根據直角三角形斜邊中線的性質可得AE＝，得點A和C的坐標，根據中點坐標公式可得點D的坐標，從而得結論．解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜邊BC⊥x軸于點B，∴CE＝BE，∴AE＝BC＝，∴A（0，），C（﹣，2），∵D是AC的中點，∴D（﹣，），∴k＝﹣×＝﹣．故﹣．【點評】本題考查的是反比例函數的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．20．（3分）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點C落在點E處，分別延長ME、DE交AB于點F、G，若點M是BC邊的中點，則FG＝cm．【分析】如圖，連接DF，可證得Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），則AF＝EF，設AF＝xcm，則EF＝xcm，利用勾股定理求得x＝，再由△FGE∽△FMB，即可求得答案．解：如圖，連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∵點M是BC邊的中點，∴CM＝BM＝BC＝2cm，由折疊得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，∴∠A＝∠DEF，在Rt△DAF和Rt△DEF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），∴AF＝EF，設AF＝xcm，則EF＝xcm，∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm，在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，解得：x＝，∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，FM＝+2＝cm，∵∠FEG＝∠DEM＝90°，∴∠FEG＝∠B＝90°，∵∠EFG＝∠BFM，∴△FGE∽△FMB，∴＝，即＝，∴FG＝cm，故．【點評】此題考查了折疊的性質、正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定與性質．此題有一定難度，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．三、解答題（6個小題，共80分）21．（14分）（1）計算：（﹣1）﹣3++|2﹣|+（﹣1.57）0﹣；（2）先化簡，再求值：÷﹣（+1），其中x＝cos60°．【分析】（1）應用負整數指數冪，立方根，絕對值，零指數冪，最簡二次根式的性質進行計算即可得出答案；（2）應用分式化簡求值的方法化為最簡，再應用特殊角三角函數值求出cos60°的值代入計算即可得出答案．解：（1）原式＝+2+（﹣2）+1﹣2＝﹣1+2+﹣2﹣2＝﹣1；（2）原式＝＝＝，把x＝cos60°＝代入上式，原式＝＝﹣2．【點評】本題主要考查了特殊角三角函數值，負整數指數冪，絕對值，分式的化簡求值，熟練掌握特殊角三角函數值，負整數指數冪，絕對值，分式的化簡求值的方法進行求解是解決本題的關鍵．22．（14分）某縣教育局印發了上級主管部門的“法治和安全等知識”學習材料，某中學經過一段時間的學習，同學們都表示有了提高，為了解具體情況，綜治辦開展了一次全校性競賽活動，王老師抽取了這次競賽中部分同學的成績，并繪制了下面不完整的統計圖、表．參賽成績60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100人數8mn32級別及格中等良好優秀請根據所給的信息解答下列問題：（1）王老師抽取了80名學生的參賽成績；抽取的學生的平均成績是85.5分；（2）將條形統計圖補充完整；（3）若該校有1600名學生，請估計競賽成績在良好以上（x≥80）的學生有多少人？（4）在本次競賽中，綜治辦發現七（1）班、八（4）班的成績不理想，學校要求這兩個班加強學習一段時間后，再由電腦隨機從A、B、C、D四套試卷中給每班派發一套試卷進行測試，請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩個班同時選中同一套試卷的概率．【分析】（1）由成績優秀的學生人數除以所占百分比得出王老師抽取的學生人數，即可解決問題；（2）由（1）的結果將條形統計圖補充完整即可；（3）由該校有學生人數乘以競賽成績在良好以上（x≥80）的學生所占的百分比即可；（4）畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中兩個班同時選中同一套試卷的結果有4種，再由概率公式求解即可．解：（1）王老師抽取的學生人數為：32÷40%＝80（名），∴中等成績的學生人數為：80×15%＝12（人），良好成績的學生人數為：80×35%＝28（人），∴抽取的學生的平均成績＝＝85.5（分），故80，85.5；（2）將條形統計圖補充完整如下：（3）1600×（35%+40%）＝1200（人），答：估計競賽成績在良好以上（x≥80）的學生有1200人；（4）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，其中兩個班同時選中同一套試卷的結果有4種，∴兩個班同時選中同一套試卷的概率為＝．【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．也考查了條形統計圖和扇形統計圖．23．（14分）（1）請在圖1中作出△ABC的外接圓⊙O（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，點B是的中點，過點B的切線與AC的延長線交于點D．①求證：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用尺規作圖分別作出AB、AC的垂直平分線交于點O，以O為圓心、OA為半徑作圓即可；（2）①連接OB，根據切線的性質得到OB⊥CD，證明OB∥AD，根據平行線的性質證明結論；②連接EC，根據圓周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根據正切的定義求出EC，根據勾股定理求出AE，得到答案．（1）解：如圖1，⊙O即為△ABC的外接圓；（2）①證明：如圖2，連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴OB⊥CD，∵點B是的中點，∴＝，∴∠CAB＝∠EAB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠EAB，∴∠CAB＝∠OBA，∴OB∥AD，∴BD⊥AD；②解：如圖2，連接EC，由圓周角定理得：∠AEC＝∠ABC，∵tan∠ABC＝，∴tan∠AEC＝，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°，∴＝，∵AC＝6，∴EC＝8，∴AE＝＝10，∴⊙O的半徑為5．【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、解直角三角形，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．24．（12分）某快遞公司為了加強疫情防控需求，提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天少搬運10噸，且A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數相同．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價1.2萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共30臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．請根據以上要求，完成如下問題：①設購買A型機器人m臺，購買總金額為w萬元，請寫出w與m的函數關系式；②請你求出最節省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？【分析】（1）設每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x+10）噸，根據題意列出分式方程，解方程檢驗后即可得出答案；（2）①根據題意列出一次函數解析式即可；②先根據題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再根據一次函數的性質，即可求出答案．解：（1）設每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x+10）噸，由題意得：，解得：x＝90，當x＝90時，x（x+10）≠0，∴x＝10是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100（噸），答：每臺A型機器人每天搬運貨物90噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物100噸；（2）①由題意得：w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；②由題意得：，解得：15≤m≤17，∵﹣0.8＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m＝17時，w最小，此時w＝﹣0.8×17+60＝46.4，∴購買A型機器人17臺，B型機器人13臺時，購買總金額最低是46.4萬元．【點評】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式組的應用，根據題意找出題目中的相等關系，不等關系列出分式方程，一元一次不等式組及列出一次函數關系式是解決問題的關鍵．25．（12分）閱讀材料：小明喜歡探究數學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．【探究發現】（1）小明通過探究發現：連接DC，根據已知條件，可以證明DC＝AE，∠ADC＝120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據小明的思路，寫出完整的證明過程．【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+AG2＝10，試求出正方形ABCD的面積．【分析】（1）連接DC，證△CBD≌△ABE（SAS），得CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，則∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，即可得出結論；（2）①連接CG，證△CBG≌△ABE（SAS），得CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，再證∠AGC＝90°，得△ACG是直角三角形，即可得出結論；②由勾股定理得CG2+AG2＝AC2，則AE2+AG2＝AC2＝10，再由正方形的性質和勾股定理得AB2＝5，即可得出結論．（1）證明：如圖1，連接DC，∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BC，∠ABC＝∠DBE＝∠E＝∠BDE＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠CBD＝∠ABE，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，∴∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，∴△ADC為鈍角三角形，∴以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．（2）解：①以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形，理由如下：如圖2，連接CG，∵四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，∴AB＝CB，BE＝BG，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BGF＝90°，∠EGB＝∠GEB＝45°，∴∠ABC﹣∠ABG＝∠EBG﹣∠ABG，即∠CBG＝∠ABE，∴△CBG≌△ABE（SAS），∴CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，∴∠AGC＝∠EGB+∠CGB＝45°+45°＝90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形；②由①可知，CG＝AE，∠AGC＝90°，∴CG2+AG2＝AC2，∴AE2+AG2＝AC2，∵AE2+AG2＝10，∴AC2＝10，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2＝10，∴AB2＝5，∴S正方形ABCD＝AB2＝5．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質和等邊三角形