專題卷(六)與切線有關的證明與計算數學1．如圖，平行四邊形OABC的三個頂點A，B，C在以O為圓心的半圓上，過點C作CD⊥AB，分別與AB，AO的延長線交于點D，E，AE交半圓O于點F，連接CF.(1)判斷直線DE與半圓O的位置關系，并說明理由；(2)①求證：CF＝OC；②若半圓O的半徑為12，求陰影部分的周長．,題圖),答圖)解：(1)DE是⊙O的切線．理由：如圖，連接OB，BF.∵四邊形OABC是平行四邊形，且OA＝OC，∴四邊形OABC是菱形，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴△ABO，△BCO都是等邊三角形，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COF＝60°，∵OB＝OF，∴OC⊥BF，∵AF是直徑，CD⊥AD，∴∠ABF＝∠DBG＝∠D＝∠BGC＝90°，∴四邊形BDCG是矩形．∴∠OCD＝90°，∴DE是⊙O的切線(2)①由(1)可知：∠COF＝60°，OC＝OF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF＝OC②在Rt△OCE中，∵OC＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，∴OE＝2OC＝24，EC＝12eq\r(3)，EF＝OE－OF＝12，eq\o(CF,\s\up8(︵))的長＝eq\f(60π×12,180)＝4π，∴陰影部分的周長為4π＋12＋12eq\r(3)2．在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB，AC相交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)分別延長CB，FD，相交于點G，∠A＝60°，⊙O的半徑為6，求陰影部分的面積．解：(1)連接OD∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線(2)∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∴OG＝2OD＝2×6＝12，∴DG＝eq\r(3)OD＝6eq\r(3)，∴陰影部分的面積＝△ODG的面積－扇形OBD的面積＝eq\f(1,2)×6×6eq\r(3)－eq\f(60π×62,360)＝18eq\r(3)－6π3．如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求證：BC是∠ABE的平分線；(2)若DC＝8，⊙O的半徑OA＝6，求CE的長．解：(1)∵DE是切線，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO，∴BC是∠ABE的平分線(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝eq\r(CD2＋OC2)＝10，∵OC∥BE，∴eq\f(DC,CE)＝eq\f(DO,OB)，∴eq\f(8,CE)＝eq\f(10,6).∴EC＝4.84．如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，BD⊥AB，交AC的延長線于點D，(1)E為BD的中點，連接CE，求證：CE是⊙O的切線；(2)若AC＝3CD，求∠A的大小．,題圖),答圖)解：(1)如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，∵AO＝OB，E為BD的中點，∴OE∥AD，∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，∴∠2＝∠3，在△COE與△BOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OB，,∠2＝∠3,OE＝OE，))，∴△COE≌△BOE，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴CE是⊙O的切線(2)∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AD，∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC)，∴BC2＝AC·CD，∵AC＝3CD，∴BC2＝eq\f(1,3)AC2，∴tan∠A＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°5．如圖，在菱形ABCD中，點P在對角線AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圓．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AC＝8，tan∠BAC＝eq\f(\r(2),2)，求⊙O的半徑．解：(1)連接OP、OA，OP交AD于E，如圖，∵PA＝PD，∴eq\o(AP,\s\up8(︵))＝eq\o(DP,\s\up8(︵))，∴OP⊥AD，AE＝DE，∴∠1＋∠OPA＝90°，∵OP＝OA，∴∠OAP＝∠OPA，∴∠1＋∠OAP＝90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠1＝∠2，∴∠2＋∠OAP＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切線(2)連接BD，交AC于點F，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴DB與AC互相垂直平分，∠DAC＝∠BAC，∵AC＝8，tan∠BAC＝eq\f(\r(2),2)，∴AF＝4，tan∠DAF＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(\r(2),2)，∴DF＝2eq\r(2)，∴AD＝eq\r(AF2＋DF2)＝2eq\r(6)，∴AE＝eq\r(6)，在Rt△PAE中，tan∠PAE＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(\r(2),2)，∴PE＝eq\r(3)，設⊙O的半徑為R，則OE＝R－eq\r(3)，OA＝R，在Rt△OAE中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴R2＝(R－eq\r(3))2＋(eq\r(6))2，∴R＝eq\f(3\r(3),2)，即⊙O的半徑為eq\f(3\r(3),2)6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB，(1)求證：CE＝CB；(2)若AC＝2eq\r(5)，CE＝eq\r(5)，求AE的長．解：(1)連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO.又OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠OAC，∴CE＝CB(2)∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2eq\r(5)，CB＝CE＝eq\r(5)，∴AB＝eq\r(AC2＋CB2)＝eq\r(（2\r(5)）2＋（\r(5)）2)＝5.∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(DC,CB)，即eq\f(AD,2\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(DC,\r(5)).∴AD＝4，DC＝2.在直角△DCE中，DE＝eq\r(EC2－DC2)＝1，∴AE＝AD－ED＝4－1＝37．如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于D.(1)求證：△ADC∽△CDB；(2)若AC＝2，AB＝eq\f(3,2)CD，求⊙O的半徑．解：(1)連接OC，∵CD與⊙O相切于點C，AB是圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCD，∵∠ACO＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BCD，又∵∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB(2)設CD為x，則AB＝eq\f(3,2)x，OC＝OB＝eq\f(3,4)x，∵∠OCD＝90°，∴OD＝eq\r(OC2＋CD2)＝eq\r(（\f(3,4)x）2＋x2)＝eq\f(5,4)x，∴BD＝OD－OB＝eq\f(5,4)x－eq\f(3,4)x＝eq\f(1,2)x.由(1)知，△ADC∽△CDB，∴eq\f(AC,CB)＝eq\f(CD,BD)，即eq\f(2,CB)＝eq\f(x,\f(1,2)x)，解得CB＝1，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(5)，∴⊙O的半徑是eq\f(\r(5),2)8．如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點M，交AB的延長線于點E，切點為F，連接AF交CD于點N.(1)求證：CA＝CN；(2)連接DF，若cos∠DFA＝eq\f(4,5)，AN＝2eq\r(10)，求圓O的直徑的長度．解：(1)連接OF，則∠OAF＝∠OFA，∵ME與⊙O相切，∴OF⊥ME.∵CD⊥AB，∴∠M＋∠FOH＝180°，∵∠BOF＝∠OAF＋∠OFA＝2∠OAF，∠FOH＋∠BOF＝180°，∴∠M＝2∠OAF.∵ME∥AC，∴∠M＝∠C＝2∠OAF.∵CD⊥AB，∴∠ANC＋∠OAF＝∠BAC＋∠C＝90°，∴∠ANC＝90°－∠OAF，∠BAC＝90°－∠C＝90°－2∠OAF，∴∠CAN＝∠OAF＋∠BAC＝90°－∠OAF＝∠ANC，∴CA＝CN(2)連接OC，∵cos∠DFA＝eq\f(4,5)，∠DFA＝∠ACH，∴eq\f(CH,AC)＝eq\f(4,5).設CH＝4a，則AC＝5a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝eq\r(AH2＋NH2)＝eq\r(（3a）2＋a2)＝eq\r(10)a＝2eq\r(10)，∴a＝2，AH＝3a＝6，CH＝4a＝8.設圓的半徑為r，則OH＝r－6，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝8，OH＝r－6，∴OC2＝CH2＋OH2，r2＝82＋(r－6)2，解得：r＝eq\f(25,3)，∴圓O的直徑的長度為2r＝eq\f(50,3)9．如圖，△ABD是⊙O的內接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點且∠DBC＝∠A，連接OE延長與圓相交于點F，與BC相交于點C.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為6，BC＝8，求弦BD的長．解：(1)連接OB，∵E是弦BD的中點，∴BE＝DE，OE⊥BD，eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°，∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切線(2)∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝eq\r(OB2＋BC2)＝10，∵△OBC的面積＝eq\f(1,2)OC·BE＝eq\f(1,2)OB·BC，∴BE＝eq\f(OB·BC,OC)＝eq\f(6×8,10)＝4.8，∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的長為9.610．如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點C、D，與邊BC相交于點F，OA與CD相交于點E，連接FE并延長交AC邊于點G.(1)求證：DF∥AO；(2)若AC＝6，AB＝10，求CG的長．解：(1)連接OD.∵AB與⊙O相切于點D，又AC與⊙O相切于點C，∴AC＝AD，∵OC＝OD，∴OA⊥CD，∴CD⊥OA，∵CF是直徑，∴∠CDF＝90°，∴DF⊥CD，∴DF∥AO(2)過點E作EM⊥OC于M，∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8，∴AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，易證△BDF∽△BCD，∴BD2＝BF·BC，∴BF＝2，∴CF＝BC－BF＝6.OC＝eq\f(1,2)CF＝3，∴OA＝eq\r(AC2＋OC2)＝3eq\r(5)，易證△OCE∽△OAC，∴OC2＝OE·OA，∴OE＝eq\f(3\r(5),5)，∵EM∥AC，∴eq\f(EM,AC)＝eq\f(OM,OC)＝eq\f(OE,OA)＝eq\f(1,5)，∴OM＝eq\f(3,5)，EM＝eq\f(6,5)，FM＝OF＋OM＝eq\f(18,5)，∴eq\f(EM,CG)＝eq\f(FM,FC)＝eq\f(3.6,6)＝eq\f(3,5)，∴CG＝eq\f(5,3)EM＝211．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點D，E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連接OC，AC.(1)求證：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°，①求∠OCE的度數；②若⊙