K12教育資源學慣用資料第1講函數、不等式中的應用題[考情考向分析]應用題察看是江蘇高考特點，每年均有察看，試題難度中等或中等偏上．命題主要察看學生運用所學知識成立數學有關模型解決實詰問題的能力.與函數、不等式有關的應用題，可以經過成立函數、不等式模型，解決實質中的優化問題或許知足特定條件的實際問題．熱門一和函數有關的應用題例1某工廠現有200人，人均年收入為4萬元．為了提升工人的收入，工廠將進行技術改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人連續留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元；剩下的人從事其余服務行業，這些人的人均年收入有望提升2x%.(1)設技術改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數關系式；當x為多少時，能使這200人的人均年收入達到最大，并求出最大值．(1)y＝200－x×4×1＋2x%＋4ax200－0.02x2＋a＋3x＋200＝501212＝－2500[x－25(a＋3)]＋4(a＋3)＋4.此中100≤x≤150，x∈N*.①當100≤25(a＋3)≤150，即當x＝25(a＋3)時，y取最大值，即

1≤a≤3，a∈N*時，12ymax＝4(a＋3)＋4；②當25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時，函數y在[100,150]上單一遞加，∴當＝150時，y取最大值，即ymax＝3＋4.xa答當1≤≤3，a*，＝25(a＋3)時，y12∈N取最大值(＋3)＋4；ax4a當a＞3，a∈N*，x＝150時，y取最大值3a＋4.思想升華二次函數是高考數學應用題命題的一個重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數的結論和性質．追蹤操練1某公司參加A項目生產的工人為1000人，均勻每人每年創辦利潤10萬元．根據現實的需要，從A項目中調出x人參加B項目的售后服務工作，每人每年可以創辦利潤K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料10a－3x萬元(a＞0)，A項目余下的工人每人每年創辦利潤需要提升0.2x%.500(1)若要保證A項目余下的工人創辦的年總利潤不低于本來1000名工人創辦的年總利潤，則最多調出多少人參加B項目從事售后服務工作？(2)在(1)的條件下，當從A項目調出的人數不可以超出總人數的40%時，能使得A項目中留崗工人創辦的年總利潤向來不低于調出的工人所創辦的年總利潤，務實數a的取值范圍．解(1)依據題意可得(1000－x)(10＋10×x%)≥1000×10，整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500，最多調出的人數為500.0≤x≤500，解得0≤x≤400.(2)由x≤1000×40%，a－3×≤－·＋×10x)(10500x(1000100.2x%)對x∈[0,400]恒成立，3x22即10ax－50≤1000×10＋20x－10x－2x%恒成立，x2即ax≤250＋x＋1000對于隨意的x∈[0,400]恒成立．當x＝0時，不等式明顯成立；當0＜x≤400時，x10001＋250000a≤250＋x＋1＝250xx＋1.250000，令函數f(x)＝x＋x可知f(x)在區間[0,400]上是減函數，f(x)min＝f(400)＝1025，x100051250＋x＋1≥10.5151故0＜a≤10，所以實數a的取值范圍是0，10.熱門二和不等式有關的應用題2秸稈還田是現在世界上廣泛重視的一項培肥地力的增產舉措，在根絕了秸稈燃燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產作用．某農機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花137600元購置了一臺新式結合收割機，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費)；該收割機每年都要按期進行維涵養護，第一年由廠方免費維涵養護，第二年及今后由該農機戶付費維涵養護，所付開銷y(元)與使用年數n的關系為y＝kn＋(n≥2，且∈N*)，已知第bnK12教育資源學慣用資料K12教育源學用料二年付1800元，第五年付6000元．求出機用于涵養護的用f(n)(元)與使用年數n(n∈N*)的函數關系式；臺收割機使用多少年，可使年均勻利潤最大？(利潤＝收入－涵養護用－機械用)解(1)依意知，當＝2，y＝1800；n當n＝5，y＝6000，1800＝2k＋b，k＝1400，即＋，解得b＝－1000，6000＝5kb所以f(n)＝0，n＝1，1400n－1000，n≥2且n∈N*.(2)使用n年，年均利潤W(元)，1依意知，當n≥2，W＝60000－n[137600＋1400(2＋3＋?＋n)－1000(n－1)]1137600＋1400×n－1n＋2－1000n－1＝60000－n212＝60000－n(137200＋700n－300n)＝60300－137200≤60300－2137200700n＋n700n·＝40700，n當且當700＝137200，即n＝14取等號．nn所以臺收割機使用14年，可使年均利潤最大．思升運用基本不等式求解用，要注意結構符合基本不等式使用的形式，同要注意等號成立的條件．追蹤演2小于年初支出50萬元一大，第一年因各樣用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增添支出2萬元，假定每年的運收入均25萬元．小在運累收入超支出后，考將大作二手銷售，若在第x年年關出售，其售收入(25－x)萬元(國家定大的年限10年)．大運到第幾年年關，運累收入超支出？在第幾年年關將大銷售，能使小得的年均勻利最大？(利＝累收入＋售收入－支出)解(1)大到第x年年關的運累收入與支出的差y萬元，y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*，即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*，由－x2＋20x－50＞0，K12教育源學用料K12教育資源學慣用資料解得10－52＜x＜10＋52，而2＜10－52＜3，故從第三年開始運輸累計收入超出總支出．由于利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年均勻利潤為112y＝x[y＋(25－x)]＝x(－x＋19x－25)25＝19－x＋x，又19－x＋2525x≤19－2x·＝9，x當且僅當x＝5時等號成立．答第5年年關銷售貨車，獲得的年均勻利潤最大．熱門三和三角函數有關的應用題例3(2018·鎮江期末)如圖，準備在墻上釘一個支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點D把桿分紅，兩段，此中兩固定點，間距離為1米，與桿的夾角ACADCDABABAC為60°，桿AC長為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米．設∠ADB＝α，則制作整個支架的總成本記為S元．(1)求S對于α的函數表達式，并求出α的取值范圍；問AD段多長時，S最小？解(1)在△ABD中，由正弦定理得AB＝BD＝AD，sinαπsin2πsin3－α333cosα1∴BD＝2sinα，AD＝2sinα＋2，則S＝a3cosα＋1＋2a1－3cosα＋1＋2sinα22sinα24a3＝a43－3cosα＋3，2sinα2sinα2π2π由題意得α∈3，3.(2)令S′＝3a·1－4cosαα＝12sinα＝0，設cos.20K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料πα0α3，α0cosα1114，24S′－0S極小值1S最小，此時sin15∴當cosα＝4時，α＝4，3cosα15＋5AD＝2sinα＋2＝10.

2π0，3112，4＋思想升華諸如航行、建橋、丈量、人造衛星等波及必定圖形屬性的應用問題，經常需要應用幾何圖形的性質，用三角函數知識來求解．追蹤操練3某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上直立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設計要求彩門的面積為(單位：m2)，高為(單位：m)(，h為常數)．彩門的下底BCShS固定在廣場底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架組成，設腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l.請將l表示成對于α的函數l＝f(α)；問當α為什么值時l最小，并求最小值．解(1)過D作DH⊥BC于點H，以以下圖．π則∠DCB＝α0＜α＜2，DH＝h，hhDC＝sinα，CH＝tanα.2hAD＝x，BC＝x＋tanα.12h·，則Sh，由于＝x＋x＋tanαx＝－tanαS2hhl＝f(α)＝2DC＋ADS21π＝h＋hsinα－tanα0＜α＜2.K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料S21(2)由(1)可知，l＝f(α)＝h＋hsinα－tanα，－2cosα－11－2cosα則f′(α)＝h·sin2α－sin2α＝h·sin2α，令f′(α)＝h·1－2cosαπsin2α＝0，得α＝3.ππππα0，333，2f′(α)－0＋f(α)極小值所以l＝fπSmin3＝3h＋h.1．某學校有長度為14m的舊墻一面，現準備利用這面舊墻建筑平面圖形為矩形、面積為12621m新墻的開銷為a元；②修1m舊墻的開銷是am的活動室，工程條件是：①建4元；③拆去1m舊墻所得的資料，建1m新墻的開銷為a元，經過討論有兩種方案：2利用舊墻的一段xm(0<x＜14)為矩形廠房的一面邊長；(2)矩形活動室利用舊墻的一面邊長為x≥14.問怎樣利用舊墻，即x為多少時建墻的開銷最省？(1)(2)兩種方案，哪一種方案最好？解設利用舊墻的一面邊長為xm，126則矩形另一邊長為xm.當0＜x＜14時，aa252總開銷f(x)＝4x＋2(14－x)＋a2x＋x－14367a4＋x－1≥35a，當且僅當x＝12時取最小值35a.當x≥14時，總開銷f(x)＝a×＋a2x＋252－14414xK12教育資源學慣用資料K12教育源學用料212ax＋x－4，126f′(x)＝2a1－x2＞0，f(x)在[14，＋∞)上增，所以當x＝14取最小a.答第(1)種方案最省，即當x＝12m，用最省，35a元．2．某油的容量31萬噸，年初油量10萬噸，從年初起劃每個月月初先石油m萬噸，此后再出一部分石油來足地區內和地區外的需求．若地區內每個月用石油1萬噸，地區外前x個月的需求量y(萬噸)與x的函數關系y＝*5＋px(p＞0,1≤x≤10，x∈N)．已知前4個月地區外的需求量15萬噸．寫出第x個月石油出后，油內油量M(x)(萬噸)的函數表達式；要使油中的石油在前10個月內任何候都不超出油的容量，又能足地區內和地區外的需求，求m的取范．解(1)因前4個月地區外的需求量15萬噸，所以15＝5＋·4，p*p＝25，y＝5＋5x(1≤x≤10，x∈N)．M(x)＝10＋mx－x－(5＋5x)＝mx－x－5x＋5(1≤x≤10，x∈N*)．(2)因第x個月的月初石油后，油量不可以多于31萬噸，所以M(x－1)＋m≤31，即10＋mx－(x－1)－(5x－1＋5)≤31，mx－x－5x－1≤25，*此式全部1≤x≤10(x∈N)恒成立，t＋5m≤t2＋1＋1(t＝k，k＝0,1，?，9)恒成立，5令u＝t＋5，m≤＋1(u＝5＋k，k＝0,1，?，9)恒成立，26u＋u－10265因u＋u－10在u＝8獲得最大4，所以5＋1的最小5，≤5.26mu＋u－10另一方面，第x個月出石油后，油量不可以少于0萬噸，所以M(x)≥0，即mx－x－5x＋5≥0.K12教育源學用料K12教育源學用料5m≥－x＋＋1，x*此式全部1≤x≤10(x∈N)恒成立，所以m≥－51129x－2＋4，此式全部1≤x≤10(x∈N*)恒成立，9m≥(x＝4取等號)．49上所述，4≤m≤59答每個月石油m的取范是，5.A通關1．某公司生的A種品，它的成本是2元，售價是3元，年售量100萬件．得更好的效益，公司準取出必定的金做廣告．依據，每年投入的廣告是x(位：十萬元)，品的年售量將是原售量的y倍，且y是x的二次函數，它的關系以下表x(十萬元)012?y1?求y與x之的函數關系式；假如把利看作是售減去成本和廣告，寫出年利S(十萬元)與廣告x(十萬元)的函數關系式；假如投入的年廣告x，x∈[10,30]萬元，廣告在什么范內，公司得的年利隨廣告的增大而增大？解(1)二次函數的分析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．1c＝1，a＝－10，由關系表，得a＋b＋c＝，解得34a＋2b＋c＝＝，，b5c＝1，∴函數的分析式y＝－1x2＋3x＋1(x≥0)．105(2)依據意，得＝10(3－2)－＝－x2＋5＋10(x≥0)．SyxxK12教育源學用料K12教育資源學慣用資料＝－x2＋5x＋10＝－x－52＋65，(3)S24∵1≤x≤3，∴當1≤x≤2.5時，S隨x的增大而增大．故當年廣告費為10～25萬元之間，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大．2．在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板，此后在矩形紙ABCD板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊緣虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，此中a≥b.當a＝90時，求紙盒側面積的最大值；試確立a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．(1)由于矩形紙板ABCD的面積為3600平方厘米，故當a＝90時，b＝40，進而包裝盒子的側面積S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20).由于＝－82＋260x＝－8x－652＋4225，Sx42654225故當x＝4時，側面積最大，最大值為2平方厘米．包裝盒子的體積V＝(a－2x)(b－2x)xx[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈0，b，b≤60.222V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x]≤x(ab－4abx＋4x)x(3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x.當且僅當a＝b＝60時等號成立．f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0,30)．則f′(x)＝12(x－10)(x－30)．于是當0＜x＜10時，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上單一遞加；10＜x＜30時，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上單一遞減．所以當x＝10時，f(x)有最大值f(10)＝16000，K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料此時a＝b＝60，x＝10.所以當＝＝60，x＝10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．ab3．(2018·蘇州模擬)某“T”型溝渠南北向寬為4m，東西向寬為2m，其俯視圖如圖所示．假定溝渠內的水面向來保持水平川址．(1)過點A的一條直線與溝渠的內壁交于P，Q兩點，且與溝渠的一邊的夾角為θ(θ為銳角)，將線段PQ的長度l表示為θ的函數；若從南面漂來一根長度為7m的筆挺的竹竿(粗細不計)，竹竿向來浮于水平面內，且不發生形變，問：這根竹竿可否從拐角處向來漂向東西向的溝渠(不會卡住)？試說明原因．解(1)由題意得，PA＝sin24θ，QA＝cosθ，所以l＝PA＋QA＝sin24θ0<θπθ＋cos<2.(2)設f(θ)＝2＋4π，θcosθ0<θ<2sin由f′(θ)＝－2cosθ4sinθ222sin3θ－cos3θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ，令f′(θ)＝0，得tanθ02＝.2)時，f′(θ)π時，f且當θ∈(0，θ0<0；當θ∈θ0，2′(θ)>0，所以f(θ)在(0，θ0)上單一遞減，在πθ0，2上單一遞加，所以當θ＝θ0時，f(θ)獲得極小值，即為最小值．21，cosθ＝2，233000所以f(θ)的最小值為36，即這根竹竿能經過拐角處的長度的最大值為36m.由于36>7，所以這根竹竿能從拐角處向來漂向東西向的溝渠．答竹竿能從拐角處向來漂向東西向的溝渠．4．(2018·江蘇啟東中學月考)園林管理處擬在公園某地區規劃建設一半徑為r米，圓心角為θ(弧度)的扇形觀景水池，此中θ∈(0，2π)，O為扇形AOB的圓心，同時緊貼水池周邊(即K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料OA，OB和θ所對的圓弧)建設一圈理想的無寬度步道．要求總估計開銷不超出24萬元，水池造價為每平方米400元，步道造價為每米1000元．若總開銷恰巧為24萬元，則當r和θ分別為多少時，可使得水池面積最大，并求出最大面積；若要求步道長為105米，則可設計出的水池最大面積是多少？1解(1)弧長AB為θr，扇形AOB面積為S＝2θr

2,2400×2θr＋1000(2r＋θr)＝240000.即θr2＋5(2r＋θr)＝1200.1200－10r所以θ＝r2＋5r.1211200－10r2＝650－5(r＋5)＋625(r＋5)×625S＝θr＝×2×r≤650－5×2＝22r＋5rr＋5r＋5400.625θ＝2∈(0，2π).當且僅當r＋5＝r＋5，即r＝20時取等號，此時r＝20,θ＝2，面積最大值為400平方米．105－2(2)由θr＋2r＝105，得出θ＝r，r121－2r)，∴S＝θr＝r(105220<θ＝105－2r<2π，所以rr2＋5(2r＋θr)≤1200，1051052＋2π<r<2，105所以15所以45≤r<.r或r≥45，2≤2121－2r)，r∈45，105∴S＝2θr＝2r(1052，1所以當r＝45,θ＝3時，水池的最大面積為337.5平方米．K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料r的取值范圍為45，105，且當r＝45,1337.5平方米．答2θ＝3時，水池的最大面積為K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料B組能力提升5．(2018·南通模擬)如圖，某機械廠欲從AB＝2米，AD＝22米的矩形鐵皮中裁剪出一個四邊形ABEF加工成某儀器的部件，裁剪要求以下：點E，F分別在邊BC，AD上，且EB＝EF，<.設∠＝θ，四邊形的面積為f(θ)(單位：平方米)．AFBEBEFABEF求f(θ)對于θ的函數關系式，求出定義域；(2)當，AF的長為什么值時，裁剪出的四邊形的面積最小，并求出最小值．BEABEF(1)過點F作FM⊥BE，垂足為M.在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝π2，∠FEM＝θ，22所以EF＝sinθ，ME＝tanθ，2AF＝BM＝EF－EM＝sinθ－tanθ，1所以f(θ)＝2(AF＋BE)×AB122242＝2×sinθ－tanθ＋sinθ×2＝sinθ－tanθ.π依據題意得，AF<BE，所以θ<2，π且當點E與點C重合時，EF＝EB＝22，FM＝2，θ＝4，42ππ所以函數f(θ)＝sinθ－tanθ的定義域為4，2.K12教育資源學慣用資料K12教育資源學慣用資料424sin2θ＋cos2θ222(2)由(1)可知，f(θ)＝sinθ－tanθ＝θθ－θ2sin2cos22tan21－tan2θ2θ11θ＝2tan2＋θ－θ－tan2＝3tanθ＋1≥23tanθ×1＝23，tan2tan22θ2θtan2tan2當且僅當3tanθ12＝θ時，不等式取等號，tan2ππθππ又θ∈4，2∈，4，2，8故tanθ＝3，θ＝π，θ＝π.232632432223BE＝sinθ＝3，AF＝sinθ－tanθ＝3.答當BE，AF的長度分別為433米，233米時，裁剪出的四邊形ABEF的面積最小，最小值為23平方米．6．(2018·蘇錫常鎮調研)圖(Ⅰ)是一斜拉橋的航拍圖，為認識析大橋的承重狀況，研究小組將其抽象成圖(Ⅱ)所示的數學模型．索塔，與橋面均垂直，經過丈量知兩索塔的高ABCDAC度均為60m，橋面AC上一點P到索塔AB，CD距離之比為21∶4，且P對兩塔頂的視角為135°.(1)求兩索塔之間橋面的長度；AC(2)研究表示索塔對橋面上某處的“承重強度”與多種要素有關，可簡單抽象為：某索塔對橋面上某處的“承重強度”與索塔的高度成正比(比率系數為正數a)，且與該處到索塔的距離的平方成反比(比率系數為正數b)．問兩索塔對橋面哪處的“承重強度”之和最小？并求出最小值．(1)設AP＝21t，PC＝4t(t>0)，記∠APB＝α，∠CPD＝β，60206015則tanα＝21t＝7t，tanβ＝4t＝t，K12教育資源學慣用資料K12教育源學用料2015tanα＋tanβ7t＋t由tan(α＋β)＝tan45°＝1－tanαtanβ＝300＝1，1－7t2215化得7t－125t－300＝0，解得t＝20或t＝－7(舍去),