學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE11-學必求其心得，業必貴于專精課時作業3向量的減法運算知識點一向量減法的幾何意義1.在?ABCD中,｜eq\o(AB，\s\up15（→)）＋eq\o(AD,\s\up15(→））｜＝|eq\o（AB，\s\up15（→））－eq\o（AD，\s\up15（→））｜，則必有（）A。eq\o（AD，\s\up15(→）)＝0 B.eq\o(AB，\s\up15（→)）＝0或eq\o(AD，\s\up15（→))＝0C．?ABCD是矩形 D．?ABCD是正方形答案C解析在?ABCD中,|eq\o（AB，\s\up15(→)）＋eq\o（AD，\s\up15(→））｜＝|eq\o(AB，\s\up15(→）)－eq\o(AD，\s\up15（→))|，即|eq\o（AC，\s\up15（→)）|＝｜eq\o（DB，\s\up15(→）)|，可得?ABCD是矩形．2．已知如圖，在正六邊形ABCDEF中，與eq\o(OA，\s\up15（→))－eq\o(OC，\s\up15（→））＋eq\o(CD，\s\up15（→））相等的向量有________．①eq\o(CF，\s\up15（→）);②eq\o(AD，\s\up15(→））；③eq\o（DA,\s\up15（→）)；④eq\o（BE,\s\up15（→））;⑤eq\o(CE，\s\up15(→）)＋eq\o（BC,\s\up15（→)）;⑥eq\o（CA,\s\up15（→）)－eq\o（CD，\s\up15(→)）；⑦eq\o（AB,\s\up15(→)）＋eq\o（AE,\s\up15(→））。答案①解析eq\o（OA,\s\up15(→）)－eq\o（OC,\s\up15(→））＋eq\o（CD，\s\up15(→）)＝eq\o(CA，\s\up15（→））＋eq\o(CD，\s\up15(→））＝eq\o（CF,\s\up15(→))；eq\o(CE，\s\up15(→）)＋eq\o(BC，\s\up15(→))＝eq\o（BC，\s\up15（→)）＋eq\o(CE,\s\up15(→)）＝eq\o（BE,\s\up15(→）)≠eq\o（CF，\s\up15（→）)；eq\o（CA,\s\up15(→））－eq\o(CD，\s\up15（→）)＝eq\o(DA，\s\up15(→））≠eq\o（CF，\s\up15(→））；eq\o（AB，\s\up15(→））＋eq\o（AE，\s\up15(→）)＝eq\o（AD,\s\up15（→)）≠eq\o（CF，\s\up15(→）).知識點二向量的減法運算3.化簡eq\o（OP，\s\up15（→))－eq\o（QP,\s\up15（→）)＋eq\o（PS,\s\up15（→））＋eq\o（SP，\s\up15（→）)的結果等于(）A。eq\o(QP,\s\up15（→)) B.eq\o（OQ,\s\up15（→))C。eq\o(SP,\s\up15（→)） D.eq\o（SQ,\s\up15(→))答案B解析eq\o（OP,\s\up15(→)）－eq\o（QP,\s\up15(→）)＋eq\o(PS，\s\up15(→)）＋eq\o(SP，\s\up15(→))＝eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o（PQ,\s\up15（→)）＝eq\o（OQ，\s\up15(→）），故選B.4．給出下列各式:①eq\o(AB,\s\up15（→）)＋eq\o(CA，\s\up15（→)）＋eq\o（BC，\s\up15（→））；②eq\o（AB,\s\up15(→）)－eq\o(CD，\s\up15(→））＋eq\o(BD,\s\up15(→）)－eq\o(AC,\s\up15(→））；③eq\o（AD,\s\up15（→））－eq\o(OD,\s\up15（→））－eq\o(AO，\s\up15（→))；④eq\o(NQ，\s\up15（→))－eq\o（MP,\s\up15（→)）＋eq\o（QP,\s\up15（→)）＋eq\o（MN,\s\up15（→）)。對這些式子進行化簡，則其化簡結果為0的式子的個數是()A．4B．3C．2D．1答案A解析①eq\o（AB,\s\up15（→)）＋eq\o（CA，\s\up15(→）)＋eq\o（BC，\s\up15（→））＝eq\o（AC，\s\up15（→）)＋eq\o（CA，\s\up15(→））＝0;②eq\o（AB，\s\up15（→))－eq\o(CD,\s\up15（→))＋eq\o（BD,\s\up15（→））－eq\o(AC,\s\up15（→)）＝eq\o（AB，\s\up15(→))＋eq\o（BD，\s\up15（→））－（eq\o（AC，\s\up15（→））＋eq\o（CD,\s\up15（→）））＝eq\o（AD，\s\up15(→））－eq\o(AD,\s\up15（→））＝0;③eq\o(AD,\s\up15(→））－eq\o(OD,\s\up15(→)）－eq\o(AO，\s\up15(→）)＝eq\o（AD,\s\up15（→)）＋eq\o(DO,\s\up15（→))＋eq\o（OA，\s\up15（→））＝eq\o（AO，\s\up15（→））＋eq\o（OA,\s\up15(→））＝0；④eq\o（NQ,\s\up15(→）)－eq\o（MP,\s\up15(→))＋eq\o（QP，\s\up15（→)）＋eq\o（MN,\s\up15(→）)＝eq\o（NQ,\s\up15（→)）＋eq\o（QP,\s\up15（→))＋eq\o(MN，\s\up15（→））－eq\o(MP,\s\up15（→））＝eq\o（NP,\s\up15(→))＋eq\o(PN，\s\up15（→））＝0。5．化簡:（1)eq\o（OA,\s\up15(→））－eq\o(OD，\s\up15（→）)＋eq\o(AD，\s\up15(→))；(2)eq\o（AB，\s\up15(→））＋eq\o（DA，\s\up15（→)）＋eq\o(BD，\s\up15（→））－eq\o（BC,\s\up15(→））－eq\o（CA,\s\up15(→)）。解（1）eq\o（OA，\s\up15(→）)－eq\o(OD，\s\up15(→))＋eq\o(AD，\s\up15(→）)＝eq\o(OA，\s\up15(→）)＋eq\o（AD，\s\up15(→)）－eq\o(OD，\s\up15(→))＝eq\o（OD，\s\up15（→)）－eq\o（OD，\s\up15（→))＝0.（2)eq\o（AB,\s\up15（→)）＋eq\o（DA，\s\up15（→)）＋eq\o（BD，\s\up15(→））－eq\o(BC,\s\up15（→))－eq\o(CA,\s\up15（→））＝eq\o（AB，\s\up15（→)）＋eq\o（DA，\s\up15(→））＋eq\o(BD，\s\up15（→）)＋eq\o（CB，\s\up15(→））＋eq\o(AC,\s\up15(→)）＝(eq\o（AB,\s\up15（→））＋eq\o(BD,\s\up15(→)))＋(eq\o(AC，\s\up15（→)）＋eq\o(CB,\s\up15(→)））＋Deq\o(A，\s\up15(→）)＝eq\o（AD，\s\up15(→))＋eq\o（AB,\s\up15(→）)＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝eq\o（AD,\s\up15(→））＋eq\o（DA，\s\up15（→））＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝0＋eq\o（AB，\s\up15(→））＝eq\o(AB，\s\up15（→))。知識點三向量減法的應用6．如圖所示，O是四邊形ABCD內任一點,試根據圖中給出的向量,確定a,b，c，d的方向(用箭頭表示），使a＋b＝eq\o（AB,\s\up15（→））,c－d＝eq\o(DC，\s\up15(→）)，并畫出b－c和a＋d.解如下圖．7．已知a,b是兩個非零向量，且|a｜＝｜b|＝|a－b｜，求eq\f(|a＋b|，|a－b|）。解設eq\o(OA,\s\up15（→）)＝a，eq\o（OB,\s\up15（→))＝b，則eq\o（BA，\s\up15（→））＝eq\o(OA，\s\up15（→)）－eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b。∵|a|＝｜b|＝|a－b|,∴BA＝OA＝OB。∴△OAB為正三角形．設其邊長為1，則|a－b｜＝｜eq\o(BA，\s\up15（→)）|＝1，|a＋b｜＝2×eq\f(\r(3)，2）＝eq\r（3).∴eq\f（｜a＋b|，|a－b|)＝eq\f（\r（3），1）＝eq\r（3)。易錯點忽略差向量的方向致誤8．在五邊形ABCDE中，設eq\o（AB,\s\up15（→))＝a，eq\o（AE，\s\up15（→))＝b，eq\o(BC,\s\up15（→）)＝c，eq\o（ED,\s\up15(→))＝d，用a，b,c，d表示eq\o（CD，\s\up15（→)）。易錯分析作向量減法時特別要注意差向量的方向，有公共起點的向量作差，應由減數的終點指向被減數的終點．本題易計算為eq\o（CD，\s\up15(→））＝eq\o(AC，\s\up15(→）)－eq\o(AD，\s\up15（→）)＝a＋c－b－d致誤．正解由五邊形ABCDE可得，eq\o（CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD，\s\up15（→））－eq\o(AC，\s\up15（→)）＝（eq\o(AE,\s\up15（→））＋eq\o（ED,\s\up15（→）))－（eq\o（AB，\s\up15(→）)＋eq\o(BC,\s\up15(→)）)＝(b＋d）－(a＋c）＝－a－c＋b＋d。一、選擇題1．若非零向量a,b互為相反向量，則下列說法錯誤的是（)A．a∥b B．a≠bC．｜a｜≠|b｜ D．b＝－a答案C解析a，b互為相反向量，則a，b長度相等方向相反，從而a∥b，|a｜＝|b|,b＝－a都是正確的．2．四邊形ABCD中,設eq\o(AB，\s\up15（→)）＝a，eq\o(AD，\s\up15(→))＝b，eq\o（BC，\s\up15(→))＝c,則eq\o(DC，\s\up15（→）)＝()A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c答案A解析eq\o（DC，\s\up15（→)）＝eq\o(DB,\s\up15(→)）＋eq\o(BC，\s\up15（→）)＝eq\o(AB，\s\up15（→））－eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o（BC，\s\up15(→））＝a－b＋c。3．若|eq\o(AB,\s\up15（→))|＝5，｜eq\o（AC,\s\up15（→）)｜＝8，則｜eq\o（BC,\s\up15（→)）|的取值范圍是()A．［3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．（3,13)答案C解析∵｜eq\o（BC,\s\up15（→)）|＝｜eq\o(AC，\s\up15（→)）－eq\o(AB,\s\up15（→)）｜且｜｜eq\o（AC，\s\up15（→）)|－|eq\o（AB，\s\up15（→）)|｜≤｜eq\o（AC，\s\up15(→)）－eq\o(AB,\s\up15(→)）｜≤|eq\o（AC,\s\up15(→））｜＋｜eq\o（AB,\s\up15（→)）|,∴3≤｜eq\o（AC,\s\up15（→））－eq\o(AB,\s\up15(→））｜≤13,∴3≤｜eq\o(BC，\s\up15(→）)｜≤13,故選C。4．在平面上有A，B，C三點，設m＝eq\o（AB,\s\up15（→))＋eq\o(BC，\s\up15(→）），n＝eq\o（AB,\s\up15（→)）－eq\o（BC，\s\up15(→))，若m與n的長度恰好相等，則有（）A．A，B，C三點必在一條直線上B．△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C．△ABC必為直角三角形且∠B為直角D．△ABC必為等腰直角三角形答案C解析以eq\o(BA，\s\up15（→)），eq\o(BC，\s\up15（→)）為鄰邊作平行四邊形,第四個頂點為D，則m＝eq\o（AB，\s\up15(→)）＋eq\o(BC，\s\up15（→)）＝eq\o(AC，\s\up15（→）),n＝eq\o（AB,\s\up15（→)）－eq\o(BC，\s\up15（→）)＝eq\o（AB,\s\up15（→）)－eq\o(AD,\s\up15（→）)＝eq\o(DB，\s\up15(→)）,由m，n的長度相等可知，兩對角線相等,因此平行四邊形一定是矩形．故選C.5．如圖，已知eq\o(OA，\s\up15（→))＝a，eq\o（OB,\s\up15（→)）＝b,eq\o（OC,\s\up15(→）)＝c，eq\o（OD，\s\up15（→)）＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形,則（）A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c＋d＝0 D．a－b－c＋d＝0答案B解析∵eq\o（BA,\s\up15(→））＋eq\o(DC，\s\up15（→）)＝0，∴eq\o（OA，\s\up15(→)）－eq\o(OB，\s\up15(→）)＋eq\o(OC，\s\up15(→)）－eq\o(OD，\s\up15(→）)＝0，即a－b＋c－d＝0.二、填空題6．在△ABC中，D是BC的中點，設eq\o(AB,\s\up15(→)）＝c，eq\o（AC，\s\up15(→））＝b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝a，eq\o（AD,\s\up15（→））＝d，則d－a＝________，d＋a＝________。答案cb解析根據題意畫出圖形,如圖，d－a＝eq\o(AD,\s\up15（→))－eq\o(BD，\s\up15（→）)＝eq\o(AD,\s\up15（→））＋eq\o（DB,\s\up15（→）)＝eq\o(AB,\s\up15(→))＝c;d＋a＝eq\o(AD，\s\up15（→))＋eq\o（BD,\s\up15(→)）＝eq\o(AD,\s\up15（→)）＋eq\o（DC,\s\up15（→)）＝eq\o（AC，\s\up15（→））＝b。7．已知eq\o（OA,\s\up15（→)）＝a，eq\o（OB，\s\up15(→))＝b，若｜eq\o(OA，\s\up15（→)）|＝12，|eq\o(OB，\s\up15（→)）|＝5，且∠AOB＝90°，則|a－b|的值為________．答案13解析a，b，a－b構成了一個直角三角形，則|a－b|＝eq\r(|a｜2＋｜b|2）＝eq\r(122＋52)＝13。8．若a≠0，b≠0，且|a｜＝|b｜＝｜a－b｜，則a與a＋b所在直線的夾角是________．答案30°解析設eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15（→）)＝b，以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB，如圖所示，則a＋b＝eq\o(OC，\s\up15(→)),a－b＝eq\o(BA,\s\up15(→）)。∵｜a｜＝|b|＝|a－b|，∴｜eq\o(OA，\s\up15(→）)|＝｜eq\o(OB，\s\up15（→）)|＝｜eq\o（BA，\s\up15(→）)|，∴四邊形OACB為菱形，△OAB是等邊三角形，∴∠BOA＝60°。在菱形OACB中，對角線OC平分∠BOA，∴a與a＋b所在直線的夾角為30°.三、解答題9．如圖，在?ABCD中，eq\o(AB，\s\up15(→)）＝a,eq\o(AD，\s\up15（→))＝b。（1)當a，b滿足什么條件時，a＋b與a－b所在的直線互相垂直?（2）a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？解（1）eq\o(AC，\s\up15（→）)＝eq\o（AB,\s\up15（→))＋eq\o(AD，\s\up15(→）)＝a＋b，eq\o(DB，\s\up15（→））＝eq\o(AB,\s\up15(→)）－eq\o（AD，\s\up