第三章模糊控制的理論基礎第一節概述一、模糊控制的提出第三章模糊控制的理論基礎第一節概述一、模糊控制的提出1以往的各種傳統控制方法均是建立在被控對象精確數學模型基礎上的，然而，隨著系統復雜程度的提高，將難以建立系統的精確數學模型。在工程實踐中，人們發現，一個復雜的控制系統可由一個操作人員憑著豐富的實踐經驗得到滿意的控制效果。這說明，如果通過模擬人腦的思維方法設計控制器，可實現復雜系統的控制，由此產生了模糊控制。以往的各種傳統控制方法均是建立在被控對象精確數學2二、模糊控制的特點模糊控制是建立在人工經驗基礎之上的。對于一個熟練的操作人員，他往往憑借豐富的實踐經驗，采取適當的對策來巧妙地控制一個復雜過程。若能將這些熟練操作員的實踐經驗加以總結和描述，并用語言表達出來，就會得到一種定性的、不精確的控制規則。如果用模糊數學將其定量化就轉化為模糊控制算法，形成模糊控制理論。二、模糊控制的特點3

模糊控制理論具有一些明顯的特點：（1）模糊控制不需要被控對象的數學模型。模糊控制是以人對被控對象的控制經驗為依據而設計的控制器，故無需知道被控對象的數學模型。（2）模糊控制是一種反映人類智慧的智能控制方法。模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理導出。這些模糊量和模糊推理是人類智能活動的體現。 模糊控制理論具有一些明顯的特點：4（3）模糊控制易于被人們接受。模糊控制的核心是控制規則，模糊規則是用語言來表示的，如“今天氣溫高，則今天天氣暖和”，易于被一般人所接受。（4）構造容易。模糊控制規則易于軟件實現。（5）魯棒性和適應性好。通過專家經驗設計的模糊規則可以對復雜的對象進行有效的控制。（3）模糊控制易于被人們接受。模糊控制的核心是控制規則，模糊5第二節模糊集合一、模糊集合

對大多數應用系統而言，其主要且重要的信息來源有兩種，即來自傳感器的數據信息和來自專家的語言信息。數據信息常用0.5，2，3，3.5等數字來表示，而語言信息則用諸如“大”、“小”、“中等”、“非常小”等文字來表示。傳統的工程設計方法只能用數據信息而無法使用語言信息，而人類解決問題時所使用的大量知識是經驗性的，它們通常是用語言信息來描述。語言信息通常呈經驗性，是模糊的。因此，如何描述模糊語言信息成為解決問題的關鍵。第二節模糊集合一、模糊集合6模糊集合的概念是由美國加利福尼亞大學著名教授L.A.Zadeh于1965年首先提出來的。模糊集合的引入，可將人的判斷、思維過程用比較簡單的數學形式直接表達出來。模糊集理論為人類提供了能充分利用語言信息的有效工具。模糊集合是模糊控制的數學基礎。模糊集合的概念是由美國加利福尼亞大學71．特征函數和隸屬函數在數學上經常用到集合的概念。例如：集合A由4個離散值x1，x2，x3，x4組成。A={x1,x2,x3,x4}例如：集合A由0到1之間的連續實數值組成。1．特征函數和隸屬函數8以上兩個集合是完全不模糊的。對任意元素x，只有兩種可能：屬于A，不屬于A。這種特性可以用特征函數來描述：以上兩個集合是完全不模糊的。對任意元素x，只9為了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隸屬函數的概念：其中A稱為模糊集合，由0,1及構成。表示元素x屬于模糊集合A的程度，取值范圍為[0,1]，稱為x屬于模糊集合A的隸屬度。為了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隸屬函數的概念：102.模糊集合的表示①

模糊集合A由離散元素構成，表示為：或②模糊集合A由連續函數構成，各元素的隸屬度就構成了隸屬度函數（MembershipFunction），此時A表示為：2.模糊集合的表示或②模糊集合A由連續函數構成，各元素的11在模糊集合的表達中，符號“/”、“+”和“∫”不代表數學意義上的除號、加號和積分，它們是模糊集合的一種表示方式，表示“構成”或“屬于”。模糊集合是以隸屬函數來描述的，隸屬度的概念是模糊集合理論的基石。在模糊集合的表達中，符號“/”、“+”和“∫”不12例3.2設論域U={張三，李四，王五}，評語為“學習好”。設三個人學習成績總評分是張三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都學習好，但又有差異。若采用普通集合的觀點，選取特征函數例3.2設論域U={張三，李四，王五}，評語為“學習好”。13此時特征函數分別為(張三)=1，(李四)=1，(王五)=1。這樣就反映不出三者的差異。假若采用模糊子集的概念，選取[0，1]區間上的隸屬度來表示它們屬于“學習好”模糊子集A的程度，就能夠反映出三人的差異。采用隸屬函數，由三人的成績可知三人“學習好”的隸屬度為(張三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。用“學習好”這一模糊子集A可表示為：此時特征函數分別為(張三)=1，(李四)=114其含義為張三、李四、王五屬于“學習好”的程度分別是0.95，0.90，0.85。例3.3

以年齡為論域，取。Zadeh給出了“年輕”的模糊集Y，其隸屬函數為通過Matlab仿真對上述隸屬函數作圖，隸屬函數曲線如圖所示。

其含義為張三、李四、王五屬于“學習好”的程度15圖“年輕”的隸屬函數曲線圖“年輕”的隸屬函數曲線16

二、模糊集合的運算

1模糊集合的基本運算由于模糊集是用隸書函數來表征的，因此兩個子集之間的運算實際上就是逐點對隸屬度作相應的運算。（1）空集模糊集合的空集為普通集，它的隸屬度為0，即

二、模糊集合的運算（1）空集17（2）全集模糊集合的全集為普通集，它的隸屬度為1，即（3）等集兩個模糊集A和B，若對所有元素u，它們的隸屬函數相等，則A和B也相等。即（2）全集（3）等集18（4）補集若為A的補集，則例如，設A為“成績好”的模糊集，某學生屬于“成績好”的隸屬度為：

則屬于“成績差”的隸屬度為：（4）補集例如，設A為“成績好”的模糊集，某學生19（5）子集若B為A的子集，則（6）并集若C為A和B的并集，則C=A∪B一般地，（5）子集（6）并集20（7）交集若C為A和B的交集，則C=A∩B一般地，（8）模糊運算的基本性質 模糊集合除具有上述基本運算性質外，還具有下表所示的運算性質。（7）交集（8）模糊運算的基本性質21運算法則1．冪等律A∪A=A，A∩A=A2．交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．結合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)運算法則224．吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．復原律4．吸收律237．對偶律8．兩極律A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф7．對偶律24例3.4設求A∪B，A∩B則例3.4設25例3.5試證普通集合中的互補律在模糊集合中不成立，即，證：設，則例3.5試證普通集合中的互補律在模糊集合中不成立，即262模糊算子模糊集合的邏輯運算實質上就是隸屬函數的運算過程。采用隸屬函數的取大（MAX）-取小（MIN）進行模糊集合的并、交邏輯運算是目前最常用的方法。但還有其它公式，這些公式統稱為“模糊算子”。設有模糊集合A、B和C，常用的模糊算子如下：2模糊算子27（1）交運算算子設C=A∩B，有三種模糊算子：①

模糊交算子②

代數積算子③有界積算子（1）交運算算子28（2）并運算算子設C=A∪B，有三種模糊算子：①

模糊并算子②

代數和算子③有界和算子（2）并運算算子29（3）平衡算子當隸屬函數取大、取小運算時，不可避免地要丟失部分信息，采用一種平衡算子，即“算子”可起到補償作用。設A和B經過平衡運算得到C，則其中γ取值為[0，1]。當γ=0時，，相當于A∩B時的算子。（3）平衡算子30當γ=1，，相當于A∪B時的代數和算子。平衡算子目前已經應用于德國Inform公司研制的著名模糊控制軟件Fuzzy-Tech中。當γ=1，31第三節隸屬函數一、幾種典型的隸屬函數在Matlab中已經開發出了11種隸屬函數，即雙S形隸屬函數（dsigmf）、聯合高斯型隸屬函數（gauss2mf）、高斯型隸屬函數（gaussmf）、廣義鐘形隸屬函數（gbellmf）、II型隸屬函數(pimf)、雙S形乘積隸屬函數（psigmf）、S狀隸屬函數（smf）、S形隸屬函數（sigmf）、梯形隸屬函數（trapmf）、三角形隸屬函數（trimf）、Z形隸屬函數（zmf）。第三節隸屬函數一、幾種典型的隸屬函數32在模糊控制中應用較多的隸屬函數有以下6種隸屬函數。（1）高斯型隸屬函數高斯型隸屬函數由兩個參數和c確定：其中參數b通常為正，參數c用于確定曲線的中心。Matlab表示為

在模糊控制中應用較多的隸屬函數有以下6種隸屬函33(2)廣義鐘型隸屬函數廣義鐘型隸屬函數由三個參數a，b，c確定：其中參數b通常為正，參數c用于確定曲線的中心。Matlab表示為(2)廣義鐘型隸屬函數34(3)S形隸屬函數S形函數sigmf(x,[ac])由參數a和c決定：其中參數a的正負符號決定了S形隸屬函數的開口朝左或朝右，用來表示“正大”或“負大”的概念。Matlab表示為(3)S形隸屬函數35（4）梯形隸屬函數梯形曲線可由四個參數a，b，c，d確定：其中參數a和d確定梯形的“腳”，而參數b和c確定梯形的“肩膀”。Matlab表示為：（4）梯形隸屬函數36(5)三角形隸屬函數三角形曲線的形狀由三個參數a，b，c確定：其中參數a和c確定三角形的“腳”，而參數b確定三角形的“峰”。Matlab表示為(5)三角形隸屬函數37（6）Z形隸屬函數這是基于樣條函數的曲線，因其呈現Z形狀而得名。參數a和b確定了曲線的形狀。Matlab表示為有關隸屬函數的MATLAB設計，見著作：樓順天，胡昌華，張偉，基于MATLAB的系統分析與設計-模糊系統，西安：西安電子科技大學出版社，2001（6）Z形隸屬函數38例3.6隸屬函數的設計：針對上述描述的6種隸屬函數進行設計。M為隸屬函數的類型，其中M=1為高斯型隸屬函數，M=2為廣義鐘形隸屬函數，M=3為S形隸屬函數，M=4為梯形隸屬函數，M=5為三角形隸屬函數，M=6為Z形隸屬函數。如圖所示。例3.6隸屬函數的設計：針對上述描述的6種隸屬函數進行設39圖高斯型隸屬函數（M=1）圖高斯型隸屬函數（M=1）40圖廣義鐘形隸屬函數（M=2）圖廣義鐘形隸屬函數（M=2）41圖S形隸屬函數（M=3）圖S形隸屬函數（M=3）42圖梯形隸屬函數（M=4）圖梯形隸屬函數（M=4）43圖三角形隸屬函數（M=5）圖三角形隸屬函數（M=5）44圖Z形隸屬函數（M=6）圖Z形隸屬函數（M=6）45二、隸屬函數的仿真例3.7設計一個三角形隸屬函數，按[-3，3]范圍七個等級，建立一個模糊系統，用來表示{負大，負中，負小，零，正小，正中，正大}。仿真結果如圖所示。二、隸屬函數的仿真46圖三角形隸屬函數曲線圖三角形隸屬函數曲線47例3.8設計評價一個學生成績的隸屬函數，在[0，100]之內按A、B、C、D、E分為五個等級，即{不及格，及格，中，良，優}。分別采用五個高斯型隸屬函數來表示，建立一個模糊系統，仿真結果如圖所示。例3.8設計評價一個學生成績的隸屬函數，在[0，100]48圖高斯型隸屬函數曲線圖高斯型隸屬函數曲線49三、隸屬函數的確定方法

隸屬函數是模糊控制的應用基礎。目前還沒有成熟的方法來確定隸屬函數，主要還停留在經驗和實驗的基礎上。通常的方法是初步確定粗略的隸屬函數，然后通過“學習”和實踐來不斷地調整和完善。遵照這一原則的隸屬函數選擇方法有以下幾種。三、隸屬函數的確定方法50（1）模糊統計法根據所提出的模糊概念進行調查統計，提出與之對應的模糊集A，通過統計實驗，確定不同元素隸屬于A的程度。對模糊集A的隸屬度=（1）模糊統計法51（2）主觀經驗法當論域為離散論域時，可根據主觀認識，結合個人經驗，經過分析和推理，直接給出隸屬度。這種確定隸屬函數的方法已經被廣泛應用。（3）神經網絡法利用神經網絡的學習功能，由神經網絡自動生成隸屬函數，并通過網絡的學習自動調整隸屬函數的值。（2）主觀經驗法52第四節模糊關系一、模糊關系例3.9設有一組同學X，X={張三，李四，王五}，他們的功課為Y，Y={英語，數學，物理，化學}。他們的考試成績如下表：第四節模糊關系一、模糊關系53表考試成績表取隸屬函數，其中u為成績。如果將他們的成績轉化為隸屬度，則構成一個x×y上的一個模糊關系R，見下表。表考試成績表取隸屬函數54表考試成績表的模糊化 將上表寫成矩陣形式，得：表考試成績表的模糊化 將上表寫成矩陣形式，得：55該矩陣稱作模糊矩陣，其中各個元素必須在[0，1]閉環區間上取值。矩陣R也可以用關系圖來表示，如圖所示。圖R的關系圖該矩陣稱作模糊矩陣，其中各個元素必須在[0，1]閉環56二、模糊矩陣運算 設有n階模糊矩陣A和B，，，且。則定義如下幾種模糊矩陣運算方式：二、模糊矩陣運算57例3-10設例3-10設58智能控制--第3章模糊控制的理論基礎59三、模糊矩陣的合成 模糊矩陣的合成類似于普通矩陣的乘積。將乘積運算換成“取小”，將加運算換成“取大”即可。 設矩陣A是x×y上的模糊關系，矩陣B是y×z上的模糊關系，則C=AοB稱為A與B矩陣的合成，合成算法為：三、模糊矩陣的合成60例3-11設，，則A和B的合成為：其中例3-11設，61智能控制--第3章模糊控制的理論基礎62第五節模糊推理一、模糊語句 將含有模糊概念的語法規則所構成的語句稱為模糊語句。根據其語義和構成的語法規則不同，可分為以下幾種類型：（1）模糊陳述句：語句本身具有模糊性，又稱為模糊命題。如：“今天天氣很熱”。（2）模糊判斷句：是模糊邏輯中最基本的語句。語句形式：“是a”，記作（a），且a所表示的概念是模糊的。如“張三是好學生”。第五節模糊推理一、模糊語句63（3）模糊推理句：語句形式：若是，則是。則為模糊推理語句。如“今天是晴天，則今天暖和”。二、模糊推理常用的有兩種模糊條件推理語句：IfAthenBelseC；IfAANDBthenC下面以第二種推理語句為例進行探討，該語句可構成一個簡單的模糊控制器，如圖所示。（3）模糊推理句：語句形式：若是，則是。則為模糊推理語句。如64圖二輸入單輸出模糊控制器其中A，B，C分別為論域x，y，z上的模糊集合，A為誤差信號上的模糊子集，B為誤差變化率上的模糊子集，C為控制器輸出上的模糊子集。圖二輸入單輸出模糊控制器其中A，B，C分別為論域x，y，z65常用的模糊推理方法有兩種：Zadeh法和Mamdani法。Mamdani推理法是模糊控制中普遍使用的方法，其本質是一種合成推理方法。定義：若有兩個模糊集A和B，其論域分別為X和Y，則定義在積空間上的模糊集合為的直積，隸屬函數表達為：或常用的模糊推理方法有兩種：Zadeh法和Ma66模糊推理語句“IfAANDBthenC”確定了三元模糊關系R，即：R=(A×B)T1×C其中(A×B)T1為模糊關系矩陣(A×B)(m×n)構成的m×n列向量，n和m分別為A和B論域元素的個數。基于模糊推理規則，根據模糊關系R，可求得給定輸入A1和B1對應的輸出C1：C1=（A1×B1）T2R模糊推理語句“IfAANDBthen67例3-9設論域x={a1，a2，a3}，y={b1，b2，b3}，z={c1，c2，c3}，已知，。試確定“IfAANDBthenC”所決定的模糊關系R，以及輸入為,時的輸出C1。例3-9設論域x={a1，a2，a3}，y={b1，b268解：將A×B矩陣擴展成如下列向量：

解：69當輸入為A1和B1時，有：將A1×B1矩陣擴展成如下行向量：最后得:即：當輸入為A1和B1時，有：70三、模糊關系方程1、模糊關系方程概念 將模糊關系R看成一個模糊變換器。當A為輸入時，B為輸出，如圖所示。圖模糊變換器三、模糊關系方程71可分為兩種情況討論：（1）已知輸入A和模糊關系R，求輸出B，這是綜合評判，即模糊變換問題。（2）已知輸入A和輸出B，求模糊關系R，或已知模糊關系R和輸出B，求輸入A，這是模糊綜合評判的逆問題，需要求解模糊關系方程。可分為兩種情況討論：722、模糊關系方程的解 近似試探法是目前實際應用中較為常用的方法之一。例3.10解方程2、模糊關系方程的解73解：由方程得：顯然三個括弧內的值都不可能超過0.4。由于是顯然的，因此x2可以取[0,1]的任意值，即x2=[0,1]。 現在只考慮：這兩個括弧內的值可以是：其中一個等于0.4，另一個不超過0.4。分兩種情況討論：解：由方程得：74(1)設0.6∧x1=0.4，0.4∧x3≤0.4，則，即方程的解為(2)設0.6∧x1≤0.4，0.4∧x3=0.4，則，即方程的解為：(1)設0.6∧x1=0.4，0.4∧x3≤0.4，則75第三章模糊控制的理論基礎第一節概述一、模糊控制的提出第三章模糊控制的理論基礎第一節概述一、模糊控制的提出76以往的各種傳統控制方法均是建立在被控對象精確數學模型基礎上的，然而，隨著系統復雜程度的提高，將難以建立系統的精確數學模型。在工程實踐中，人們發現，一個復雜的控制系統可由一個操作人員憑著豐富的實踐經驗得到滿意的控制效果。這說明，如果通過模擬人腦的思維方法設計控制器，可實現復雜系統的控制，由此產生了模糊控制。以往的各種傳統控制方法均是建立在被控對象精確數學77二、模糊控制的特點模糊控制是建立在人工經驗基礎之上的。對于一個熟練的操作人員，他往往憑借豐富的實踐經驗，采取適當的對策來巧妙地控制一個復雜過程。若能將這些熟練操作員的實踐經驗加以總結和描述，并用語言表達出來，就會得到一種定性的、不精確的控制規則。如果用模糊數學將其定量化就轉化為模糊控制算法，形成模糊控制理論。二、模糊控制的特點78

模糊控制理論具有一些明顯的特點：（1）模糊控制不需要被控對象的數學模型。模糊控制是以人對被控對象的控制經驗為依據而設計的控制器，故無需知道被控對象的數學模型。（2）模糊控制是一種反映人類智慧的智能控制方法。模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理導出。這些模糊量和模糊推理是人類智能活動的體現。 模糊控制理論具有一些明顯的特點：79（3）模糊控制易于被人們接受。模糊控制的核心是控制規則，模糊規則是用語言來表示的，如“今天氣溫高，則今天天氣暖和”，易于被一般人所接受。（4）構造容易。模糊控制規則易于軟件實現。（5）魯棒性和適應性好。通過專家經驗設計的模糊規則可以對復雜的對象進行有效的控制。（3）模糊控制易于被人們接受。模糊控制的核心是控制規則，模糊80第二節模糊集合一、模糊集合

對大多數應用系統而言，其主要且重要的信息來源有兩種，即來自傳感器的數據信息和來自專家的語言信息。數據信息常用0.5，2，3，3.5等數字來表示，而語言信息則用諸如“大”、“小”、“中等”、“非常小”等文字來表示。傳統的工程設計方法只能用數據信息而無法使用語言信息，而人類解決問題時所使用的大量知識是經驗性的，它們通常是用語言信息來描述。語言信息通常呈經驗性，是模糊的。因此，如何描述模糊語言信息成為解決問題的關鍵。第二節模糊集合一、模糊集合81模糊集合的概念是由美國加利福尼亞大學著名教授L.A.Zadeh于1965年首先提出來的。模糊集合的引入，可將人的判斷、思維過程用比較簡單的數學形式直接表達出來。模糊集理論為人類提供了能充分利用語言信息的有效工具。模糊集合是模糊控制的數學基礎。模糊集合的概念是由美國加利福尼亞大學821．特征函數和隸屬函數在數學上經常用到集合的概念。例如：集合A由4個離散值x1，x2，x3，x4組成。A={x1,x2,x3,x4}例如：集合A由0到1之間的連續實數值組成。1．特征函數和隸屬函數83以上兩個集合是完全不模糊的。對任意元素x，只有兩種可能：屬于A，不屬于A。這種特性可以用特征函數來描述：以上兩個集合是完全不模糊的。對任意元素x，只84為了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隸屬函數的概念：其中A稱為模糊集合，由0,1及構成。表示元素x屬于模糊集合A的程度，取值范圍為[0,1]，稱為x屬于模糊集合A的隸屬度。為了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隸屬函數的概念：852.模糊集合的表示①

模糊集合A由離散元素構成，表示為：或②模糊集合A由連續函數構成，各元素的隸屬度就構成了隸屬度函數（MembershipFunction），此時A表示為：2.模糊集合的表示或②模糊集合A由連續函數構成，各元素的86在模糊集合的表達中，符號“/”、“+”和“∫”不代表數學意義上的除號、加號和積分，它們是模糊集合的一種表示方式，表示“構成”或“屬于”。模糊集合是以隸屬函數來描述的，隸屬度的概念是模糊集合理論的基石。在模糊集合的表達中，符號“/”、“+”和“∫”不87例3.2設論域U={張三，李四，王五}，評語為“學習好”。設三個人學習成績總評分是張三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都學習好，但又有差異。若采用普通集合的觀點，選取特征函數例3.2設論域U={張三，李四，王五}，評語為“學習好”。88此時特征函數分別為(張三)=1，(李四)=1，(王五)=1。這樣就反映不出三者的差異。假若采用模糊子集的概念，選取[0，1]區間上的隸屬度來表示它們屬于“學習好”模糊子集A的程度，就能夠反映出三人的差異。采用隸屬函數，由三人的成績可知三人“學習好”的隸屬度為(張三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。用“學習好”這一模糊子集A可表示為：此時特征函數分別為(張三)=1，(李四)=189其含義為張三、李四、王五屬于“學習好”的程度分別是0.95，0.90，0.85。例3.3

以年齡為論域，取。Zadeh給出了“年輕”的模糊集Y，其隸屬函數為通過Matlab仿真對上述隸屬函數作圖，隸屬函數曲線如圖所示。

其含義為張三、李四、王五屬于“學習好”的程度90圖“年輕”的隸屬函數曲線圖“年輕”的隸屬函數曲線91

二、模糊集合的運算

1模糊集合的基本運算由于模糊集是用隸書函數來表征的，因此兩個子集之間的運算實際上就是逐點對隸屬度作相應的運算。（1）空集模糊集合的空集為普通集，它的隸屬度為0，即

二、模糊集合的運算（1）空集92（2）全集模糊集合的全集為普通集，它的隸屬度為1，即（3）等集兩個模糊集A和B，若對所有元素u，它們的隸屬函數相等，則A和B也相等。即（2）全集（3）等集93（4）補集若為A的補集，則例如，設A為“成績好”的模糊集，某學生屬于“成績好”的隸屬度為：

則屬于“成績差”的隸屬度為：（4）補集例如，設A為“成績好”的模糊集，某學生94（5）子集若B為A的子集，則（6）并集若C為A和B的并集，則C=A∪B一般地，（5）子集（6）并集95（7）交集若C為A和B的交集，則C=A∩B一般地，（8）模糊運算的基本性質 模糊集合除具有上述基本運算性質外，還具有下表所示的運算性質。（7）交集（8）模糊運算的基本性質96運算法則1．冪等律A∪A=A，A∩A=A2．交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．結合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)運算法則974．吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．復原律4．吸收律987．對偶律8．兩極律A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф7．對偶律99例3.4設求A∪B，A∩B則例3.4設100例3.5試證普通集合中的互補律在模糊集合中不成立，即，證：設，則例3.5試證普通集合中的互補律在模糊集合中不成立，即1012模糊算子模糊集合的邏輯運算實質上就是隸屬函數的運算過程。采用隸屬函數的取大（MAX）-取小（MIN）進行模糊集合的并、交邏輯運算是目前最常用的方法。但還有其它公式，這些公式統稱為“模糊算子”。設有模糊集合A、B和C，常用的模糊算子如下：2模糊算子102（1）交運算算子設C=A∩B，有三種模糊算子：①

模糊交算子②

代數積算子③有界積算子（1）交運算算子103（2）并運算算子設C=A∪B，有三種模糊算子：①

模糊并算子②

代數和算子③有界和算子（2）并運算算子104（3）平衡算子當隸屬函數取大、取小運算時，不可避免地要丟失部分信息，采用一種平衡算子，即“算子”可起到補償作用。設A和B經過平衡運算得到C，則其中γ取值為[0，1]。當γ=0時，，相當于A∩B時的算子。（3）平衡算子105當γ=1，，相當于A∪B時的代數和算子。平衡算子目前已經應用于德國Inform公司研制的著名模糊控制軟件Fuzzy-Tech中。當γ=1，106第三節隸屬函數一、幾種典型的隸屬函數在Matlab中已經開發出了11種隸屬函數，即雙S形隸屬函數（dsigmf）、聯合高斯型隸屬函數（gauss2mf）、高斯型隸屬函數（gaussmf）、廣義鐘形隸屬函數（gbellmf）、II型隸屬函數(pimf)、雙S形乘積隸屬函數（psigmf）、S狀隸屬函數（smf）、S形隸屬函數（sigmf）、梯形隸屬函數（trapmf）、三角形隸屬函數（trimf）、Z形隸屬函數（zmf）。第三節隸屬函數一、幾種典型的隸屬函數107在模糊控制中應用較多的隸屬函數有以下6種隸屬函數。（1）高斯型隸屬函數高斯型隸屬函數由兩個參數和c確定：其中參數b通常為正，參數c用于確定曲線的中心。Matlab表示為

在模糊控制中應用較多的隸屬函數有以下6種隸屬函108(2)廣義鐘型隸屬函數廣義鐘型隸屬函數由三個參數a，b，c確定：其中參數b通常為正，參數c用于確定曲線的中心。Matlab表示為(2)廣義鐘型隸屬函數109(3)S形隸屬函數S形函數sigmf(x,[ac])由參數a和c決定：其中參數a的正負符號決定了S形隸屬函數的開口朝左或朝右，用來表示“正大”或“負大”的概念。Matlab表示為(3)S形隸屬函數110（4）梯形隸屬函數梯形曲線可由四個參數a，b，c，d確定：其中參數a和d確定梯形的“腳”，而參數b和c確定梯形的“肩膀”。Matlab表示為：（4）梯形隸屬函數111(5)三角形隸屬函數三角形曲線的形狀由三個參數a，b，c確定：其中參數a和c確定三角形的“腳”，而參數b確定三角形的“峰”。Matlab表示為(5)三角形隸屬函數112（6）Z形隸屬函數這是基于樣條函數的曲線，因其呈現Z形狀而得名。參數a和b確定了曲線的形狀。Matlab表示為有關隸屬函數的MATLAB設計，見著作：樓順天，胡昌華，張偉，基于MATLAB的系統分析與設計-模糊系統，西安：西安電子科技大學出版社，2001（6）Z形隸屬函數113例3.6隸屬函數的設計：針對上述描述的6種隸屬函數進行設計。M為隸屬函數的類型，其中M=1為高斯型隸屬函數，M=2為廣義鐘形隸屬函數，M=3為S形隸屬函數，M=4為梯形隸屬函數，M=5為三角形隸屬函數，M=6為Z形隸屬函數。如圖所示。例3.6隸屬函數的設計：針對上述描述的6種隸屬函數進行設114圖高斯型隸屬函數（M=1）圖高斯型隸屬函數（M=1）115圖廣義鐘形隸屬函數（M=2）圖廣義鐘形隸屬函數（M=2）116圖S形隸屬函數（M=3）圖S形隸屬函數（M=3）117圖梯形隸屬函數（M=4）圖梯形隸屬函數（M=4）118圖三角形隸屬函數（M=5）圖三角形隸屬函數（M=5）119圖Z形隸屬函數（M=6）圖Z形隸屬函數（M=6）120二、隸屬函數的仿真例3.7設計一個三角形隸屬函數，按[-3，3]范圍七個等級，建立一個模糊系統，用來表示{負大，負中，負小，零，正小，正中，正大}。仿真結果如圖所示。二、隸屬函數的仿真121圖三角形隸屬函數曲線圖三角形隸屬函數曲線122例3.8設計評價一個學生成績的隸屬函數，在[0，100]之內按A、B、C、D、E分為五個等級，即{不及格，及格，中，良，優}。分別采用五個高斯型隸屬函數來表示，建立一個模糊系統，仿真結果如圖所示。例3.8設計評價一個學生成績的隸屬函數，在[0，100]123圖高斯型隸屬函數曲線圖高斯型隸屬函數曲線124三、隸屬函數的確定方法

隸屬函數是模糊控制的應用基礎。目前還沒有成熟的方法來確定隸屬函數，主要還停留在經驗和實驗的基礎上。通常的方法是初步確定粗略的隸屬函數，然后通過“學習”和實踐來不斷地調整和完善。遵照這一原則的隸屬函數選擇方法有以下幾種。三、隸屬函數的確定方法125（1）模糊統計法根據所提出的模糊概念進行調查統計，提出與之對應的模糊集A，通過統計實驗，確定不同元素隸屬于A的程度。對模糊集A的隸屬度=（1）模糊統計法126（2）主觀經驗法當論域為離散論域時，可根據主觀認識，結合個人經驗，經過分析和推理，直接給出隸屬度。這種確定隸屬函數的方法已經被廣泛應用。（3）神經網絡法利用神經網絡的學習功能，由神經網絡自動生成隸屬函數，并通過網絡的學習自動調整隸屬函數的值。（2）主觀經驗法127第四節模糊關系一、模糊關系例3.9設有一組同學X，X={張三，李四，王五}，他們的功課為Y，Y={英語，數學，物理，化學}。他們的考試成績如下表：第四節模糊關系一、模糊關系128表考試成績表取隸屬函數，其中u為成績。如果將他們的成績轉化為隸屬度，則構成一個x×y上的一個模糊關系R，見下表。表考試成績表取隸屬函數129表考試成績表的模糊化 將上表寫成矩陣形式，得：表考試成績表的模糊化 將上表寫成矩陣形式，得：130該矩陣稱作模糊矩陣，其中各個元素必須在[0，1]閉環區間上取值。矩陣R也可以用關系圖來表示，如圖所示。圖R的關系圖該矩陣稱作模糊矩陣，其中各個元素必須在[0，1]閉環131二、模糊矩陣運算 設有n階模糊矩陣A和B，，，且。則定義如下幾種模糊矩陣運算方式：二、模糊矩陣運算132例3-10設例3-10設133智能控制--第3章模糊控制的理論基礎134三、模糊矩陣的合成 模糊矩陣的合成類似于普通矩陣的乘積。將乘積運算換成“取小”，將加運算換成“取大”即可。 設矩陣A是x×y上的模糊關系，矩陣B是y×z上的模糊關系，則C=AοB稱為A與B矩陣的合成，合成算法為：三、模糊矩陣的合成135例3-11設，，則A和B的合成為：其中例3-11設，136智能控制--第3章模糊控制的理論基礎137第五節模糊推理一、模糊語句 將含有模糊概念的語法規則所構成的語句稱為模糊語句。根據其語義和構成的語法規則不同，可分為以下幾種類型：（1）模糊陳述句：語句本身具有模糊性，又稱為模糊命題。如：“今天天氣很熱”。（2）模糊判斷句：是模