27/27初二數學經典難題一、解答題（共10小題，滿分100分）1．（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD=∠PDA=15°．求證：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN=∠F．3．（10分）如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點P是EF的中點，求證：點P到AB的距離是AB的一半．4．（10分）設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA=∠PDA．求證：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P為正方形ABCD內的一點，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的邊長．6．（10分）一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水．向容器中注滿水的全過程共用時間t分．求兩根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009?郴州）如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．8．（10分）（2008?海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在線段BC上，且PE=PB．（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設AP=x，△PBE的面積為y．①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值．9．（10分）（2010?河南）如圖，直線y=k1x+b與反比例函數（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點．（1）求k1、k2的值．（2）直接寫出時x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點C作CE⊥OD于點E，CE和反比例函數的圖象交于點P，當梯形OBCD的面積為12時，請判斷PC和PE的大小關系，并說明理由．10．（10分）（2007?福州）如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積；（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．初二數學經典難題參考答案與試題解析一、解答題（共10小題，滿分100分）1．（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD=∠PDA=15°．求證：△PBC是正三角形．（初二）考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；等邊三角形的判定。專題：證明題。分析：在正方形內做△DGC與△ADP全等，根據全等三角形的性質求出△PDG為等邊，三角形，根據SAS證出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根據等邊三角形的判定求出即可．解答：證明：∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形內做△DGC與△ADP全等，∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PDG為等邊三角形（有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形），∴DP=DG=PG，∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，在△DGC和△PGC中，∴△DGC≌△PGC，∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PBC是正三角形．點評：本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點的應用，關鍵是正確作出輔助線，又是難點，題型較好，但有一定的難度，對學生提出了較高的要求．2．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN=∠F．考點：三角形中位線定理。專題：證明題。分析：連接AC，作GN∥AD交AC于G，連接MG，根據中位線定理證明MG∥BC，且GM=BC，根據AD=BC證明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根據平行線性質可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN從而得出∠DEN=∠F．解答：證明：連接AC，作GN∥AD交AC于G，連接MG．∵N是CD的中點，且NG∥AD，∴NG=AD，G是AC的中點，又∴M是AB的中點，∴MG∥BC，且MG=BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM為等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F，∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．點評：此題主要考查平行線性質，以和三角形中位線定理，關鍵是證明△GNM為等腰三角形．3．（10分）如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點P是EF的中點，求證：點P到AB的距離是AB的一半．考點：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：分別過E，F，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則PQ=（ER+FS），易證Rt△AER≌Rt△CAT，則ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得證．解答：解：分別過E，F，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則ER∥PQ∥FS，∵P是EF的中點，∴Q為RS的中點，∴PQ為梯形EFSR的中位線，∴PQ=（ER+FS），∵AE=AC（正方形的邊長相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），同理Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER=AT，FS=BT，∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ=AB．點評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以和正方形的性質等知識點，輔助線的作法很關鍵．4．（10分）設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA=∠PDA．求證：∠PAB=∠PCB．考點：四點共圓；平行四邊形的性質。專題：證明題。分析：根據已知作過P點平行于AD的直線，并選一點E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，進而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出AEBP共圓，即可得出答案．解答：證明：作過P點平行于AD的直線，并選一點E，使PE=AD=BC，∵AD∥EP，AD∥BC．∴四邊形AEPD是平行四邊形，四邊形PEBC是平行四邊形，∴AE∥DP，BE∥PC，∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，∴AEBP共圓（一邊所對兩角相等）．∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，∴∠PAB=∠PCB．點評：此題主要考查了四點共圓的性質以和平行四邊形的性質，熟練利用四點共圓的性質得出是解題關鍵．5．（10分）P為正方形ABCD內的一點，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的邊長．考點：正方形的性質；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉的性質。專題：綜合題。分析：把△ABP順時針旋轉90°得到△BEC，根據勾股定理得到PE=2a，再根據勾股定理逆定理證明△PEC是直角三角形，從而得到∠BEC=135°，過點C作CF⊥BE于點F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根據勾股定理求出BC的長度，即可得到正方形的邊長．解答：解：如圖所示，把△ABP順時針旋轉90°得到△BEC，∴△APB≌△CEB，∴BE=PB=2a，∴PE==2a，在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠BEC=45°+90°=135°，過點C作CF⊥BE于點F，則△CEF是等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BFC中，BC===a，即正方形的邊長為a．點評：本題考查了正方形的性質，旋轉變化的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理以和逆定理的應用，作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．6．（10分）一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水．向容器中注滿水的全過程共用時間t分．求兩根水管各自注水的速度．考點：分式方程的應用。分析：設小水管進水速度為x，則大水管進水速度為4x，一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水．向容器中注滿水的全過程共用時間t分可列方程求解．解答：解：設小水管進水速度為x立方米/分，則大水管進水速度為4x立方米/分．由題意得：解之得：經檢驗得：是原方程解．∴小口徑水管速度為立方米/分，大口徑水管速度為立方米/分．點評：本題考查理解題意的能力，設出速度以時間做為等量關系列方程求解．7．（10分）（2009?郴州）如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．考點：反比例函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（﹣2，﹣1），設出正比例函數和反比例函數的解析式，運用待定系數法可求它們解析式；（2）因為P（﹣1，﹣2）為雙曲線Y=上的一點，所以△OBQ、△OAP面積為1，依據反比例函數的圖象和性質，點Q在雙曲線上，即符合條件的點存在，是正比例函數和反比例函數的圖象的交點；（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（﹣1，﹣2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．解答：解：（1）設正比例函數解析式為y=kx，將點M（﹣2，﹣1）坐標代入得k=，所以正比例函數解析式為y=x，同樣可得，反比例函數解析式為；（2）當點Q在直線OM上運動時，設點Q的坐標為Q（m，m），于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以點Q的坐標為Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（﹣1，﹣2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，），由勾股定理可得OQ2=n2+=（n﹣）2+4，所以當（n﹣）2=0即n﹣=0時，OQ2有最小值4，又因為OQ為正值，所以OQ與OQ2同時取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）點評：此題難度稍大，考查一次函數反比例函數二次函數的圖形和性質，綜合性比較強．要注意對各個知識點的靈活應用．8．（10分）（2008?海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在線段BC上，且PE=PB．（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設AP=x，△PBE的面積為y．①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值．考點：二次函數綜合題。專題：動點型。分析：（1）可通過構建全等三角形來求解．過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以和PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據等腰三角形三線合一的特點可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對應邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的長，可根據三角形的面積公式得出x，y的函數關系式．然后可根據函數的性質和自變量的取值范圍求出y的最大值以和對應的x的取值．解答：（1）證明：①過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）．∴PE=PD．②∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．∴∠DPE=90度．∴PE⊥PD．（2）解：①過P作PM⊥AB，可得△AMP為等腰直角三角形，四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，∵AP=x，∴PM=x，∴BF=PM=，PF=1﹣．∴S△PBE=BE×PF=BF?PF=x×（1﹣x）=﹣x2+x．即y=﹣x2+x．（0＜x＜）．②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+∵a=﹣＜0，∴當x=時，y最大值=．點評：本題主要考查了正方形，矩形的性質，全等三角形的判定以和二次函數的綜合應用等知識點，通過構建全等三角形來得出相關的邊和角相等是解題的關鍵．9．（10分）（2010?河南）如圖，直線y=k1x+b與反比例函數（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點．（1）求k1、k2的值．（2）直接寫出時x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點C作CE⊥OD于點E，CE和反比例函數的圖象交于點P，當梯形OBCD的面積為12時，請判斷PC和PE的大小關系，并說明理由．考點：反比例函數綜合題；一次函數的性質；反比例函數系數k的幾何意義。專題：綜合題。分析：（1）先把點A代入反比例函數求得反比例函數的解析式，再把點B代入反比例函數解析式求得a的值，再把點A，B代入一次函數解析式利用待定系數法求得k1的值．（2）當y1＞y2時，直線在雙曲線上方，即x的范圍是在A，B之間，故可直接寫出范圍．（3）設點P的坐標為（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面積是12列方程，可求得m的值，從而求得點P的坐標，根據線段的長度關系可知PC=PE．解答：解：（1）由題意知k2=1×6=6∴反比例函數的解析式為y=（x＞0）∵x＞0，∴反比例函數的圖象只在第一象限，又∵B（a，3）在y=的圖象上，∴a=2，∴B（2，3）∵直線y=k1x+b過A（1，6），B（2，3）兩點∴∴故k1的值為﹣3，k2的值為6；（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0，即直線的函數值大于反比例函數值，由圖象可知，此時1＜x＜2，則x的取值范圍為1＜x＜2；（3）當S梯形OBCD=12時，PC=PE．設點P的坐標為（m，n），過B作BF⊥x軸，∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2∴S梯形OBCD=，即12=∴m=4，又mn=6∴n=，即PE=CE∴PC=PE．點評：此題綜合考查了反比例函數與一次函數的性質，此題難度稍大，綜合性比較強，注意反比例函數上的點的特點和利用待定系數法求函數解析式的方法．要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關的線段的長度，從而確定關鍵點的坐標是解題的關鍵．10．（10分）（2007?福州）如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積；（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．考點：反比例函數綜合題。專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）先根據直線的解析式求出A點的坐標，然后將A點坐標代入雙曲線的解析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點的坐標，由于△AOC的面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關系來求得．（解法不唯一）；（3）由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么△POA的面積就應該是四邊形面積的四分之一即6．可根據雙曲線的解析式設出P點的坐標，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．解答：解：（1）∵點A